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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Dine |
Hallo,
Bei meiner Frage geht es um eine Householder-Matrix Q. Ich soll zeigen, dass sie symmetrisch (Q = [mm] Q^{T}), [/mm] orthogonal [mm] (Q^{-1} [/mm] = [mm] Q^{T}) [/mm] und involutorisch [mm] (Q^{2} [/mm] = E) ist. Mit E ist die Einheitsmatrix gemeint.
Ich habe bereits die Symmetrie gezeigt. Involutorisch kann ich auch zeigen, falls ich orthogonal gezeigt habe. Aber genau da liegt das Problem! Ich kann die Orthogonalität leider nicht zeigen! Ich fände es super, falls mir jemand weiterhelfen könnte!
In meiner Aufgabe heißt es weiter: "Finden Sie eine geometrische Interpretation für Q als Abbildung über die Berechnung aller Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren." Vielleicht hat ja jemand hiezu auch eine Idee! Weil darunter kann ich mir nun wirklich nichts vorstellen!
Schon mal danke im Vorraus!
MfG Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Dine
ich denke, du solltest doch einmal schreiben, wie ihr denn die Hauseholder-Matrix definiert habt.
Denn, wenn man im Google danach sucht, dann findet man bereits in der Definition, dass sie orthogonal sei! Wie soll das dann bewiesen werden, wenn es bereits so definiert ist?
Man findet auch, dass sie eine Spielgelung an einer Hyperebene darstelle! (Das ist ein Untervektorraum, dessen Dimension um 1 kleiner ist als der Vektorraum selber.)
mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Dine |
Wir haben die Householder-Matrix wie folgt definiert: Q = E - 2 * v * [mm] v^{T} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ v^{T} * v}
[/mm]
, wobei E die Einheitsmatrix ist!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Dine
wenn man keinen Wert auf Eleganz legt, kann die Orthogonalität durch stupides Ausrechnen gezeigt werden.
Es ist ja so, dass zu jedem Vektor $u_$ aus [mm] $\mathbb{R}^{n}$ [/mm] die Householder-Matrix zugeordnet wird, und zwar so, wie du es angegeben hast:
$Q(u) = E [mm] -\bruch{2}{u^{T}u}*uu^{T}$
[/mm]
Wenn man die Komponenten von $u_$ mit [mm] $u_{i}$ [/mm] bezeichnet, $(i=1,..n)_$, dann berechnet sich [mm] $u^{T}u$ [/mm] so:
[mm] $u^{T}u [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}$ [/mm] (eine reelle Zahl!)
[mm] $uu^{T}$ [/mm] hingegen ist eine nXn-Matrix, deren Komponenten [mm] $u_{ij}$ [/mm] sich so berechnen:
[mm] $u_{ij} [/mm] = [mm] u_{i}*u_{j}$
[/mm]
Somit sind die Komponenten [mm] $q_{ij}$ [/mm] der Householder-Matrix $Q_$ diese:
[mm] $q_{ij} [/mm] = [mm] \delta_{ij}-\bruch{2u_{i}u_{j}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}$
[/mm]
(Das [mm] $\delta_{ij}$ [/mm] ist das Kronecker-Symbol: es hat den Wert 1, wenn $i=j_$ und den Wert 0, wenn $i [mm] \ne [/mm] j$. Es stammt von der Einheitsmatrix.)
Und jetzt braucht man nur noch zu rechnen!
