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| Aufgabe | | Es sei [mm]\mathcal{S}^1[/mm] die mutliplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Gibt es einen nicht-trivialen Homomorphismus von [mm]A_7[/mm] nach [mm]\mathcal{S}^1[/mm]? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Auch wieder eine Mutliple Choice Aufgabe. Nun vom 7. Zettel. Die Antwort ist "Nein". Hier muss ich gestehen, dass ich überhaupt keine Ahnung habe, wie ich das zeigen soll.
Vielen Dank für eine Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Jochen,
Du weißt, dass [mm] $A_7$ [/mm] einfach ist, d.h. sie enthält keine nicht-trivialen Normalteiler. Da der Kern eines Homomorphismus [mm] $A_7\rightarrow S^{1}$ [/mm] aber normal ist, muss ein solcher Homomorphismus entweder trivial oder injektiv sein. Im letzten Fall wäre aber [mm] $A_7$ [/mm] isomorph zu einer Untergruppe von [mm] $S^{1}$. [/mm] Eine solche ist aber stets abelsch, im Gegensatz zu [mm] $A_7$, [/mm] Widerspruch.
Viele Grüße,
Jan
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