Homogenität eines linearen GLS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen ist äqivalent zur Homogenität eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Unbekannten?
- die triviale Lsg. x=0 ist eine Lösung des Systems
- es gibt eine spezielle Lösung z des Systems und ein a e R , a ungleich 1, sodass auch a mal x eine Lösung ist
- die Lösungsmenge bildet einen Teilraum von [mm] R^n [/mm]
- für alle Lösungen z vom System und alle a e R gilt: auch a mal z ist Lösung vom System |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Den ersten Punkt beweise ich, indem ich sage, wenn für alle x die Lösung 0 ist, dann gibt es unabhängig von allen Keoffizienten nur eine Möglichkeit, sodass alle m Gleichungen des Systems erfüllt sind, nämlich alle b (d.h. die rechte Seite vom =) müssen ebenfalls 0 sein.
Allerdings ist mir völlig schleierhaft, wie ich den Rest zeigen kann. Reicht meine Begründung oben denn eigentlich überhaupt als formaler korrekt ausgeführter mathematischer Beweis?
Für Tipps wäre ich sehr dankbar!!!
Lg
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Welche der folgenden Aussagen ist äqivalent zur
> Homogenität eines linearen Gleichungssystems mit m
> Gleichungen und n Unbekannten?
> - die triviale Lsg. x=0 ist eine Lösung des Systems
> - es gibt eine spezielle Lösung z des Systems und ein a e
> R , a ungleich 1, sodass auch a mal x eine Lösung ist
> - die Lösungsmenge bildet einen Teilraum von [mm]R^n[/mm]
> - für alle Lösungen z vom System und alle a e R gilt:
> auch a mal z ist Lösung vom System
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Den ersten Punkt beweise ich, indem ich sage, wenn für
> alle x die Lösung 0 ist, dann gibt es unabhängig von
> allen Keoffizienten nur eine Möglichkeit, sodass alle m
> Gleichungen des Systems erfüllt sind, nämlich alle b
> (d.h. die rechte Seite vom =) müssen ebenfalls 0 sein.
>
> Allerdings ist mir völlig schleierhaft, wie ich den Rest
> zeigen kann. Reicht meine Begründung oben denn eigentlich
> überhaupt als formaler korrekt ausgeführter
> mathematischer Beweis?
Du solltest dir zunächst nochmals klar machen, was die Eigenschaft äquivalent in der Mathematik bedeutet. Dann solltest du dir die Aufgabenstellung nochmal genau durchlesen. Du sollst hier nicht etwa vier Aussagen beweisen, sondern entscheiden, ob sie wahr oder falsch sind.
Ich mache mal einen Anfang. Nur ein homogenes LGS besitzt stets die Triviallösung [mm] x_1=x_2=...=x_n=0. [/mm] Damit ist aber nichts über weitere Lösungen gesagt. Daher kann die Auusage (1) keinesfalls äquivalent sein zu der Tatsache, dass das zugrundeliegende LGS homogen ist, sondern sie folgt aus der Homogenität, mehr eben nicht.
Mit solchen Überlegungen solltest du jetzt die drei anderen Punkte nochmals angehen. Überlege dir genau, ob Schlussfolgerungen ggf. in beide Richtungen funktionieren oder nicht, schlage ggf. Begriffe wie Teilraum nach und stelle dann deine Überlegungen hier vor.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 So 08.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und
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> > Welche der folgenden Aussagen ist äqivalent zur
> > Homogenität eines linearen Gleichungssystems mit m
> > Gleichungen und n Unbekannten?
> > - die triviale Lsg. x=0 ist eine Lösung des Systems
> > - es gibt eine spezielle Lösung z des Systems und ein a
> e
> > R , a ungleich 1, sodass auch a mal x eine Lösung ist
> > - die Lösungsmenge bildet einen Teilraum von [mm]R^n[/mm]
> > - für alle Lösungen z vom System und alle a e R gilt:
> > auch a mal z ist Lösung vom System
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Den ersten Punkt beweise ich, indem ich sage, wenn für
> > alle x die Lösung 0 ist, dann gibt es unabhängig von
> > allen Keoffizienten nur eine Möglichkeit, sodass alle
> m
> > Gleichungen des Systems erfüllt sind, nämlich alle b
> > (d.h. die rechte Seite vom =) müssen ebenfalls 0 sein.
> >
> > Allerdings ist mir völlig schleierhaft, wie ich den
> Rest
> > zeigen kann. Reicht meine Begründung oben denn
> eigentlich
> > überhaupt als formaler korrekt ausgeführter
> > mathematischer Beweis?
>
> Du solltest dir zunächst nochmals klar machen, was die
> Eigenschaft äquivalent in der Mathematik bedeutet. Dann
> solltest du dir die Aufgabenstellung nochmal genau
> durchlesen. Du sollst hier nicht etwa vier Aussagen
> beweisen, sondern entscheiden, ob sie wahr oder falsch
> sind.
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> Ich mache mal einen Anfang. Ein homogenes LGS besitzt stets
> die Triviallösung [mm]x_1=x_2=...=x_n=0.[/mm] Damit ist aber nichts
> über weitere Lösungen gesagt. Daher kann die Auusage (1)
> keinesfalls äquivalent sein zu der Tatsache, dass das
> zugrundeliegende LGS homogen ist, sondern sie folgt aus der
> Homogenität, mehr eben nicht.
Hallo Diophant,
da muss ich Dir widersprechen.
Gegeben sei das LGS Ax=b.
1. Ist b=0, so ist x=0 eine Lösung.
2. Ist x=0 eine Lösung, so ist b=A0=0.
Gruß FRED
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> Mit solchen Überlegungen solltest du jetzt die drei
> anderen Punkte nochmals angehen. Überlege dir genau, ob
> Schlussfolgerungen ggf. in beide Richtungen funktionieren
> oder nicht, schlage ggf. Begriffe wie Teilraum nach und
> stelle dann deine Überlegungen hier vor.
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 08.09.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
du hast natürlich Recht. Da war ich irgendwie überhaupt nicht bei der Sache.
Gruß, Diophant
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