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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Fr 20.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Für zwei steige Abbildungen [mm] f,g:\mathbb{S}^1\mapsto \mathbb{S}^1 [/mm] sei fg(z):=f(z)g(z) (Multipkikation komplexer Zahlen).
Für [f], [mm] [g]\in [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1], [/mm] wobei [mm] [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1] [/mm] die Menge aller stetigen Abbildungen von [mm] \mathbb{S}^1 [/mm] nach [mm] \mathbb{S}^1 [/mm] bezüglich der Homotopierelation, definieren wir eine Verknüpfung + auf [mm] [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1] [/mm] durch [f]+[g]:=[fg].
Zeigen Sie: (i) + ist wohldefiniert
(ii) [mm] ([\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1],+) [/mm] ist eine Gruppe |
Hallo Leute,
nun zu (i):
Sei f, [mm] f'\in [/mm] [f] und [mm] g,g'\in [/mm] [g]. Dann muss ich doch zeigen, dass [f]+[g]:=[fg] das gleiche ist wie [f']+[g']:=[f'g'] und dazu brauch ich ne Homotopie zwischen fg und f'g', allerdings fehlt mir dazu die richtige Idee. Wär klasse, wenn jemand dabei helfen könnte eine konkrete Homotopie anzugeben. Vielen Dank.
zu (ii):
Hier macht mir das neutale Element und das Inverse zu schaffen. Ich hab mir das bsiher folgendermaßen gedacht. Neutrales Element [mm] e:=c_1, [/mm] d.h. die konstante Funktion, die jedes Element auf die 1 abbildet und als Inverse von f gerade [mm] f^{-1}:=\bruch{1}{f}.
[/mm]
Demnach gilt:
[mm] [f]+[c_1]=[fc_1]=[fc_1(z)]=[f(z)c_1(z)]=[f(z)1]=[f(z)]=[f] [/mm] für alle [mm] z\in \mathbb{S}^1
[/mm]
[mm] [f]+[f^{-1}]=[ff^{-1}]=[ff^{-1}(z)]=[f(z)f^{-1}(z)]=[f(z)\bruch{1}{f(z)}]=[1]=[c_1(z)]=[c_1] [/mm] für alle [mm] z\in \mathbb{S}^1, f(z)\not=0
[/mm]
Stimmt das in etwa so?? Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für zwei steige Abbildungen [mm]f,g:\mathbb{S}^1\mapsto \mathbb{S}^1[/mm]
> sei fg(z):=f(z)g(z) (Multipkikation komplexer Zahlen).
> Für [f], [mm][g]\in [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1],[/mm] wobei
> [mm][\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1][/mm] die Menge aller stetigen
> Abbildungen von [mm]\mathbb{S}^1[/mm] nach [mm]\mathbb{S}^1[/mm] bezüglich
> der Homotopierelation, definieren wir eine Verknüpfung +
> auf [mm][\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1][/mm] durch [f]+[g]:=[fg].
> Zeigen Sie: (i) + ist wohldefiniert
> (ii) [mm]([\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1],+)[/mm] ist eine
> Gruppe
> Hallo Leute,
>
> nun zu (i):
> Sei f, [mm]f'\in[/mm] [f] und [mm]g,g'\in[/mm] [g]. Dann muss ich doch
> zeigen, dass [f]+[g]:=[fg] das gleiche ist wie
> [f']+[g']:=[f'g'] und dazu brauch ich ne Homotopie zwischen
> fg und f'g', allerdings fehlt mir dazu die richtige Idee.
> Wär klasse, wenn jemand dabei helfen könnte eine konkrete
> Homotopie anzugeben. Vielen Dank.
Ich verstehe dein Problem nicht so recht. Da [mm] $f,f'\in[f]$ [/mm] und [mm] $g,g'\in[g]$ [/mm] gilt hast du doch in beiden Fällen jeweils eine konkrete Homotopie, und daraus kannst du die zwischen $fg$ und $f'g'$ konstruieren.
>
> zu (ii):
> Hier macht mir das neutale Element und das Inverse zu
> schaffen. Ich hab mir das bsiher folgendermaßen gedacht.
> Neutrales Element [mm]e:=c_1,[/mm] d.h. die konstante Funktion, die
> jedes Element auf die 1 abbildet und als Inverse von f
> gerade [mm]f^{-1}:=\bruch{1}{f}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Solltest du das nicht als $e:=[1]$ und $[f]^{-1] := [\bruch{1}{f}]$ schreiben?
