Homomorphismus v. exp-Funktion < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Di 31.10.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei exp(z) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{n!} [/mm] die auf ganz [mm] \IC [/mm] def. Exponentialfunktion, und [mm] \IR_{>0} [/mm] die Menge der pos. reellen Zahlen.
(i) Z.Z.: [mm] \IR_{>0} [/mm] ist eine Untergruppe von [mm] (\IR [/mm] \ {0}, *)
(ii) Z.Z.: z [mm] \mapsto [/mm] exp(z) ist ein Homomorphismus von [mm] (\IC, [/mm] +) in [mm] (\IC [/mm] \ {0}, *). Bestimme dessen Bild und Kern.
(iii) Z.Z.: Einschränkung von exp auf [mm] \IR [/mm] ist ein Gruppenisomorphismus [mm] (\IR,+) \to (\IR_{>0},*) [/mm] |
Hallo Forum,
ich hab die Aufgabe mal versucht zu lösen, bin mir aber an manchen Stellen nicht sicher, ob das so stimmt. Ich würd mich drüber freuen, wenn jemand meine Lösung anschauen könnte und mich verbessert, wenn was falsch ist.
zu (i):
Da muss man doch die 3 Kriterien für eine Untergruppe zeigen: Abgeschlossenheit, Ex. eines neutralen Elementes und des Inversen.
Zur Abgeschlossenheit: Seien x,y [mm] \in \IR_{>0}. [/mm] Dann ist doch auch x*y [mm] \in \IR_{>0} [/mm] wg. Abgeschl. der Mult. in [mm] \IR_{>0} [/mm] oder?
Ex. des neutralen Elementes: Sei x [mm] \in \IR_{>0}. [/mm] Dann ist x*1=x, da 1 das neutrale Element bzgl * ist. Also folgt 1 [mm] \in \IR_{>0}. [/mm]
Bei der Existenz vom Inversen bin ich mir total unsicher. Ich hab folgendes gemacht: Sei x*y = 1 mit x,y [mm] \in \IR_{>0}. [/mm] Z.Z.: y = [mm] x^{-1}
[/mm]
Da [mm] \IR_{>0} [/mm] Gruppe ist, existiert [mm] x^{-1}. [/mm]
Also [mm] x^{-1}*(x*y) [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] *1. Daraus folgt y = [mm] x^{-1}
[/mm]
zu(ii): Aus Funktionentheorie ist bekannt, dass exp(z+w) = exp(z) * exp(w) für z,w [mm] \in \IC. [/mm] Daraus folgt dass exp(z) ein Homomorphismus ist.
Was das Bild bzw. der Kern dieser Abb. ist, bin ich mir nicht sicher. Ich vermute mal das hier:
B(exp) ={exp(z) | z [mm] \in \IC [/mm] }, ker(exp) = {z [mm] \in \C [/mm] | exp(z) = 1} = {0}.
Stimmt das so?
zu(iii): Der Beweis dass exp' = [mm] exp|\IR [/mm] (exp eingeschränkt auf [mm] \IR) [/mm] ein Homomorphismus ist, läuft doch so wie in (ii) für komplexe Zahlen auch oder? Ich weiß nicht genau, ob der Beweis auch für reelle Zahlen gilt.
Dann muss man noch zeigen, dass [mm] exp|\IR [/mm] bijektiv ist.
Das hab ich so gemacht: exp'(0) = exp'(0+0) = exp'(0) * exp'(0)
Also ist exp'(0) = 1, exp'(z) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IR
[/mm]
Dann 1 = exp'(0) = exp'(z+(-z)) = exp'(z) * exp'(-z) [mm] \forall \in \IR.
[/mm]
Also folgt exp'(-z) = [mm] exp'(z)^{-1}
[/mm]
Also ist exp' bijektiv.
Wie gesagt, ich bin mir an vielen Stellen recht unsicher. Ich hoffe, es korrigiert mich jemand. Vielen Dank dafür!
Gruß, Moe
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Hallo Moe,
> Sei exp(z) := [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{n}}{n!}[/mm] die
> auf ganz [mm]\IC[/mm] def. Exponentialfunktion, und [mm]\IR_{>0}[/mm] die
> Menge der pos. reellen Zahlen.
> (i) Z.Z.: [mm]\IR_{>0}[/mm] ist eine Untergruppe von [mm](\IR[/mm] \ {0},
> *)
>
> (ii) Z.Z.: z [mm]\mapsto[/mm] exp(z) ist ein Homomorphismus von
> [mm](\IC,[/mm] +) in [mm](\IC[/mm] \ {0}, *). Bestimme dessen Bild und Kern.