Es gilt nämlich: eine Matrix ist orthogonal, wenn die Zeilen der Matrix ein Orthonormalsystem bilden, d.h. wenn gilt:
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}q_{i\rho}*q_{j\rho} [/mm] = [mm] \delta_{ij} [/mm] (i,j = 1,...,n)$
Die Werte für unsere Matrix eingesetzt ergeben also als Bedingung für die Orthogonalität:
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}\left(\left(\delta_{i\rho}-\bruch{2u_{i}u_{\rho}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}\right)\left(\delta_{j\rho}-\bruch{2u_{j}u_{\rho}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}\right)\right)=\delta_{ij}$
[/mm]
Noch ein Wenig ausmultipliziert:
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}\left(\delta_{i\rho}\delta_{j\rho}-\bruch{2\delta_{i\rho}u_{j}u_{\rho}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}-\bruch{2\delta_{j\rho}u_{i}u_{\rho}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}+\bruch{4u_{i}u_{j}u_{\rho}^{2}}{\left(\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}\right)^{2}}\right)=\delta_{ij}$
[/mm]
Die Summe etwas aufgegliedert:
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}\delta_{i\rho}\delta_{j\rho}-\sum_{\rho=1}^{n}\bruch{2\delta_{i\rho}u_{j}u_{\rho}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}-\sum_{\rho=1}^{n}\bruch{2\delta_{j\rho}u_{i}u_{\rho}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}+\sum_{\rho=1}^{n}\bruch{4u_{i}u_{j}u_{\rho}^{2}}{\left(\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}\right)^{2}}=\delta_{ij}$
[/mm]
Und auch noch ausgeklammert:
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}\delta_{i\rho}\delta_{j\rho}-\bruch{2u_{j}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}*\sum_{\rho=1}^{n}\delta_{i\rho}u_{\rho}-\bruch{2u_{i}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}*\sum_{\rho=1}^{n}\delta_{j\rho}u_{\rho}+\bruch{4u_{i}u_{j}}{\left(\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}\right)^{2}}*\sum_{\rho=1}^{n}u_{\rho}^{2}=\delta_{ij}$
[/mm]
Jetzt gilt aber:
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}\delta_{i\rho}u_{\rho} [/mm] = [mm] u_{i}$
[/mm]
weil nur bei [mm] $\rho=i$ [/mm] das Kronecker-Symbol den Wert 1 hat, sonst 0.
Ebenso:
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}\delta_{j\rho}u_{\rho} [/mm] = [mm] u_{j}$
[/mm]
Und auch (weil die Index-Bezeichnung irrelevant ist):
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}u_{\rho}^{2}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}$
[/mm]
Somit erhalten wir für die Orthogonalitätsbedingung weiter:
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}\delta_{i\rho}\delta_{j\rho}-\bruch{2u_{i}u_{j}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}-\bruch{2u_{i}u_{j}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}+\bruch{4u_{i}u_{j}}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}=\delta_{ij}$
[/mm]
Das vereinfacht sich offensichtlich zu (puh!):
[mm] $\sum_{\rho=1}^{n}\delta_{i\rho}\delta_{j\rho}=\delta_{ij}$
[/mm]
Für $i=j_$ ist dies offensichtlich erfüllt (weil [mm] $\delta_{i\rho}^{2}=\delta_{i\rho}$ [/mm] und dann alle Summanden 0 sind, ausser bei [mm] $\rho [/mm] = i$, wo er den Wert 1 annimmt.).
Für [mm] $i\ne [/mm] j$ hingegen haben alle Summanden linkerhand den Wert 0, weil ja [mm] $\rho$ [/mm] nicht gleichzeitig den Wert $i_$ und den Wert $j_$ annehmen kann (es gilt ja eben: $i [mm] \ne [/mm] j$).
Du siehst also: es geht fast ohne Fantasie, nur ein Wenig rechnen sollte man können 
Zur 2. Frage: habe ich im Moment etwas zu wenig Zeit für eine ausführliche Diskussion. Wenn man aber den Internetseiten glaubt (und das tue ich), so stelle die Matrix eine Spiegelung an der Hyperebene dar, auf der der Vektor $u_$ senkrecht (orthogonal) steht.
Kannst du das selber noch versuchen zu begründen?
Solltest du dabei wider Erwarten Schwierigkeiten haben, dann hilft dir bestimmt jemand weiter! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo Dine,
Wollte doch nochmal eine Alternative angeben.
[mm]Q^2=(E-2\bruch{vv^T}{v^Tv})(E-2\bruch{vv^T}{v^Tv})=E^2-4\bruch{vv^T}{v^Tv} + 4\bruch{vv^Tvv^T}{(v^Tv)^2}[/mm]
Wie Paulus schon gesagt hat is [mm]v^Tv[/mm] eine Zahl so das man im letzten Bruch einmal [mm]v^Tv[/mm] kürzen kann.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Dine |
Ich möchte mich vielmals bei Paulus und Mathemaduenn bedanken! Ihr habt mir sehr geholfen!
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