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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Di 23.11.2010 | | Autor: | hula |
Hi!
Ich habe eine Frage zur Homotopie. Genauer wie man sich Weghomotopie anschaulich darstellen kann. Meine Frage bezieht sich auf folgenden ![[]](/images/popup.gif) Link Abb. 1.13 und folgende im Beweis von Satz 1.12 auf Seite 43. Abbildung 1.13 ist mir eigentlich klar. Auch wie man auf s und t kommt. Wie weiss ich aber, was ich nun in der wirklichen Homotopie für $\ [mm] \gamma [/mm] $ einsetzen muss. Deutlicher:
Wieso ist $\ [mm] \gamma{(\bruch{2t}{1+s})} [/mm] $ für $\ t [mm] \in [0,\bruch{1+s}{2}] [/mm] $
Genau die gleiche Frage im Beweis von c) und d).
Grundsätzlich sagt mir ja z.B. die Abbildung in b), dass es das selbe ist, wenn ich meinen Weg $\ [mm] \gamma [/mm] $ normal durchlaufe oder eben doppelt so schnell und dafür dann in meinem Endpunkt "warte". Ich glaube ich habe diese Veranschaulichung des Diagramms noch nicht verstanden. Ich danke euch für die Hilfe!
Danke!
hula
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Hallo hula!
> Hi!
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> Ich habe eine Frage zur Homotopie. Genauer wie man sich
> Weghomotopie anschaulich darstellen kann. Meine Frage
> bezieht sich auf folgenden Link Abb.
> 1.13 und folgende im Beweis von Satz 1.12 auf Seite 43.
> Abbildung 1.13 ist mir eigentlich klar. Auch wie man auf s
> und t kommt. Wie weiss ich aber, was ich nun in der
> wirklichen Homotopie für [mm]\ \gamma[/mm] einsetzen muss.
> Deutlicher:
>
> Wieso ist [mm]\ \gamma{(\bruch{2t}{1+s})}[/mm] für [mm]\ t \in [0,\bruch{1+s}{2}][/mm]
>
> Genau die gleiche Frage im Beweis von c) und d).
>
> Grundsätzlich sagt mir ja z.B. die Abbildung in b), dass
> es das selbe ist, wenn ich meinen Weg [mm]\ \gamma[/mm] normal
> durchlaufe oder eben doppelt so schnell und dafür dann in
> meinem Endpunkt "warte". Ich glaube ich habe diese
> Veranschaulichung des Diagramms noch nicht verstanden.
> Ich
> danke euch für die Hilfe!
>
> Danke!
>
> hula
kann es sein, dass Dir einfach nicht klar ist, dass hier die Definition des Produktweges eine Rolle spielt?
[mm] $\gamma \epsilon_{x_1}$ [/mm] ist der Produktweg von [mm] $\gamma$ [/mm] und [mm] $\varepsilon_{x_1}$.
[/mm]
Also:
[mm] $\gamma \epsilon_{x_1}(t): [/mm] I [mm] \rightarrow [/mm] X, [mm] t\mapsto
[/mm]
[mm] \begin{cases}
\gamma(2t), & t\in [0,\frac{1}{2}]\\
\epsilon_{x_1}(2t-1), & t\in [\frac{1}{2},1]
\end{cases}$ [/mm]
Und das ist gleich $F(t,0)$, während $F(t,1) = [mm] \gamma(t)$ [/mm] .
Zur Vorstellung: Bei $s=0$ haben wir den Produktweg, der doppelt so schnell durchlaufen wird wie [mm] $\gamma$. [/mm] Wird $s$ größer, so werden die Wege immer langsamer und dafür die Wartezeit im Endpunkt immer kürzer.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Di 30.11.2010 | | Autor: | hula |
Danke für deine Antwort. Allerdings werde ich daraus nicht wirklich schlau. Mir ist die Definition des Produktweges durchaus klar. Was ich nicht verstehe, wie man überhaupt auf diese Homotopie kommt. Wenn ich selbst zeigen müsste, dass $\ [mm] \gamma \* \epsilon_{x_1} [/mm] $ weghomotop zu $\ [mm] \gamma [/mm] $ ist. Für s=0 erhalte ich den Produktweg, aber ich muss dies ja für beliebige $\ s [mm] \in [/mm] [0,1]$ anschreiben. Also wie kommt man auf:
[mm] \gamma{(\bruch{2t}{1+s})} [/mm] für $\ t [mm] \in [0,\bruch{1+s}{2}]$
[/mm]
Genauso beim Teil d). Wie ich auf die Intervalle für t komme, ist mir klar, aber nicht wie ich auf die entsprechenden Wege - insbesondere die Funktionsargumente- komme! Mir ist bewusst, dass ich im ersten "Drittel" $\ [mm] \gamma [/mm] $ durchlaufe, doch wie mein $\ [mm] \gamma [/mm] $ genau aussieht, kann ich nicht herleiten.
Ich hoffe meine Frage ist jetzt verständlicher gestellt!
Danke
hula
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Hallo hula,
ich hoffe, dass Dir Folgendes weiterhilft:
Die Abbildung (Link) 'empfiehlt' folgende Methode (es gibt auch andere!): Die Intervalle des Parameters $t=t(s)$ werden in Abhängigkeit von $s$ mit Hilfe der Geraden $G : s(t) = 2t-1$ festgelegt.
$t(s) [mm] \in [/mm] [0, [mm] \frac{s+1}{2}]$ [/mm] (Da der Punkt [mm] $(\frac{s+1}{2}, [/mm] s)$ auf der Geraden $G$ liegt)
Daraus und aus der Tatsache, dass für alle $s$ das Argument von [mm] $\gamma$ [/mm] stetig von $t$ abhängen und das ganze Intervall $[0,1]$ durchlaufen muss, ergibt sich eine naheliegende Möglichkeit (Proportionalität des Arguments zu $t$) für die Homotopie:
$F(t,s) =
[mm] \begin{cases}
\gamma(\frac{2}{s+1}t) & t \in [0,\frac{s+1}{2}]\\
\varepsilon_{x_1} & t \in [\frac{s+1}{2},1]
\end{cases}
[/mm]
$
LG mathfunnel
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