>
> (iii) Z.Z.: Einschränkung von exp auf [mm]\IR[/mm] ist ein
> Gruppenisomorphismus [mm](\IR,+) \to (\IR_{>0},*)[/mm]
> Hallo
> Forum,
> ich hab die Aufgabe mal versucht zu lösen, bin mir aber an
> manchen Stellen nicht sicher, ob das so stimmt. Ich würd
> mich drüber freuen, wenn jemand meine Lösung anschauen
> könnte und mich verbessert, wenn was falsch ist.
>
> zu (i):
> Da muss man doch die 3 Kriterien für eine Untergruppe
> zeigen: Abgeschlossenheit, Ex. eines neutralen Elementes
> und des Inversen.
>
> Zur Abgeschlossenheit: Seien x,y [mm]\in \IR_{>0}.[/mm] Dann ist
> doch auch x*y [mm]\in \IR_{>0}[/mm] wg. Abgeschl. der Mult. in
> [mm]\IR_{>0}[/mm] oder?
Hopla! Hier benutzt Du das, was Du *beweisen* willst! In einem Beweis darf man nur mit *schon bewiesenem* argumentieren. Du kannst hier aber benutzen, daß für [mm] $a,b\in \IR$ [/mm] entweder $a<b,a=b$ oder $b<a$ gilt; will sagen: Wenn z.B. $a<b$ gilt, kann $a=b$ oder $b<a$ nicht sein.
Da $x, y [mm] \in \IR_{>0}$\subset \IR*$ [/mm] (also Menge der von 0 versch. reellen Zahlen), ist sicher $x*y [mm] \ne [/mm] 0$ (wegen Abgeschlossenheit dort).
Hm, wenn Du den Teilin dem Du zeigst, daß aus $y>0$ auch $y^-1$ folgt, vorher machen könntest... Dann wär's ganz einfach zu zeigen, daß $x*y<0$ nicht sein kann (Widerspruchsbeweis).
>
> Ex. des neutralen Elementes: Sei x [mm]\in \IR_{>0}.[/mm] Dann ist
> x*1=x, da 1 das neutrale Element bzgl * ist. Also folgt 1
> [mm]\in \IR_{>0}.[/mm]
Nöö. Hier weißt Du (Axiome), daß $1 [mm] \ne [/mm] 0$ ist;nun nimmst Du $1<0$ an und mußt irgendwie (unter dieser Annahme) zu 'nem Widerspruchkommen (z.b. 0<0).
>
> Bei der Existenz vom Inversen bin ich mir total unsicher.
> Ich hab folgendes gemacht: Sei x*y = 1 mit x,y [mm]\in \IR_{>0}.[/mm]
> Z.Z.: y = [mm]x^{-1}[/mm]
>
> Da [mm]\IR_{>0}[/mm] Gruppe ist, existiert [mm]x^{-1}.[/mm]
Nöö, s.o.
> Also [mm]x^{-1}*(x*y)[/mm] = [mm]x^{-1}[/mm] *1. Daraus folgt y = [mm]x^{-1}[/mm]
>
>
> zu(ii): Aus Funktionentheorie ist bekannt, dass exp(z+w) =
> exp(z) * exp(w) für z,w [mm]\in \IC.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Daraus folgt dass exp(z)
> ein Homomorphismus ist.
>
> Was das Bild bzw. der Kern dieser Abb. ist, bin ich mir
> nicht sicher. Ich vermute mal das hier:
> B(exp) ={exp(z) | z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, ker(exp) = {z [mm]\in \C[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> exp(z) = 1} = {0}.
>
> Stimmt das so?
Jo.
>
>
> zu(iii): Der Beweis dass exp' = [mm]exp|\IR[/mm] (exp eingeschränkt
> auf [mm]\IR)[/mm] ein Homomorphismus ist, läuft doch so wie in (ii)
> für komplexe Zahlen auch oder? Ich weiß nicht genau, ob der
> Beweis auch für reelle Zahlen gilt.
Naja, man kann die reellen Zahlen mit den $z [mm] \in \IC$ [/mm] identifizieren, deren "Imaginärteil" 0 ist. Wenn [mm] $\exp)z* \exp(w) [/mm] =exp(z+w)$ für alle komplexen $z,w$, dann gilt's erst recht für die rellen.
Soweit erstmal.
Hth
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo zahlenspieler,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Leider hab ich nicht alles verstanden, was du mir geschrieben hast.
> Hm, wenn Du den Teilin dem Du zeigst, daß aus [mm]y>0[/mm] auch
> [mm]y^-1[/mm] folgt, vorher machen könntest... Dann wär's ganz
> einfach zu zeigen, daß [mm]x*y<0[/mm] nicht sein kann
> (Widerspruchsbeweis).
Wieso folgt denn aus y>0 die Ex. des Inversen [mm] y^{-1}? [/mm] Für y<0 gibt es doch auch ein Inverses oder nicht? Kann man sagen, dass weil [mm] y\not= [/mm] 0 ist, es ein Inverses gibt mit [mm] y*y^{-1}=1?
