Homomorphiesatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 28.01.2006 | | Autor: | reneP |
Hallo lieber Matheraum,
damals im ersten Semester haben wir in der 3. Woche oder so den Homomorphiesatz für Gruppen gelernt und bewiesen (sie unten...)
Später haben wir auch einen analogen Homomorphiesatz für Vektorräume gehabt. Ich habe mir heute die Aussage und den Beweis des Homomorphiesatzes für Gruppen angeschaut. Dabei habe ich festgestellt, dass der Satz lediglich eine Existenzaussage macht. Hat jemand von euch Ahnung wie das mit der Eindeutigkeit aussieht?
Ich könnte mir vorstellen, dass bei endlichen Gruppen der Homomorphismus [mm] $\beta$ [/mm] sogar eindeutig ist. Ich habe bisher nicht probiert selbst die Eindeutigkeit zu beweisen und wollte erst mal wissen wie eure Meinung dazu ist, bevor ich das anfange zu probieren.
HOMOMORPHIESATZ FÜR GRUPPEN:
Seien $G, H$ Gruppen und sei [mm] $\alpha \in [/mm] Hom(G,H)$. Sei [mm] $\pi$ [/mm] der natürliche Homomorphismus von $G$ auf $G$/ker [mm] $\alpha$. [/mm] Dann gibt es einen Homomorphismus [mm] $\beta\in [/mm] Hom(G$/ker [mm] $\alpha,H)$ [/mm] mit [mm] $\alpha=\beta\circ\pi$
[/mm]
Sorry ich hätte euch gerne noch das Diagramm dazu getecht aber ich habe keine Ahnung, wie man kommutative Diagramme techt. Ihr wisst ja sicher eh wie das aussieht.
Ich denke es macht keinen Sinn den beweis jetzt noch abzutechen. Die Idee ist, das [mm] $\beta$ [/mm] konstruiert wird ( klar existenz aussage )
Dazu setzt man [mm] $\beta(g$ [/mm] ker [mm] $\alpha)=\alpha(g)$
[/mm]
Danach wird im Beweis nachgerechnet, das [mm] $\beta$ [/mm] ein wohldefinierter Homomorphismus ist und injektiv und surjektiv ist....
Vielen dank schon mal für eure Hilfe
ps: ich habe die Fälligkeit auf einen Monat gesetzt weil das das Maximum ist. Die Sache interessiert mich einfach so, von daher eilt es nicht, wobei ich mich natürlich auch über schnelle Antworten freue....
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also ich kann dir die Frage nicht defnitiv beantworten, aber weil es ne Abbildung auf Klassen ist, denke ich geht die Eindeutigkeit an der Wahl der Klassenvertreter kaputt, falls der Kern nicht-trivial ist.
Woran willst du denn die Eindeutigkeit festmachen? Ich meine, es gibt sicherlich immer eine gewisse kanonische Isomorphie in diesem Fall, aber es dürfte denke ich auch möglich sein, einen anderen Isomorphismus zu konstruieren.
Zweite frage wäre dann allerdings, ob dann die Gruppn- / Vektorraumstruktur erhalten bleibt...
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Sa 28.01.2006 | | Autor: | reneP |
Hallo Micha,
erst einaml vielen dank für die schnell antwort
also zu der Sache mit den Klassenvertretern, das sehe ich anders:
Natürlich hat die Abbildung [mm] $\beta [/mm] : [mm] G$/ker$\alpha\longrightarrow [/mm] H$ den Faktorraum als Definitionsbereich. Aber das macht nichts, denn im Homomorphiesatz wird ja bewiesen, dass die Abbildung [mm] $\beta$ [/mm] unabhängig von der Wahl des Repräsentanten (also wohldefiniert) ist. Somit macht mir das schon einmal nichts kaput.
Das die Gruppen im endlichen Fall gleichmächtig sind und ich eine andere Bijektion ( keinen ISO) zwischen $G$ /ker [mm] $\alpha$ [/mm] und $H$ konstruieren kann ist klar. Aber da geht halt ggf die Vektorraum oder Gruppenstruktur kaput.
