Homomorphiesatz - Anwendung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] G=(\IR,+) [/mm] und [mm] N=(\IZ;+) [/mm] ein Normalteiler davon. Zeige, dass [mm] \IR /\IZ [/mm] isomorph zur Gruppe [mm] H=\{e^{2\pi*i*a}, a\in \IR\} [/mm] ist. |
Um den Homomorphiesatz anwenden zu können, möchte ich einen surjektiven Homomorphismus f: G->H finden, mit ker [mm] f=\IZ. [/mm]
Ich habe mir überlegt, dass [mm] $e^{2\pi*i*a} [/mm] = [mm] \cos 2\pi*a [/mm] + [mm] i*\sin 2\pi*a$ [/mm] ist. für [mm] a\in\IZ [/mm] ist das ein vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] und [mm] e^{2\pi*i*a}=1 [/mm] , also das neutrale Element in H.
Damit wäre mein [mm] f(a)=e^{2\pi*i*a} [/mm] und ker [mm] f=\IZ [/mm] und nach dem Homomorphiesatz ist dann G/ker f = [mm] \IR /\IZ [/mm] isomorph zu H.
Mein Problem ist, dass mir diese Lösung zu einfach vorkommt..
lg,
Natalie
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In der Aufgabe soll es [mm] e^{2*\pi*i*a} [/mm] heißen! ich muss mich beim [mm] \pi [/mm] vertippt haben..
lg,
Natalie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Fr 06.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Natalie!
> Sei [mm]G=(\IR,+)[/mm] und [mm]N=(\IZ;+)[/mm] ein Normalteiler davon. Zeige,
> dass [mm]\IR /\IZ[/mm] isomorph zur Gruppe [mm]H=\{e^{2\pi*i*a}, a\in \IR\}[/mm]
> ist.
> Um den Homomorphiesatz anwenden zu können, möchte ich einen
> surjektiven Homomorphismus f: G->H finden, mit ker [mm]f=\IZ.[/mm]
>
> Ich habe mir überlegt, dass [mm]e^{2\pi*i*a} = \cos 2\pi*a + i*\sin 2\pi*a[/mm]
> ist. für [mm]a\in\IZ[/mm] ist das ein vielfaches von [mm]2\pi[/mm] und
> [mm]e^{2\pi*i*a}=1[/mm] , also das neutrale Element in H.
Genau. Damit hast du jedoch erstmal nur, dass [mm] $\IZ \subseteq \ker [/mm] f$ ist.
Allerdings: ist [mm] $e^{2 \pi i a} [/mm] = 1$, so muss $a [mm] \in \IZ$ [/mm] sein (das lernt man irgendwo in der Analysis, wo man die Null- und Einsstellen von [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] untersucht). Insofern hat man dann [mm] $\ker [/mm] f = [mm] \IZ$.
[/mm]
> Damit wäre mein [mm]f(a)=e^{2\pi*i*a}[/mm] und ker [mm]f=\IZ[/mm] und nach
> dem Homomorphiesatz ist dann G/ker f = [mm]\IR /\IZ[/mm] isomorph zu
> H.
>
> Mein Problem ist, dass mir diese Lösung zu einfach
> vorkommt..
Sie ist aber korrekt.
LG Felix
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