[/mm]
Ich hab auch nicht so richtig verstanden, wie man dann zeigt, dass x*y < 0 nicht sein kann.
> > Ex. des neutralen Elementes: Sei x [mm]\in \IR_{>0}.[/mm] Dann ist
> > x*1=x, da 1 das neutrale Element bzgl * ist. Also folgt 1
> > [mm]\in \IR_{>0}.[/mm]
> Nöö. Hier weißt Du (Axiome), daß [mm]1 \ne 0[/mm] ist;nun nimmst Du
> [mm]1<0[/mm] an und mußt irgendwie (unter dieser Annahme) zu 'nem
> Widerspruchkommen (z.b. 0<0).
Da hab ich auch ein Problem, weil ich nicht drauf komme, wie ich diesen Widerspruchsbeweis machen soll. Vielleicht kannst du mir einen Tipp geben, wie ich da anfangen soll, das wäre sehr nett 
Ich hab noch eine Frage zur (iii). Stimmt der Beweis für die Bijektivität, den ich beim letzten Mal gepostet hab? Da musste man ja neben der Ex. des Homomorphismus ja noch die Bijektivität zeigen, damit es zu einem Isomorphismus wird.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Liebe Grüße,
Moe
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Hallo Moe,
> Hallo zahlenspieler,
> erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Leider hab ich nicht
> alles verstanden, was du mir geschrieben hast.
>
> > Hm, wenn Du den Teilin dem Du zeigst, daß aus [mm]y>0[/mm] auch
> > [mm]y^-1[/mm] folgt, vorher machen könntest... Dann wär's ganz
> > einfach zu zeigen, daß [mm]x*y<0[/mm] nicht sein kann
> > (Widerspruchsbeweis).
>
> Wieso folgt denn aus y>0 die Ex. des Inversen [mm]y^{-1}?[/mm] Für
> y<0 gibt es doch auch ein Inverses oder nicht? Kann man
> sagen, dass weil [mm]y\not=[/mm] 0 ist, es ein Inverses gibt mit
> [mm]y*y^{-1}=1?[/mm]
Nein, daß es ein Inverses für $y [mm] \ne [/mm] 0 gibt, ist ja durch die Axiome festgelegt; daß es von 0 versch. ist, ach klar. Die Frage ist nun: Kann [mm] $y^{-1} [/mm] <0$ sein, wenn $y>0$ ist?
> Ich hab auch nicht so richtig verstanden, wie man dann
> zeigt, dass x*y < 0 nicht sein kann.
Angenommen, Du hast gezeigt: $1>0$ und $vee a a>0 [mm] \folgt a^{-1}>0$. [/mm]
Seien $x>0, y>0$. Dann ist auch [mm] $y^{-1} [/mm] >0$. Und jetzt nimm an $xy<0$ (multiplizier mit [mm] $y^{-1}$)
[/mm]
>
> > > Ex. des neutralen Elementes: Sei x [mm]\in \IR_{>0}.[/mm] Dann ist
> > > x*1=x, da 1 das neutrale Element bzgl * ist. Also folgt 1
> > > [mm]\in \IR_{>0}.[/mm]
> > Nöö. Hier weißt Du (Axiome), daß [mm]1 \ne 0[/mm] ist;nun nimmst Du
> > [mm]1<0[/mm] an und mußt irgendwie (unter dieser Annahme) zu 'nem
> > Widerspruchkommen (z.b. 0<0).
>
> Da hab ich auch ein Problem, weil ich nicht drauf komme,
> wie ich diesen Widerspruchsbeweis machen soll. Vielleicht
> kannst du mir einen Tipp geben, wie ich da anfangen soll,
> das wäre sehr nett
Gerne; nur geht aus den Axiomen, so wie Du sie gepostet hast, nicht hervor
- daß $a>a$ unmöglich ist (= '>' ist irreflexiv, und
- was passiert, wenn ich bei der Trasitivität $a=c$ wähle? Dann steht da ja $a>b$ und $b>a$, also folgt $a>a$, und das widerspricht der "Irreflexivität". Die 3 "Anordnungsaxiome" selbst helfen da nicht weiter :-(. Also braucht man eine zusätzliche Eigenschaft": Man könnte z.B. sagen: Aus $a>b$ und $b>a$ folgt $a=b$.
(Tschuldige, wenn ich vielleicht etwas pingelig bin. Ich setze also mal diese drei Zusatzbedingungen als bekannt voraus.)
So, dann nimm $0>1$ an. Wie Du schriebst, hast Du schon $(-1)x =-x [mm] \;\forall;x \in \IR$ [/mm] bewiesen. Damit ist $(-1)(-1)=-(-1)$; Du müßtest evtl. noch $-(-1)=1$ zeigen.
