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| Aufgabe | Betrachtet werde der Ring [mm] \IR^{2x2}. [/mm] Sei
[mm] K:=(\pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] ) ⊂ [mm] \IR^{2x2}.
[/mm]
Welche Eigenschaften hat die Abbildung
φ: [mm] \IR \mapsto [/mm] K
a [mm] \mapsto \pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] |
Ich vermute, dass es sich bei dieser Abbildung um ein "injektiven Homomorphismus" handelt. Ich habe aber kein Ahnung, wie ich das zeigen soll. Kann mir jemand helfen?
Brauche dringend ein Ansatz!
LG Johnny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 18.01.2016 | | Autor: | hippias |
Gute Vermutung. Du zeigst diese Vermutung, indem Du die Bedingungen aus den Definitionen der einzelnen Begriffe nachrechnest.
Also: Wie lautet die Definition von injektiv? Was ist ein Homomorphismus?
Übringens ist es nicht ausreichend zu sagen, dass eine Funktion ein Homomorphismus ist, denn Du musst auch sagen bezüglich welcher Struktur (Gruppenhomomorphismus etc.). Bezüglich welcher Struktur ist [mm] $\varphi$ [/mm] vermutlich ein Homomorphismus?
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> Gute Vermutung. Du zeigst diese Vermutung, indem Du die
> Bedingungen aus den Definitionen der einzelnen Begriffe
> nachrechnest.
>
> Also: Wie lautet die Definition von injektiv?
f heißt injektiv, falls gilt: f(a)=f(b) => a=b
>Was ist ein Homomorphismus?
Ein homomorphismus ist eine Abbildung zwischen 2 Gruppen
>
> Übringens ist es nicht ausreichend zu sagen, dass eine
> Funktion ein Homomorphismus ist, denn Du musst auch sagen
> bezüglich welcher Struktur (Gruppenhomomorphismus etc.).
> Bezüglich welcher Struktur ist [mm]\varphi[/mm] vermutlich ein
> Homomorphismus?
Vielleicht kann ich zeigen, dass es sich um eine Lineare Abbildung handelt:
f(v+v') = f(v)+f(v') [mm] \forall [/mm] v,v' [mm] \in [/mm] V.
f(λ*v) = λ*f(v) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V und alle λ [mm] \in [/mm] K.
hieraus folgt ein Homomorphismus und diese wäre genau dann injektiv, wenn Ker(f)={0} ist => injektiver Homomorphismus.
LG Johnny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mo 18.01.2016 | | Autor: | hippias |
> > Gute Vermutung. Du zeigst diese Vermutung, indem Du die
> > Bedingungen aus den Definitionen der einzelnen Begriffe
> > nachrechnest.
> >
> > Also: Wie lautet die Definition von injektiv?
>
> f heißt injektiv, falls gilt: f(a)=f(b) => a=b
Richtig. Also nimm an, dass [mm] $\varphi(a)= \varphi(b)$ [/mm] gilt. Was heisst das als Matrix geschrieben? Was folgt für $a$ und $b$?
>
> >Was ist ein Homomorphismus?
>
> Ein homomorphismus ist eine Abbildung zwischen 2 Gruppen
>
Da musst Du Dir schon etwas mehr Mühe geben.
> >
> > Übringens ist es nicht ausreichend zu sagen, dass eine
> > Funktion ein Homomorphismus ist, denn Du musst auch sagen
> > bezüglich welcher Struktur (Gruppenhomomorphismus etc.).
> > Bezüglich welcher Struktur ist [mm]\varphi[/mm] vermutlich ein
> > Homomorphismus?
>
Die Rede ist von Ringen! Daher geht es, wenn überhaupt um einen Ringhomomorphismus. Wie lautet die richtige Definition dafür?
> Vielleicht kann ich zeigen, dass es sich um eine Lineare
> Abbildung handelt:
>
> f(v+v') = f(v)+f(v') [mm]\forall[/mm] v,v' [mm]\in[/mm] V.
