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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 So 15.03.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen
a) [mm] $f_1: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] 2z$
b) [mm] $f_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] z+1$
c) [mm] $f_3: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}*, [/mm] z [mm] \mapsto z^2+1$
[/mm]
d) [mm] $f_4: \mathbb{Z} \setminus p\mathbb{Z} \to \setminus p\mathbb{Z} [/mm] z [mm] \mapsto z^p$
[/mm]
Dabei ist die Verknüpfung in [mm] \mathbb{Z} [/mm] und [mm] \mathbb{Z} \setminus p\mathbb{Z} [/mm] jeweils die Addition, in [mm] \mathbb{Q}*, \mathbb{R}* [/mm] jeweils die Multiplikation und p eine Primzahl. |
Zu a, b und f möchte ich vorweg fragen, ob dass wirklich als Homomorphismus durchgeht, weil die Definitionsmenge und die Bildmenge gleich sind. Trotzdem werde ich diese mal mit einschließen.
a) (a+b)2 = a2+b2 Sofern das nicht wegen dem oben erwähnten ausgeschlossen ist, ist a ein Homomorphismus
b) $(a+b)+1 [mm] \neq [/mm] a+1+b+1. Also ist b kein Homomorphismus, wenn dies nicht schon ohnehin ausgeschlossen ist (s.o.)
c) Einfaches Gegenbeispiel: [mm] $f_3(2+3) \neq f_3(2) [/mm] * [mm] f_3(3)$
[/mm]
d) Nach dem kleinen Satz von Fermat ist [mm] $a^p \equiv [/mm] a (mod p)$ also [mm] $(a+b)^p \equiv [/mm] a+b (mod p)$ und [mm] $a^p+b^p \equiv [/mm] a+b (mod p)$. f ist ein Homomorphismus, sofern das wegen der oben geäußerten Bedenken nicht ausgeschlossen ist.
Ich glaube die Beweise der einfachen Abbildungen sind selbstklärend. Ich habe das mal mit aufgeschrieben, weil ich mir nicht sicher war, ob die Gleiche Definitions- und Bildmenge nicht einen Homomorphismus ausschließt. Was d betrifft: Ich hoffe meine Argumentation ist richtig, bei der Zahlentheorie bin ich noch nicht so weit. Bitte korigiert mich, wenn ich falsch liege.
lg, Dennis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Warum sollte es ein Problem sein, wenn f von einer Menge in die Menge selbst abbildet? Vergiss das lieber wieder...
> Welche der folgenden Abbildungen sind
> Gruppenhomomorphismen
>
> a) [mm]f_1: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, z \mapsto 2z[/mm]
> b) [mm]f_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, z \mapsto z+1[/mm]
>
> c) [mm]f_3: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}*, z \mapsto z^2+1[/mm]
> d)
> [mm]f_4: \mathbb{Z} \setminus p\mathbb{Z} \to \setminus p\mathbb{Z} z \mapsto z^p[/mm]
>
> Dabei ist die Verknüpfung in [mm]\mathbb{Z}[/mm] und [mm]\mathbb{Z} \setminus p\mathbb{Z}[/mm]
> jeweils die Addition, in [mm]\mathbb{Q}*, \mathbb{R}*[/mm] jeweils
> die Multiplikation und p eine Primzahl.
> a) (a+b)2 = a2+b2 Sofern das nicht wegen dem oben erwähnten
> ausgeschlossen ist, ist a ein Homomorphismus
Klaro.
> b) $(a+b)+1 [mm]\neq[/mm] a+1+b+1. Also ist b kein Homomorphismus,
> wenn dies nicht schon ohnehin ausgeschlossen ist (s.o.)
> c) Einfaches Gegenbeispiel: [mm]f_3(2+3) \neq f_3(2) * f_3(3)[/mm]
Ok...
> d) Nach dem kleinen Satz von Fermat ist [mm]a^p \equiv a (mod p)[/mm]
> also [mm](a+b)^p \equiv a+b (mod p)[/mm] und [mm]a^p+b^p \equiv a+b (mod p)[/mm].
> f ist ein Homomorphismus, sofern das wegen der oben
> geäußerten Bedenken nicht ausgeschlossen ist.
Richtig. Nach dem kleinen Satz von Fermat ist also [mm] $f_4$ [/mm] gleich der Identität.
Gruß, Robert
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