> Demnach gilt:
> [mm][f]+[c_1]=[fc_1]=[fc_1(z)]=[f(z)c_1(z)]=[f(z)1]=[f(z)]=[f][/mm]
> für alle [mm]z\in \mathbb{S}^1[/mm]
>
> [mm][f]+[f^{-1}]=[ff^{-1}]=[ff^{-1}(z)]=[f(z)f^{-1}(z)]=[f(z)\bruch{1}{f(z)}]=[1]=[c_1(z)]=[c_1][/mm]
> für alle [mm]z\in \mathbb{S}^1, f(z)\not=0[/mm]
>
> Stimmt das in etwa so?? Vielen Dank schon mal.
Du musst ein bischen klarer zwischen Äquivalenzklassen und Repräsentanten unterscheiden:
[mm] [f]+[1] = [f1] = [f] [/mm]
und
[mm] [f]+[f]^{-1} = [f] + [\bruch{1}{f}] = [f\bruch{1}{f}] = [1] = e [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
> Hallo!
>
> > Für zwei steige Abbildungen [mm]f,g:\mathbb{S}^1\mapsto \mathbb{S}^1[/mm]
> > sei fg(z):=f(z)g(z) (Multipkikation komplexer Zahlen).
> > Für [f], [mm][g]\in [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1],[/mm] wobei
> > [mm][\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1][/mm] die Menge aller stetigen
> > Abbildungen von [mm]\mathbb{S}^1[/mm] nach [mm]\mathbb{S}^1[/mm] bezüglich
> > der Homotopierelation, definieren wir eine Verknüpfung +
> > auf [mm][\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1][/mm] durch [f]+[g]:=[fg].
> > Zeigen Sie: (i) + ist wohldefiniert
> > (ii) [mm]([\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1],+)[/mm] ist
> eine
> > Gruppe
> > Hallo Leute,
> >
> > nun zu (i):
> > Sei f, [mm]f'\in[/mm] [f] und [mm]g,g'\in[/mm] [g]. Dann muss ich doch
> > zeigen, dass [f]+[g]:=[fg] das gleiche ist wie
> > [f']+[g']:=[f'g'] und dazu brauch ich ne Homotopie zwischen
> > fg und f'g', allerdings fehlt mir dazu die richtige Idee.
> > Wär klasse, wenn jemand dabei helfen könnte eine konkrete
> > Homotopie anzugeben. Vielen Dank.
>
> Ich verstehe dein Problem nicht so recht. Da [mm]f,f'\in[f][/mm] und
> [mm]g,g'\in[g][/mm] gilt hast du doch in beiden Fällen jeweils eine
> konkrete Homotopie, und daraus kannst du die zwischen [mm]fg[/mm]
> und [mm]f'g'[/mm] konstruieren.
Okay das hat sich inzwischen erledigt. Ich hab mir zwei Homotopin gebastelt, die auch passen.
>
> >
> > zu (ii):
> > Hier macht mir das neutale Element und das Inverse zu
> > schaffen. Ich hab mir das bsiher folgendermaßen gedacht.
> > Neutrales Element [mm]e:=c_1,[/mm] d.h. die konstante Funktion, die
> > jedes Element auf die 1 abbildet und als Inverse von f
> > gerade [mm]f^{-1}:=\bruch{1}{f}.[/mm]
>
> Solltest du das nicht als [mm]e:=[1][/mm] und [mm][f]^{-1] := [\bruch{1}{f}][/mm]
> schreiben?
>
> > Demnach gilt:
> >
> [mm][f]+[c_1]=[fc_1]=[fc_1(z)]=[f(z)c_1(z)]=[f(z)1]=[f(z)]=[f][/mm]
> > für alle [mm]z\in \mathbb{S}^1[/mm]
> >
> >
> [mm][f]+[f^{-1}]=[ff^{-1}]=[ff^{-1}(z)]=[f(z)f^{-1}(z)]=[f(z)\bruch{1}{f(z)}]=[1]=[c_1(z)]=[c_1][/mm]
> > für alle [mm]z\in \mathbb{S}^1, f(z)\not=0[/mm]
> >
> > Stimmt das in etwa so?? Vielen Dank schon mal.
