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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Homogenes lineares DGL-System
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Homogenes lineares DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Fr 23.10.2015
Autor: Isabelle90

Hallo zusammen,

ich frage mich gerade, wie ich eine solche DGL lösen könnte:
[mm] y'=\pmat{ 0 & x \\ x & 0 } [/mm] y

Hat da jemand eine Idee?

Bei konstanten Matrizen würde ich die Eigenwerte bestimmen, zugehörige Eigenvektoren bestimmen und eine Lösungsbasis bilden. Nun habe ich aber ja leider KEINE konstante Matrix...

Ich hab auch schon versucht die DGL umzuschreiben zu
[mm] y_1 [/mm] ' = [mm] xy_2 [/mm]
[mm] y_2 [/mm] ' = [mm] xy_1 [/mm]

Das bringt mich bisher aber leider auch nicht weiter...

Gibt es einen allgemeinen Ansatz um die oben angegebene DGL zu lösen oder ist das Finden von Lösungen eher Ausprobieren und Glückssache?

Wäre echt klasse, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!

Viele Grüße,
Isa

        
Bezug
Homogenes lineares DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Fr 23.10.2015
Autor: Chris84


> Hallo zusammen,

Huhu,

>
> ich frage mich gerade, wie ich eine solche DGL lösen
> könnte:
>  [mm]y'=\pmat{ 0 & x \\ x & 0 }[/mm] y
>  
> Hat da jemand eine Idee?
>
> Bei konstanten Matrizen würde ich die Eigenwerte
> bestimmen, zugehörige Eigenvektoren bestimmen und eine
> Lösungsbasis bilden. Nun habe ich aber ja leider KEINE
> konstante Matrix...
>  
> Ich hab auch schon versucht die DGL umzuschreiben zu
>  [mm]y_1[/mm] ' = [mm]xy_2[/mm]
>  [mm]y_2[/mm] ' = [mm]xy_1[/mm]
>  
> Das bringt mich bisher aber leider auch nicht weiter...

Hmm, vlt doch...
Die zweite Gleichung kannst du ja umschreiben zu [mm] $\frac{y_2^{\prime}}{x} [/mm] = [mm] y_1$. [/mm] Wenn du das nun ableitest, bekommst du [mm] $y_1^{\prime}$. [/mm] Das kannst du in die erste Gleichung einsetzen und bekommst eine Gleichung in [mm] $y_2$ [/mm]

>  
> Gibt es einen allgemeinen Ansatz um die oben angegebene DGL
> zu lösen oder ist das Finden von Lösungen eher
> Ausprobieren und Glückssache?
>  
> Wäre echt klasse, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
>  
> Viele Grüße,
> Isa

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Homogenes lineares DGL-System: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Fr 23.10.2015
Autor: Isabelle90

Danke, das hatte ich auch schon probiert, allerdings müsste ich dann ja noch Fallunterscheidung bezüglich x machen...

Bezug
        
Bezug
Homogenes lineares DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Fr 23.10.2015
Autor: fred97

1. Jede Lösung des Systems

  
(*)      $ [mm] y'=\pmat{ 0 & x \\ x & 0 } [/mm] $ y .

existiert auf ganz [mm] \IR. [/mm]

2. Man kann erraten, dass [mm] $y^{[1]}(x)=\vektor{e^{x^2/2} \\ e^{x^2/2}}$ [/mm] eine Lösung ist.

3. Mit dem Reduktionsverfahren von d'Alembert

   http://binomi.de/pdf/dgl1.pdf

kannst Du nun eine weitere Lösung [mm] y^{[2]} [/mm] konstruieren und zwar so, dass

    [mm] \{y^{[1]},y^{[2]} \} [/mm]

ein Fundamentalsystem von (*) ist.

FRED

Bezug
                
Bezug
Homogenes lineares DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Fr 23.10.2015
Autor: Isabelle90

Vielen, vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter!

Gibt es zum Erraten der ersten Nullstelle irgendeinen Trick? Ich hätte die jetzt nicht so spontan gesehen, wobei es total offensichtlich scheint, wenn man sie einmal kennt... Vielleicht fehlt mir aber einfach auch nur die Erfahrung, und man sieht sowas einfach mit der Zeit eher?

Bezug
                        
Bezug
Homogenes lineares DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Fr 23.10.2015
Autor: fred97


> Vielen, vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter!
>  
> Gibt es zum Erraten der ersten Nullstelle

Nullstelle  ?



> irgendeinen
> Trick? Ich hätte die jetzt nicht so spontan gesehen, wobei
> es total offensichtlich scheint, wenn man sie einmal
> kennt... Vielleicht fehlt mir aber einfach auch nur die
> Erfahrung, und man sieht sowas einfach mit der Zeit eher?

Na ja, ich  habe mich  umgesehen nach Lösungen mit [mm] y_1=y_2 [/mm]

Das führt auf eine einfache homogene lineare Differentialgleichung 1.Ordnung

Fred


Bezug
                                
Bezug
Homogenes lineares DGL-System: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Fr 23.10.2015
Autor: Isabelle90


> > Vielen, vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter!
>  >  
> > Gibt es zum Erraten der ersten Nullstelle
>  
> Nullstelle  ?
>  

Sorry, ich meinte natürlich Lösung!

>
>
> > irgendeinen
> > Trick? Ich hätte die jetzt nicht so spontan gesehen, wobei
> > es total offensichtlich scheint, wenn man sie einmal
> > kennt... Vielleicht fehlt mir aber einfach auch nur die
> > Erfahrung, und man sieht sowas einfach mit der Zeit eher?
>
> Na ja, ich  habe mich  umgesehen nach Lösungen mit
> [mm]y_1=y_2[/mm]
>  
> Das führt auf eine einfache homogene lineare
> Differentialgleichung 1.Ordnung
>
> Fred
>  

Super, danke für den Hinweis!


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