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Homomorphismus - Rechengesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 So 21.03.2010
Autor: s-jojo

Aufgabe
[mm] (H,\circ),(I,\circ)Gruppen [/mm] mit neutralem Element eH bzw. eI
[mm] \varphi:H\to [/mm] I

[mm] \forall a\in H:\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1} [/mm]

Hey,

ich versteh die "Def." von oben nicht so ganz, ich hab mir nämlich überlegt, wenn ich
[mm] \varphi(2^{-1}) [/mm] in H nehme, ist das [mm] \varphi(1/2), [/mm] und ist bestimmt nicht die Umkehrfunktion von [mm] \varphi(2)^{-1} [/mm] in I, oder?
Könnte jemand mir ein besseres Beispiel geben?


Lg
s-jojo

        
Bezug
Homomorphismus - Rechengesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 So 21.03.2010
Autor: schachuzipus

Hallo s-jojo,

> [mm](H,\circ),(I,\circ)Gruppen[/mm] mit neutralem Element eH bzw.
> eI

Sind die Verknüpfungen echt dieselben??

>  [mm]\varphi:H\to[/mm] I
>  
> [mm]\forall a\in H:\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}[/mm]
>  Hey,
>  
> ich versteh die "Def." von oben nicht so ganz, ich hab mir
> nämlich überlegt, wenn ich
> [mm]\varphi(2^{-1})[/mm] in H nehme, ist das [mm]\varphi(1/2),[/mm] [notok]

Unsinn, wie kommst du auf dieses doch arg schmale Brett?

Für [mm] $a\in [/mm] H$ ist mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] ist das zu $a$ bzgl. [mm] $\circ$ [/mm] inverse Element gemeint!

Und mit [mm] $\left(\varphi(a)\right)^{-1}$ [/mm] ist das Inverse von [mm] $\varphi(a)$ [/mm] in $I$ bzgl. der Verknüpfung, die in I gilt, gemeint!


> und ist bestimmt nicht die Umkehrfunktion von [mm]\varphi(2)^{-1}[/mm] in I,
> oder?


>  Könnte jemand mir ein besseres Beispiel geben?

Nimm den Homomorphismus: [mm] $\exp:(\IR,+)\to(\IR^{\star},\cdot{})$ [/mm] mit [mm] $\exp(a+b)=\exp(a)\cdot{}\exp(b)$ [/mm]

Hier ist [mm] $\exp\left(a^{-1}\right)=\exp(-a)=\left[\exp(a)\right]^{-1}=\frac{1}{\exp(a)}$ [/mm]

>  
>
> Lg
>  s-jojo


Gruß

schachuzipus

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