> f(λ*v) = λ*f(v) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V und alle λ [mm]\in[/mm] K.
>
> hieraus folgt ein Homomorphismus und diese wäre genau dann
> injektiv, wenn Ker(f)={0} ist => injektiver
> Homomorphismus.
>
> LG Johnny
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Ich hätte das jetzt in zwei Schritte gezeigt.
1. Homomorphismus:
Sei [mm] f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] und sei [mm] f(b)=\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }, [/mm] dann ist [mm] f(a+b)=f(\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+\pmat{ b & 0 \\ 0 & b })=\pmat{ a+b & 0 \\ 0 & a+b }=f\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+f\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }=f(a)+f(b)
[/mm]
2. Injektivität:
Sei [mm] f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] und sei [mm] f(b)=\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }, [/mm] dann f(a)=f(b) => [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & a }-\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] => a-a´=0 => a=a´
=> Injektiver Homomorphismus
Q.E.D.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich zeigen muss, dass die Abbildung nicht subjektiv ist. Hast du vielleicht einen einfachen Beweis dafür?
PS: In den Aufgaben zuvor habe ich bewiesen, dass K nicht nur ein Ring sondern auch ein Körper ist.
LG Johnny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Di 19.01.2016 | | Autor: | hippias |
> Ich hätte das jetzt in zwei Schritte gezeigt.
>
> 1. Homomorphismus:
Ist [mm] $\varphi$ [/mm] jetzt plötzlich zu $f$ geworden? Es ist ja alles wurscht...
>
> Sei [mm]f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }[/mm] und sei [mm]f(b)=\pmat{ b & 0 \\ 0 & b },[/mm]
> dann ist [mm]f(a+b)=f(\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+\pmat{ b & 0 \\ 0 & b })=\pmat{ a+b & 0 \\ 0 & a+b }=f\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+f\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }=f(a)+f(b)[/mm]
>
Die Terme
[mm] $f(\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+\pmat{ b & 0 \\ 0 & b })$ [/mm] und [mm] $f\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+f\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }$
[/mm]
sind falsch: [mm] $\varphi$ [/mm] bildet keine Matrizen ab! Streich den ersten aus der Gleichungskette und korrigiere den zweiten, dann ist die Homomorphismuseigenschaft bewiesen. Genauer gesagt, ist [mm] $\varphi$ [/mm] ein Homomorphismus der Strukturen [mm] $(\IR,+)$ [/mm] und $(K,+)$. Du sagst aber, dass es sich um Körper handelt, also solltest Du auch nachrechnen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] sogar ein Homomorphismus von Körpern ist! Das habe ich Dir schon in der letzten Mitteilung gesagt.
> 2. Injektivität:
>
> Sei [mm]f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }[/mm] und sei [mm]f(b)=\pmat{ b & 0 \\ 0 & b },[/mm]
> dann f(a)=f(b) => [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }-\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> => a-a´=0 => a=a´
Ich nehme an, Du hast Dich nur verschriea´en. Ist sonst aber in Ordnung.
>
> => Injektiver Homomorphismus
>
> Q.E.D.
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob ich zeigen muss, dass die
> Abbildung nicht subjektiv ist. Hast du vielleicht einen
> einfachen Beweis dafür?
Prüfe, ob [mm] $\varphi$ [/mm] die Definition einer surjektiven Abbildung erfüllt!
>
> PS: In den Aufgaben zuvor habe ich bewiesen, dass K nicht
> nur ein Ring sondern auch ein Körper ist.
>
> LG Johnny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Di 19.01.2016 | | Autor: | Johnny1994 |
> > Ich hätte das jetzt in zwei Schritte gezeigt.
> >
> > 1. Homomorphismus:
> Ist [mm]\varphi[/mm] jetzt plötzlich zu [mm]f[/mm] geworden? Es ist ja
> alles wurscht...