Im Unendlichen fall werde ich sicher auch eine beliebige bijektion finden können.
Eine Bijektion ist ja gerade ein Isomorphismus, wenn die Vektorraumstruktur oder Gruppenstruktur oder welche auch immer erhalten bleibt. Dei Frage ist ja gerade, ob eine andere Bijektion auch die Struktur erhält
Für mehr infos sehe die andere Antwort und meine Mitteilung, damit ich nicht alles doppelt schreiben muss, da schreibe ich dann auch rein, was ich unter eindeutig verstehe....
lg René
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 28.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
EDIT : Folgendes ist Unsinn, bitte keine Beachtung schenken !!
ich denke nicht, dass es eindeutig ist, aber ich habe jetzt auch nicht lange drüber nachgedacht, also bitte kontrollieren:
angenommen, es wäre eindeutig, dann wähle man mal als Beispiel G=H und a=Identität, dann ist der Kern trivial und Beta wäre dann wegen der angenommenen Eindeutigkeit der einzige Homomorphismus von G nach G.
Dafür gibt es schnell Gegenbeispiele : z.B. [mm] $(\IZ [/mm] , +)$ mit a=Identität und b(g)=-g
hoffe ich habe mich jetzt auf die Schnelle nicht vertan^^
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 28.01.2006 | | Autor: | reneP |
Hallo DaMenge,
so weit habe ich auch schon gedacht, mein Problem ist ein anderes. Du trickst ja sozusagen bei deinem Gegenbeispiel...
Vielleicht hätte ich "eindeutig" anders formulieren sollen. Und zwar "eindeutig bis auf Isomorphie".
Denn das ich vor [mm] §\beta§ [/mm] immer einen ISO [mm] $i:\G$ [/mm] /ker [mm] $\alpha \longrightarrow [/mm] G$ / ker [mm] $\alpha$ [/mm] schalten kann, oder nach $beta$ einen Iso [mm] $j:H\longrightarrow [/mm] H$ schalten kann, so dass die Komposition wieder ein Iso [mm] $\beta\circ [/mm] i$ bzw [mm] $j\circ\beta$ [/mm] ist, war mir klar. Genau das tust du aber.
Denn was du machst ist ja du schaltest nach [mm] $\beta$ [/mm] in deinem Beispiel eine involution.
Somit müssen wir, wenn wir ein Gegenbeispiel suchen, von den trivialen Fällen weggehen. Das heißt also dass [mm] $\alpha$ [/mm] auf keinen Fall ein Endomorphismus sein darf. Ich denke die sache mit trivialem Kern sollte man auch weglassen, wobei ich mir da nicht so sicher bin.
Es geht mir also mehr um sowas wie bei differenzierbaren mannigfaltigkeiten wo man ja auch topologische räume finden kann, die verschiedene nicht diffeomorphe diffbare strukturen besitzen. Klar bei Mengen und Gruppen geht das im direkt übertragenen Sinn nicht, ich meine das Beispiel nur exemplarisch.....
Um es nocheinmal auf den Punkt zu bringen die Frage ist im wesentlichen,
gibt es ggf 2 verschiedene Isos zwischen $G$ / ker $alpha$ und Im [mm] $\alpha$ [/mm] ohne das diese durch Komposition von [mm] $\beta$ [/mm] mit einem Automorphismus entstehen....
trotzdem vielen Dank für die schnelle Antwort
lg René
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 So 29.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
ich denke ich habe die definierende Eigenschaft des Homomorphismusses schlicht und einfach übersehen.
Mein Gegenbeispiel ist keins, denn es gibt nur einen Homomorphismus, der bei a=id die Kompositionseigenschaft erfüllt (eben diese habe ich nicht beachtet)
also : man möge Obiges bitte vergessen !!
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Sa 28.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> ich denke nicht, dass es eindeutig ist, aber ich habe jetzt
> auch nicht lange drüber nachgedacht, also bitte
> kontrollieren:
Kommt immer drauf an, wie man Eindeutigkeit definiert ... Mir istnicht ganz klar, welche Eindeutigkeit du meinst.