>
> Du musst ein bischen klarer zwischen Äquivalenzklassen und
> Repräsentanten unterscheiden:
>
> [mm][f]+[1] = [f1] = [f][/mm]
>
> und
>
> [mm][f]+[f]^{-1} = [f] + [\bruch{1}{f}] = [f\bruch{1}{f}] = [1] = e[/mm]
Da bin ich mir halt etwas unsicher, ob ich zwischen [mm] [f\bruch{1}{f}] [/mm] und [1] direkt Gleichheit annehmen darf. Ich dachte ich muss das erst noch zeigen durch [mm] f\bruch{1}{f}(z)=f(z)\bruch{1}{f}(z)=1 [/mm] für alle [mm] z\in \mathbb{S}^1. [/mm] Also kann ich hier doch sofort von Gleichheit sprechen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > [mm][f]+[f]^{-1} = [f] + [\bruch{1}{f}] = [f\bruch{1}{f}] = [1] = e[/mm]
>
> Da bin ich mir halt etwas unsicher, ob ich zwischen
> [mm][f\bruch{1}{f}][/mm] und [1] direkt Gleichheit annehmen darf.
> Ich dachte ich muss das erst noch zeigen durch
> [mm]f\bruch{1}{f}(z)=f(z)\bruch{1}{f}(z)=1[/mm] für alle [mm]z\in \mathbb{S}^1.[/mm]
> Also kann ich hier doch sofort von Gleichheit sprechen??
Wenn $a=b$, dann ist offensichtlich $[a]=[b]$. Und da [mm] $f*\bruch{1}{f}=1$ [/mm] ist ($1$ ist hier die konstante Funktion 1, nicht die Zahl 1), ist [mm] $[f*\bruch{1}{f}]=[1]$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Wenn $ a=b $, dann ist offensichtlich $ [a]=[b] $. Und da $ [mm] f\cdot{}\bruch{1}{f}=1 [/mm] $ ist ($ 1 $ ist hier die konstante Funktion 1, nicht die Zahl 1), ist $ [mm] [f\cdot{}\bruch{1}{f}]=[1] [/mm] $.
Okay danke nur das ist eigentlich klar. Aber meine Frage war eher woher ich denn nun weiß dass [mm] f\cdot{}\bruch{1}{f}=1 [/mm] ist. Das verstehe ich nicht so ganz. Deswegen war ich der Meinung, dass ich das noch zeigen muss und zwar durch [mm] f\bruch{1}{f}(z)=f(z)\bruch{1}{f}(z)=1 [/mm] für alle [mm] z\in \mathbb{S}^1. [/mm] Und von [mm] f\bruch{1}{f}(z)=1 [/mm] (1 hier als Zahl) kann ich dann auf [mm] f\cdot{}\bruch{1}{f}=1 [/mm] (1 hier als konstante Funktion) schließen oder brauch ich das gar nicht??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn [mm]a=b [/mm], dann ist offensichtlich [mm][a]=[b] [/mm]. Und da
> [mm]f\cdot{}\bruch{1}{f}=1[/mm] ist ([mm] 1[/mm] ist hier die konstante
> Funktion 1, nicht die Zahl 1), ist
> [mm][f\cdot{}\bruch{1}{f}]=[1] [/mm].
>
> Okay danke nur das ist eigentlich klar. Aber meine Frage
> war eher woher ich denn nun weiß dass
> [mm]f\cdot{}\bruch{1}{f}=1[/mm] ist. Das verstehe ich nicht so ganz.
Das ergibt sich aus der Definition der Multiplikation, nämlich aus $(fg)(z)=f(z)g(z)$. Denn dadurch hast du ja
[mm] \bruch{1}{f}(z) = \bruch{1}{f(z)} [/mm].
> Deswegen war ich der Meinung, dass ich das noch zeigen muss
> und zwar durch [mm]f\bruch{1}{f}(z)=f(z)\bruch{1}{f}(z)=1[/mm] für
> alle [mm]z\in \mathbb{S}^1.[/mm] Und von [mm]f\bruch{1}{f}(z)=1[/mm] (1 hier
> als Zahl) kann ich dann auf [mm]f\cdot{}\bruch{1}{f}=1[/mm] (1 hier
> als konstante Funktion) schließen oder brauch ich das gar
> nicht??
Ah, das ist die Frage, wie genau du jeden einzelnen Schritt zerlegen musst, bzw. welche Schritte du als implizit gültig ansiehst. Und die Antwort hängt davon ab, was dein Übungsleiter sehen will. Ich persönlich wäre auch ohne diese Details zufrieden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar. Okay dann vielen Dank.
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