Homotopiegruppe - assoziativ < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gezeigt werden soll, dass [mm] \Pi_{0}(X,x_0)/\sim [/mm] eine Gruppe ist.
Dabei ist [mm] \Pi_{0}(X,x_0) [/mm] die Gruppe der geschlossenen Wege bei [mm] x_0 [/mm] und [mm] c_1 \sim c_2 \gdw [/mm] Es existiert eine Homotopie zwischen [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2.
[/mm]
Als Verknüpfung sei [mm] [c_1] [/mm] * [mm] [c_2] [/mm] = [mm] [c_1\*c_2] [/mm] mit [mm] c_1\*c_2 [/mm] = [mm] \begin{cases} c_1(2t), & 0 \le t \le 1/2 \\ c_2(2t-1), & 1/2 \le t \le 1 \end{cases} [/mm] gegeben. |
Ich habe soweit alle Gruppeneigenschaften gezeigt, mir fehlt lediglich die Assoziativität. Bisher habe ich dazu folgendes:
Seien [mm] c_1,c_2c_3 \in \Pi_{0}. [/mm] Dann gilt:
[mm] c_1\*(c_2\*c_3) [/mm] = [mm] \begin{cases} c_1(2t), & 0 \le t \le 1/2 \\ c_2(4t-2), & 1/2 \le t \le 3/4 \\ c_3(4t-3), & 3/4 \le t \le 1\end{cases}
[/mm]
[mm] (c_1\*c_2)\*c_3 [/mm] = [mm] \begin{cases} c_1(4t), & 0 \le t \le 1/4 \\ c_2(4t-1), & 1/4 \le t \le 1/2 \\ c_3(2t-1), & 1/2 \le t \le 1\end{cases}
[/mm]
Ich habe nun versucht eine Homotopie zu finden und bin ersteinmal auf folgende Abbildung gekommen:
F(t,s) = [mm] \begin{cases}
c_1(2t + 2ts), & 0 \le t \le 1/4
\\ c_2(2t(1-s)) - x_0 + c_2((4t-1)s), & 1/4 \le t \le 1/2
\\ c_2((4t-2)(1-s)), - x_0 + c_3((2t-1)s) & 1/2 \le t \le 3/4
\\ c_3(2t-1 + (2t-2)(1-s)), & 3/4 \le t \le 1
\end{cases}
[/mm]
Diese Abbildung erfüllt die Bedingung, dass F(t,0) = [mm] c_1\*(c_2\*c_3) [/mm] und [mm] F(t,1)=(c_1\*c_2)\*c_3, [/mm] sie ist aber in dern Punkten 1/4, 1/2 und 3/4 nicht stetig. Immer, wenn ich versuche die Abbildung stetig zu machen, dann stimmen die ersten beiden Bedingungen nicht mehr.
Ist es überhaupt sinnvoll hier eine Homotopie zu suchen oder wäre ein anderer Weg besser?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:07 So 18.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Gezeigt werden soll, dass [mm]\Pi_{0}(X,x_0)/\sim[/mm] eine Gruppe
> ist.
> Dabei ist [mm]\Pi_{0}(X,x_0)[/mm] die Gruppe der geschlossenen Wege
> bei [mm]x_0[/mm]
Wieso sollte [mm] $\Pi_0(X, x_0)$ [/mm] eine Gruppe sein? Eine Gruppe wird es doch erst modulo [mm] $\sim$, [/mm] vorher existieren doch keine inversen Elemente, und die Verknuepfung ist nicht assoziativ.
> und [mm]c_1 \sim c_2 \gdw[/mm] Es existiert eine Homotopie
> zwischen [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2.[/mm]
> Als Verknüpfung sei [mm][c_1][/mm] * [mm][c_2][/mm] = [mm][c_1\*c_2][/mm] mit
> [mm]c_1\*c_2[/mm] = [mm]\begin{cases} c_1(2t), & 0 \le t \le 1/2 \\ c_2(2t-1), & 1/2 \le t \le 1 \end{cases}[/mm]
> gegeben.