> angenommen, es wäre eindeutig, dann wähle man mal als
> Beispiel G=H und a=Identität, dann ist der Kern trivial und
> Beta wäre dann wegen der angenommenen Eindeutigkeit der
> einzige Homomorphismus von G nach G.
Naja, man findet halt zu Homoprhismen vom Faktorraum wohin anders ein Homo im ursprünglichen Raum. Aber es geht doch hier andersrum: zum Homo der ursprünglichen such ich eins im Faktorraum. Und das ist - eher trivialerweise - eindeutig. Bei deinemBeispiel gibt es zB nur einen Hom aus dem Faktorraum
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Sa 28.01.2006 | | Autor: | reneP |
Lieber Matheraum,
ich habe gerade noch ein neueres Lineare Algebra von einem anderen Dozenten gelesen. Darin habe ich gelesen, dass der Isomorphismus bei Vektorräumen eindeutig ist und dass die Eindeutigkeit daraus folgt, dass [mm] $\pi$ [/mm] eine Surjektive Abbildung ist. Die Eindeutigkeit bei Gruppen sollte meiner Meinung nach aus dem gleichen grund gelten. Leider ist der Beweis nicht so ausführlich und meine Frage ist somit nun:
Warum ist folgt aus der Surjektivität von [mm] $\pi$ [/mm] dass der Homomorphismus eindeutig ist???
ich werde jetzt heute abend nicht mehr anfangen darüber nachzudenken. Wenn ich es weiß poste ich es natürlich (-:
Im Anhang seht ihr den beweis wenn ich dateien hochladen kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg René
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 28.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Rene
Der Homomorphismus [mm] $\beta$ [/mm] ist eindeutig im Sinne von:
Ist [mm] $\varphi$ [/mm] ein weiterer Gruppenhomomorphismus mit [mm] $\varphi:G/\ker(\alpha)\to [/mm] H$ und [mm] $\varphi\circ \pi=\alpha$, [/mm] dann gilt [mm] $\varphi=\beta$.
[/mm]
Und das ist -- würde ich meinen -- ziemlich klar.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 So 29.01.2006 | | Autor: | reneP |
Hallo Moudi,
das das ding eindeutig ist, wusste ich ja späestens nachdem ich den Beweis aus dem anderen LA script gepostet habe. Das Problem ist aber das ich das nicht als klar ansehe. Hier ist das was ein Freund von mir dazu sagte:
Zitat:
"Sei $h:G$ / ker [mm] $\alpha\longrightarrow [/mm] H$ ein weiterer Homomorphismus mit [mm] $\alpha=h\circ \pi$ [/mm] dann gilt für die Differenz:
[mm] $(\beta-h)([a])=\beta([a])-h([a])=$ [/mm] (jetzt kommt der mir nicht so ganz klare schritt) [mm] $\alpha(a)-\alpha(a)=0\Rightarrow \beta=h$"
[/mm]
Ich sage dazu nur, woher weiß ich denn dass [mm] $h([a])=\alpha(a)$ [/mm] sein muss? Wo spielt da die surjektivität von [mm] $\pi$ [/mm] rein? oder liegt das viel mehr daran, dass ich eigentlich nichts anderes machen kann, weil ich nichts anderes weiß. Würde das abbilden auf ein anderes Element z.b. [mm] $a\cdot [/mm] g$ einfach nur einer Operation, die ich vorschalte, entsprechen?
lg René
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 29.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Hi Rene,
Tipp: [mm] h([a])=h(pi(a))=$\alpha$(a) [/mm] da $ [mm] \alpha=h\circ \pi [/mm] $ ! (!!!!).
und die Surj. geht ein da ich annehme $x [mm] \in V/\ker(\alpha)$ [/mm] ist von der Form $x=pi(a)=[a]$.
Das waren aber auch die beiden Zeilen, die in meiner Email als nächstes zu lesen waren.
|
|
|
|
