Homomorphismus, Restklassen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Freaky |
| Aufgabe | (a) Seien G und H zwei endliche Gruppen, deren Ordnungen |G| und |H| teilerfremd sind. Zeigen Sie, dass es nur einen Homomorphismus von G nach H gibt.
(b) Bestimmen Sie alle Homomorphismen von Z/9Z nach Z/11Z sowie von Z/9Z nach Z/12Z |
Hallihallo,
ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben?
Bei der (b) vermute ich, dass es nur einen Homomorphismen von Z/9Z nach Z/11Z gibt, da 9 und 11 teilerfremd sind, aber ich bin mir nicht sicher und habe erst recht keine Ahnung, wie ich das beweisen kann.
Vielen Dank für jeden Tipp,
Freaky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hallihallo,
> ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Kann mir
> vielleicht jemand einen Ansatz geben?
Zunächst einmal ist der Homomorphismus der immer existiert der triviale Homomorphismus.
Nimm also an dass es einen nichttrivialen Homomorphismus zwischen G und H gibt, und versuche zu einem Widerspruch zu gelangen. Hierzu überlege dir, was du über den Kern und das Bild eines solchen Homomorphismus aussagen kannst, und wende den Satz von Lagrange und den Homomorphiesatz an.
> Bei der (b) vermute ich, dass es nur einen Homomorphismen
> von Z/9Z nach Z/11Z gibt, da 9 und 11 teilerfremd sind,
Ja das folgt sofort aus Aufgabenteil a).
> aber ich bin mir nicht sicher und habe erst recht keine
> Ahnung, wie ich das beweisen kann.
> Vielen Dank für jeden Tipp,
> Freaky
Beste Grüße,
Berieux
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