>
> >
> > Sei [mm]f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }[/mm] und sei [mm]f(b)=\pmat{ b & 0 \\ 0 & b },[/mm]
> > dann ist [mm]f(a+b)=f(\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+\pmat{ b & 0 \\ 0 & b })=\pmat{ a+b & 0 \\ 0 & a+b }=f\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+f\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }=f(a)+f(b)[/mm]
>
> >
> Die Terme
>
> [mm]f(\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+\pmat{ b & 0 \\ 0 & b })[/mm] und
> [mm]f\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }+f\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }[/mm]
>
> sind falsch: [mm]\varphi[/mm] bildet keine Matrizen ab! Streich den
> ersten aus der Gleichungskette und korrigiere den zweiten,
> dann ist die Homomorphismuseigenschaft bewiesen. Genauer
> gesagt, ist [mm]\varphi[/mm] ein Homomorphismus der Strukturen
> [mm](\IR,+)[/mm] und [mm](K,+)[/mm]. Du sagst aber, dass es sich um Körper
> handelt, also solltest Du auch nachrechnen, dass [mm]\varphi[/mm]
> sogar ein Homomorphismus von Körpern ist! Das habe ich Dir
> schon in der letzten Mitteilung gesagt.
>
> > 2. Injektivität:
> >
> > Sei [mm]f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }[/mm] und sei [mm]f(b)=\pmat{ b & 0 \\ 0 & b },[/mm]
> > dann f(a)=f(b) => [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }-\pmat{ b & 0 \\ 0 & b }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > => a-a´=0 => a=a´
> Ich nehme an, Du hast Dich nur verschriea´en. Ist sonst
> aber in Ordnung.
Wo verschieben?
> >
> > => Injektiver Homomorphismus
> >
> > Q.E.D.
> >
> > Ich bin mir nicht sicher, ob ich zeigen muss, dass die
> > Abbildung nicht subjektiv ist. Hast du vielleicht einen
> > einfachen Beweis dafür?
> Prüfe, ob [mm]\varphi[/mm] die Definition einer surjektiven
> Abbildung erfüllt!
>
> >
> > PS: In den Aufgaben zuvor habe ich bewiesen, dass K nicht
> > nur ein Ring sondern auch ein Körper ist.
> >
> > LG Johnny
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Di 19.01.2016 | | Autor: | Thomas_Aut |
Ich nehme stark an, dass hippias hier folgendes meint :
es geht um a und b und nicht um a und a'
lg
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[mm] \phi \IR \to [/mm] K nicht sujektiv. Angenommen f sei sujektiv, dann gibt es zu jedem [mm] f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] ein a [mm] \in \IR. [/mm] Sei [mm] f(a)=\pmat{ a & b \\ -b & a }=> [/mm] b=0 nach [mm] f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] => b-b=0 da [mm] (K\{0},*) [/mm] alelsche Gruppe, wäre b≠0. Das ist ein Widerspruch zu a*b [mm] \mapsto [/mm] f(a*b)≠0 .
Ist das so richtig? LG Johnny
PS: Bitte korrigieren und verbessern. Vielen Danke im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Di 19.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\phi \IR \to[/mm] K nicht sujektiv. Angenommen f sei sujektiv,
> dann gibt es zu jedem [mm]f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }[/mm] ein a
> [mm]\in \IR.[/mm] Sei [mm]f(a)=\pmat{ a & b \\ -b & a }=>[/mm] b=0 nach
> [mm]f(a)=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }[/mm] => b-b=0 da [mm](K\{0},*)[/mm] alelsche
> Gruppe, wäre b≠0. Das ist ein Widerspruch zu a*b [mm]\mapsto[/mm]
> f(a*b)≠0 .
>
> Ist das so richtig?
Nein. Mit Verlaub, das ist Murk. Wäre f surjektiv, so gäbe es zu jeder Matrix A [mm] \in [/mm] K ein a [mm] \in \IR [/mm] mit f(a)=A.
Nun nimm mal [mm] A=\pmat{ 0 & 1\\ -1 & 0 }
[/mm]
FRED
> LG Johnny
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> PS: Bitte korrigieren und verbessern. Vielen Danke im
> Voraus!
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