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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Di 05.04.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich soll den Homomorphiesatz für Gruppen beweisen, der bei uns lautet:
[mm] \varphi \in [/mm] Hom(G,G') [mm] G/Kern(\varphi) \cong Im(\varphi)
[/mm]
(ich glaub manchmal wird der Satz auch als isomorphiesatz bezeichnet)
a [mm] \sim [/mm] b : [mm] \gdw \varphi(a) [/mm] = [mm] \varphi(b) \gdw \varphi(a) \varphi(b) [/mm] = e'
[mm] \gdw \varphi(ab^{-1}) [/mm] = e'
[mm] \Rightarrow kern(\varphi) [/mm] ist Normalteiler [mm] \Rightarrow Ker(\varphi) [/mm] ist Untergruppe
ist das so richtig? Brauche ich, dass [mm] Kern(\varphi) [/mm] Untergruppe ist? Oder ist nur wichtig, dass [mm] Kern(\varphi) [/mm] Normalteiler ist und somit eine Klasseneintilung von G erzeugt? (ich weiß, dass jeder NT eine UG ist)
ich würde dann jetzt noch zeigen, dass [mm] \sim [/mm] eine Kongruenzrelation ist, also verträglich mit der Multiplikation von (G,[mm] * [/mm]) ist:
[mm] \varphi(a*b) [/mm] = [mm] \varphi(a)[/mm] [mm] *' [/mm] [mm] \varphi(b) [/mm] = [mm] \varphi(a')[/mm] [mm] *' [/mm] [mm] \varphi(b') [/mm] = [mm] \varphi(a',b')
[/mm]
und jetzt würd ich zeigen, dass es einen Isomorphismuss [mm] \gamma [/mm] , von [mm] G\kern(\varphi) [/mm] auf G' gibt:
[mm] \gamma([/mm] [mm] \bar a [/mm]) := [mm] \varphi(a)
[/mm]
z.z. [mm] \gamma [/mm] bijektion u. Homomorphismus, surjektivität ist klar nach Def.
[mm] \gamma([/mm] [mm] \bar a [/mm]) = [mm] \gamma([/mm] [mm] \bar b [/mm]) [mm] \gdw \varphi(a) [/mm] = [mm] \varphi(b) \Rightarrow [/mm] a [mm] \sim [/mm] b [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] \bar a [/mm] = [mm] \bar b [/mm]
[mm] \gamma([/mm] [mm] \bar a \bar * \bar b [/mm]) = [mm] \gamma([/mm] [mm] \overline {a * b} [/mm]) = [mm] \varphi(a [/mm] b) = [mm] \varphi(a)[/mm] [mm] *' [/mm] [mm] \varphi(b) [/mm] = [mm] \gamma([/mm] [mm] \bar a [/mm]) [mm] *' [/mm] [mm] \gamma([/mm] [mm] \bar b [/mm])
Kann ich dass das alles so aufschreiben oder fehlt was wichtiges? Ich weiß der Teil am Anfang mit der Kongruenzrelation [mm] \sim [/mm] und dem Kern ist mir selbst nicht so ganz klar, der ist [mm] \sim [/mm] gleich dem kern? Weil doch von beiden eine Klasseneinteilung erzeugt wird?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß Toyo
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Hallo Toyo!
Zunächst mal ist mir nicht ganz klar, wie du aus
[mm] \phi(a)=\phi(b)\Leftrightarrow \phi(ab^{-1})=e' [/mm] schließt, dass [mm] Ker(\phi) [/mm] ein Normalteiler ist. Meine Gruppentheorie ist schon ein paar Jahre her, vielleicht stehe ich auch einfach auf dem Schlauch. Aber prinzipiell ist zu zeigen, dass für alle [mm] a\in{}G [/mm] und [mm] b\in Ker(\phi) aba^{-1}\in Ker(\phi) [/mm] ist.
Das gilt, weil
[mm] \phi(aba^{-1})=\phi(a)\phi(b)\phi(a)^{-1}=e' [/mm] gilt.
Eigentlich muss man zuvor zeigen, dass [mm] Ker(\phi) [/mm] eine Untergruppe ist.
Was ist [mm] G(\phi)? [/mm] Wahrscheinlich [mm] G/Ker(\phi).
[/mm]
Der Rest des Beweises ist von der Idee her - meiner Ansicht nach - vollkommen richtig, auch wenn du vielleicht noch ein paar Worte sagen könntest bzgl. Surjektivität.
Und vielleicht noch ein Tipp: Erkläre immer erst ordentlich, was du zeigen willst und was du voraussetzt, z.B. "Wir zeigen nun, dass [mm] \gamma [/mm] injektiv ist. Seien [mm] \bar{a}, \bar{b}\in G/Ker(\phi), \gamma(\bar{a})=\gamma(\bar{b}). [/mm] Dann gilt ..." Ansonsten tut man sich als Leser - auch du selbst in einer Woche! - ziemlich schwer, den roten Faden zu verfolgen.
In jedem Fall aber ist ~ nicht gleich dem Kern. Es sind lediglich alle Elemente des Kernes bzgl. ~ äquivalent.
Ich hoffe, dass das eine einigermaßen erschöpfende Antwort auf deine Frage ist!
banachella
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