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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Reute |
Also ich habe diese Aufgabe und diesen ansatz komme aber nicht weiter:
Aufgabe:
Eine Gleichung der Form
[mm] a_{1}X_{1} [/mm] + [mm] a_{2}X_{2}+ [/mm] .... + [mm] a_{n}X_{n} [/mm] = 0
in den unbekannten [mm] X_{i} [/mm] mit Koeffizienten [mm] a_{1},...,a_{n} \in\IC [/mm] nennt man eine komplexe homogene lineare Gleichung.
Zeigen Sie: Wenn zwei n-Tupel u,v [mm] \in\IC^{n} [/mm] genau dieselben komplexen homogenen linearen Gleichungen erfüllen, dann sind sie linear abhängig (über [mm] \IC)
[/mm]
Ansatz
also wenn beide gleichungen glecih null sind kann man sie gleichsetzten:
1) [mm] a_{1}u_{1} [/mm] + [mm] a_{2}u_{2}+ [/mm] .... + [mm] a_{n}u_{n} [/mm] = 0
2) [mm] a_{1}v_{1} [/mm] + [mm] a_{2}v_{2}+ [/mm] .... + [mm] a_{n}v_{n} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow a_{1}u_{1} [/mm] + [mm] a_{2}u_{2}+ [/mm] .... + [mm] a_{n}u_{n} [/mm] = [mm] a_{1}v_{1} [/mm] + [mm] a_{2}v_{2}+ [/mm] .... + [mm] a_{n}v_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] kann ich [mm] a_{1} [/mm] usw ausklammern, also
[mm] a_{1}(u_{1}-v_{1})+ [/mm] .... + [mm] a_{n}(u_{n}-v_{n}) [/mm] = 0
und wie gehe ich jetzt weiter muss ich jetzt untersuchen wann die Komponenten in der klammer gleich null sind also
[mm] u_{1}-v_{1}... [/mm] =0
also z.B ist dann [mm] u_{1}=v_{1} [/mm] nur gleich wenn bei einem Komponeten ein
[mm] \lambda [/mm] steht [mm] \Rightarrow u_{1}=\lambda v_{1} [/mm] und wie beweise ich das??
oder ist mein Ansatz falsch??
Gruß
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Hallo Reute,
Versuchen würde ich hier einen Widerspruchsbeweis.
viele Grüße
mathemaduenn
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