Homomorphism.und Äquivalenzrel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Zeigen Sie: Wenn (G,+) eine Gruppe und ein Homomorphismus [mm] \phi [/mm] : [mm] \IZ [/mm] -> G existiert, so ist.
a) x ~ y : [mm] \gdw \phi [/mm] (x) = [mm] \phi [/mm] (y) eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IZ [/mm] , die mit der Addition verträglich ist
b) Entweder ist ~ die Identität auf [mm] \IZ [/mm] oder es gibt eine natürliche Zahl n [mm] \in \IN [/mm] mit x~y [mm] \gdw [/mm] x [mm] \equiv [/mm] y (mod n) für alle x,y [mm] \in \IZ
[/mm]
So, ich denke a) hab ich ordentlich bearbeitet, wenn ich zeige, dass das eine ÄR und die Verträglichkeit mit der Addition durch den Homomorphismus [mm] \phi [/mm] (x+z) = [mm] \phi [/mm] (x) + [mm] \phi [/mm] (z) ist
Bei b) hab ich das auch gezeigt, dass bei der Identität alles erfüllt ist (eigentlich klar?!) und dann auch das mit dem Moduloquark gemacht. Jetz weiss ich aber nicht genau, ob das reicht, oder ob ich noch zeigen muss, dass es keine weiteren Möglichkeiten mehr gibt. Wie seht ihr das?
Ahoj!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das müsste man schon noch begründen, aber es folgt einfach aus der Tatsache, dass [mm] $Kern(\Phi)$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $\IZ$ [/mm] ist, die notwendigerweise entweder trivial oder von der Form $n [mm] \IZ$ [/mm] für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist.
Liebe Grüße
Stefan
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