$0 > 1 [mm] \gdw [/mm] -1 >0$. Dann folgt $1=(-1)(-1)>(-1)*0=0$. Jetzt die Ungleichungen $0>1$ und $1>0$ addieren (benutze 2./3. Anordnungsaxiom).
Zu 3): Bis zur Injektivität komm ich ja noch mit; aber bei der Surjektivität von "exp'" ... Ehrlich gesagt bin ich da im Moment überfragt, ob/wie man das aus der Def. von "exp" auf [mm] $\IC$ [/mm] ableiten kann.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:18 Do 02.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo zahlenspieler,
ich hab jetzt mal versucht, die Aufgabe so zu lösen, wie du es mir gesagt hast. Ich bin mir aber trotzdem an manchen Stellen noch unsicher, daher wäre es nett, wenn du nochmal gucken könntest....
> Nein, daß es ein Inverses für $y [mm]\ne[/mm] 0 gibt, ist ja durch
> die Axiome festgelegt; daß es von 0 versch. ist, ach klar.
> Die Frage ist nun: Kann [mm]$y^{-1}[/mm] <0$ sein, wenn $y>0$ ist?
Z.Z.: [mm] y^{-1} [/mm] > 0. Da [mm] y\not= [/mm] 0, existiert ein Inverses [mm] y^{-1}, [/mm] welches [mm] \not= [/mm] 0 ist. Annahme: [mm] y^{-1} [/mm] < 0. Wenn man diese Ungleichung auf beiden Seiten links mit y multipliziert, steht dann da 1<0. Was ein Widerspruch ist. Also kann nur [mm] y^{-1} [/mm] > 0 sein.
Stimmt das jetzt so?
> > Ich hab auch nicht so richtig verstanden, wie man dann
> > zeigt, dass x*y < 0 nicht sein kann.
> Angenommen, Du hast gezeigt: [mm]1>0[/mm] und [mm]vee a a>0 \folgt a^{-1}>0[/mm].
> Seien [mm]x>0, y>0[/mm]. Dann ist auch [mm]y^{-1} >0[/mm]. Und jetzt nimm an
> [mm]xy<0[/mm] (multiplizier mit [mm]y^{-1}[/mm])
Ich hab eine Frage was dieses vee a a bedeuten soll?
Hier will man doch zeigen, dass xy > 0 ist für x,y >0. Annahme: xy<0.
Wenn ich diese Ungleichung rechts mit [mm] y^{-1} [/mm] multipliziere, steht da x < [mm] 0*y^{-1}, [/mm] also x<0. Widerspruch zur Annahme x > 0. Also folgt, dass xy > 0 ist.
Stimmt das so?
> Gerne; nur geht aus den Axiomen, so wie Du sie gepostet
> hast, nicht hervor
> - daß [mm]a>a[/mm] unmöglich ist (= '>' ist irreflexiv, und
> - was passiert, wenn ich bei der Trasitivität [mm]a=c[/mm] wähle?
> Dann steht da ja [mm]a>b[/mm] und [mm]b>a[/mm], also folgt [mm]a>a[/mm], und das
> widerspricht der "Irreflexivität". Die 3
> "Anordnungsaxiome" selbst helfen da nicht weiter :-(. Also
> braucht man eine zusätzliche Eigenschaft": Man könnte z.B.
> sagen: Aus [mm]a>b[/mm] und [mm]b>a[/mm] folgt [mm]a=b[/mm].
> (Tschuldige, wenn ich vielleicht etwas pingelig bin. Ich
> setze also mal diese drei Zusatzbedingungen als bekannt
> voraus.)
> So, dann nimm [mm]0>1[/mm] an. Wie Du schriebst, hast Du schon
> [mm](-1)x =-x \;\forall;x \in \IR[/mm] bewiesen. Damit ist
> [mm](-1)(-1)=-(-1)[/mm]; Du müßtest evtl. noch [mm]-(-1)=1[/mm] zeigen.
> [mm]0 > 1 \gdw -1 >0[/mm]. Dann folgt [mm]1=(-1)(-1)>(-1)*0=0[/mm]. Jetzt
> die Ungleichungen [mm]0>1[/mm] und [mm]1>0[/mm] addieren (benutze 2./3.
> Anordnungsaxiom).
Aus diesen beiden Ungleichungen folgt doch 1 = 0, ein Widerspruch. Also ist 1>0.
> Zu 3): Bis zur Injektivität komm ich ja noch mit; aber bei
> der Surjektivität von "exp'" ... Ehrlich gesagt bin ich da
> im Moment überfragt, ob/wie man das aus der Def. von "exp"
> auf [mm]\IC[/mm] ableiten kann.
Reicht es für die Bijektivität nicht, wenn man ein Inverses findet? Dann braucht man das nicht mit Injektivität und Surjektivität zu zeigen.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Di 07.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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