> Ich habe soweit alle Gruppeneigenschaften gezeigt, mir
> fehlt lediglich die Assoziativität. Bisher habe ich dazu
> folgendes:
>
> Seien [mm]c_1,c_2c_3 \in \Pi_{0}.[/mm] Dann gilt:
>
> [mm]c_1\*(c_2\*c_3)[/mm] = [mm]\begin{cases} c_1(2t), & 0 \le t \le 1/2 \\ c_2(4t-2), & 1/2 \le t \le 3/4 \\ c_3(4t-3), & 3/4 \le t \le 1\end{cases}[/mm]
>
> [mm](c_1\*c_2)\*c_3[/mm] = [mm]\begin{cases} c_1(4t), & 0 \le t \le 1/4 \\ c_2(4t-1), & 1/4 \le t \le 1/2 \\ c_3(2t-1), & 1/2 \le t \le 1\end{cases}[/mm]
>
> Ich habe nun versucht eine Homotopie zu finden und bin
> ersteinmal auf folgende Abbildung gekommen:
>
> F(t,s) = [mm]\begin{cases}
c_1(2t + 2ts), & 0 \le t \le 1/4
\\ c_2(2t(1-s)) - x_0 + c_2((4t-1)s), & 1/4 \le t \le 1/2
\\ c_2((4t-2)(1-s)), - x_0 + c_3((2t-1)s) & 1/2 \le t \le 3/4
\\ c_3(2t-1 + (2t-2)(1-s)), & 3/4 \le t \le 1
\end{cases}[/mm]
>
> Diese Abbildung erfüllt die Bedingung, dass F(t,0) =
> [mm]c_1\*(c_2\*c_3)[/mm] und [mm]F(t,1)=(c_1\*c_2)\*c_3,[/mm] sie ist aber in
> dern Punkten 1/4, 1/2 und 3/4 nicht stetig. Immer, wenn ich
> versuche die Abbildung stetig zu machen, dann stimmen die
> ersten beiden Bedingungen nicht mehr.
Ueberleg dir doch mal folgendes:
Wenn du [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] mit $0 < [mm] \lambda_1 [/mm] < [mm] \lambda_2 [/mm] < 1$ vorgibst, wie kannst du eine Abbildung $c$ finden, die auf $[0, [mm] \lambda_1]$ $c_1$ [/mm] entspricht, auf [mm] $[\lambda_1, \lambda_2]$ $c_2$ [/mm] und auf [mm] $[\lambda_2, [/mm] 1]$ [mm] $c_3$? [/mm] Und zwar so dass du fuer [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1/2$, [mm] $\lambda_2 [/mm] = 3/4$ gerade [mm] $c_1 \ast (c_2 \ast c_3)$ [/mm] und fuer [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1/4$, [mm] $\lambda_2 [/mm] = 1/2$ gerade [mm] $(c_1 \ast c_2) \ast c_3$ [/mm] erhaelst?
Wenn du das hast, kannst du $F(s, t)$ so definieren dass fuer $t = 0$ du den entsprechenden Weg mit [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1/2$, [mm] $\lambda_2 [/mm] = 3/4$ und fuer $t = 1$ den entsprechenden Weg mit [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1/4$, [mm] $\lambda_2 [/mm] = 1/2$ nimmst.
Dann ist (wenn du nicht was komisches machst) alles schoen stetig und toll.
(Stichwort: lineare Interpolation!)
LG Felix
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> Wieso sollte [mm]\Pi_0(X, x_0)[/mm] eine Gruppe sein? Eine Gruppe
> wird es doch erst modulo [mm]\sim[/mm], vorher existieren doch keine
> inversen Elemente, und die Verknuepfung ist nicht
> assoziativ.
Du hast damit völlig Recht, hatte mich verschrieben (andernfalls müsste man bei meiner Frage wenig zeigen.
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