Homomorphiesatz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 01.11.2009 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Hallo zusammen
Aufgabe:
Zeigen sie die folgenden (in der Vorlesung nicht bewiesenen) Aussagen des Homomorphiesatzes:
a) [mm] Im\bar{\phi}= Im\phi
[/mm]
b) [mm] ker\bar{\phi}= \pi(ker\phi)
[/mm]
c) [mm] ker\phi [/mm] = [mm] \pi^{-1}(ker\bar{\phi})
[/mm]
d) [mm] \bar{\phi} [/mm] injektiv [mm] \gdw N=ker\phi [/mm] |
So, zum besser Verständnis werde ich den Satz wie in der Vorlesung hier posten:
Sei [mm] \phi:G\to\;G' [/mm] ein Homomorphismus und [mm] N\subset\;G [/mm] ein Normalteiler mit [mm] N\subset\;ker\phi
[/mm]
Dann existiert genau ein Homomorphismus [mm] \bar{\phi}:G\setminus\!N \to\;G' [/mm] mit [mm] \phi=\bar{\phi}\circ\pi
[/mm]
[mm] \pi [/mm] ist hier die kanonische Projektion [mm] \pi:G\to\;G\setminus\!N
[/mm]
Ich hab hier überhaupt keinen Durchblick. Wo fang ich an?
zu a) Für Mengengleichheit muss ich ja erstmal zwei Inclusionen Zeigen. Aber ich weiß doch garnicht so viel über die Elemente aus den Bildern, oder?
zu b) gleiches problem wie bei den Bildern.
zu c) folgt das nicht direkt aus b)? Wenn nicht, hab ich auch hier das gleiche problem
zud) natürlich formal wieder klar: ich muss "Hin-" und "Rück-"Richtung zeigen. Aber mir ist noch nicht so genau klar, was ich jeweils aus den Vorraussetzungen für Eigendschaften bekomme...
Danke für eure Hilfe, Grüße
Side
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 So 01.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen
> Aufgabe:
> Zeigen sie die folgenden (in der Vorlesung nicht
> bewiesenen) Aussagen des Homomorphiesatzes:
> a) [mm]Im\bar{\phi}= Im\phi[/mm]
> b) [mm]ker\bar{\phi}= \pi(ker\phi)[/mm]
>
> c) [mm]ker\phi[/mm] = [mm]\pi^{-1}(ker\bar{\phi})[/mm]
> d) [mm]\bar{\phi}[/mm] injektiv [mm]\gdw N=ker\phi[/mm]
> So, zum besser
> Verständnis werde ich den Satz wie in der Vorlesung hier
> posten:
> Sei [mm]\phi:G\to\;G'[/mm] ein Homomorphismus und [mm]N\subset\;G[/mm] ein
> Normalteiler mit [mm]N\subset\;ker\phi[/mm]
> Dann existiert genau ein Homomorphismus
> [mm]\bar{\phi}:G\setminus\!N \to\;G'[/mm] mit
> [mm]\phi=\bar{\phi}\circ\pi[/mm]
>
> [mm]\pi[/mm] ist hier die kanonische Projektion
> [mm]\pi:G\to\;G\setminus\!N[/mm]
>
> Ich hab hier überhaupt keinen Durchblick. Wo fang ich an?
> zu a) Für Mengengleichheit muss ich ja erstmal zwei
> Inclusionen Zeigen. Aber ich weiß doch garnicht so viel
> über die Elemente aus den Bildern, oder?
Oh doch, du weisst, dass [mm]\phi=\bar{\phi}\circ\pi[/mm] auf ganz $G$ gilt.
>
> zu b) gleiches problem wie bei den Bildern.
>
> zu c) folgt das nicht direkt aus b)? Wenn nicht, hab ich
> auch hier das gleiche problem
Kommt drauf an, was du mit "direkt" meinst. Die inverse Abbildung [mm] $\pi^{-1}$ [/mm] existiert im Allgemeinen nicht. c ist eine Aussage über das Urbild von [mm] $\ker \bar\phi$.
[/mm]
>
> zud) natürlich formal wieder klar: ich muss "Hin-" und
> "Rück-"Richtung zeigen. Aber mir ist noch nicht so genau
> klar, was ich jeweils aus den Vorraussetzungen für
> Eigendschaften bekomme...
Was sagt denn b aus, wenn [mm] $\bar\phi$ [/mm] injektiv ist?
Viele Grüße
Rainer
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