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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:19 Mo 13.12.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Behauptung:
Seien a, [mm] b:[0,1]\to [/mm] X Wege mit Bild(a)=Bild(b) und a(0)=b(0) sowie a(1)=b(1).
Dann sind a und b relativ homotop zur Menge [mm] \{0, 1\} [/mm] |
Heyho!
Die Frage ist nun, ob diese Behauptung richtig ist oder falsch. Ich finde es anschaulich klar, dass sie richtig ist, immerhin beschreiben a und b ja die gleiche Kurve. Aber wie man das nun wirklich formal beweist, ist mir nicht klar.
Man muss ja die Existenz einer stetigen Abbildung
[mm] H:[0,1]^{2}\to [/mm] X nachweisen mit:
1) H(t,0)=a(t) [mm] \forall [/mm] t
2) H(t,1)=b(t) [mm] \forall [/mm] t
3) H(0,x)=a(0) und H(1,x)=a(1) [mm] \forall [/mm] x
Irgendwie liegt es mir fern, zu glauben, dass man H konkret konstruieren kann, immerhin sind a und b ja auch nicht konkret angegeben...
Wie stellt man das also dann an?
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 09:04 Mo 13.12.2010 | | Autor: | cycore |
Hi,
> Behauptung:
> Seien a, [mm]b:[0,1]\to[/mm] X Wege mit Bild(a)=Bild(b) und
> a(0)=b(0) sowie a(1)=b(1).
> Dann sind a und b relativ homotop zur Menge [mm]\{0, 1\}[/mm]
vielleicht hilft es dir, wenn du das dort oben zunächst mal umformulierst..ich meine, da steht ja nichts anderes, als dass a und b die gleichen Wege bis auf (orientierungserhaltende) umparametrisierung sind. D.h. [mm]\exists\Phi\colon{[0,1]}\to{[0,1]}[/mm] homöomorphismus (oder diffeom. wenn ihr von differenzierbarer homotopie sprecht) mit [mm]\Phi{(0)}=0,\;\Phi{(1)}=1[/mm] so, dass <span class="math">[mm]a\circ\Phi=b[/mm].
Damit bist du dann in der Lage die Homotopie aufzustellen.
LG cycore
</span>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Mo 13.12.2010 | | Autor: | pelzig |
> vielleicht hilft es dir, wenn du das dort oben zunächst
> mal umformulierst..ich meine, da steht ja nichts anderes,
> als dass a und b die gleichen Wege bis auf
> (orientierungserhaltende) umparametrisierung sind. [...]
Also das steht da nicht. Ich nehme an das ist zu zeigen, und ich bin mir auch nicht sicher ob das im Allgemeinen gilt, d.h. wenn man nicht zusätzliche regularitätsbedingungen an die Wege stellt, z.B. Immersion zu sein im Falle [mm]c:I\to\IR^n[/mm].
Also: In welchen Raum genau gehen die Wege? Sind zusätzliche nette Bedinungen für die Wege gegeben?
Gruß, Robert
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:01 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Merle23 |
Das ist falsch. Betrachte einfach mal als Gegenbeispiel die Wege [mm]a,b: [0,1] \to \IR[/mm] mit [mm]a(x) := x[/mm] und b der Weg, welcher auf dem ersten Drittel von [0,1] von 0 nach 1 geht, dann auf dem zweiten Drittel wieder nach 0 und auf dem letzten Drittel wieder nach 1 (oder einfach allgemeiner: ein nicht injektiver Weg). LG, Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mo 13.12.2010 | | Autor: | cycore |
Oh mein Gott wie peinlich...
ich bitte, jegliche verwirrungen und umstände zu entschuldigen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Behauptung:
> Seien a, [mm]b:[0,1]\to[/mm] X Wege mit Bild(a)=Bild(b) und
> a(0)=b(0) sowie a(1)=b(1).
> Dann sind a und b relativ homotop zur Menge [mm]\{0, 1\}[/mm]
>
> Die Frage ist nun, ob diese Behauptung richtig ist oder
> falsch. Ich finde es anschaulich klar, dass sie richtig
> ist, immerhin beschreiben a und b ja die gleiche Kurve.
Die Anschauung trügt. Habt ihr schon die Fundamentalgruppe des Einheitskreises berechnet, bzw. kennst du dich damit ein klein wenig aus? LG, Alex
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