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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:38 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Housholder Transformation die Lösung des linearen Ausgleichsproblems [mm] min||Ax-b||_{2}^{2} [/mm] für
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0\\2 & 1 }, b=\vektor{0 \\ -3 \\ 3}. [/mm] Geben Sie die euklidische Norm des Residuums [mm] ||Ax-b||_{2} [/mm] an. |
Hallo,
zuerst , denke ich, sollte man die QR-Zerlegung durchführen.
Ich habe jedoch an einer Zwischenstelle der QR-Zerlegung eine Unklarheit/Frage.
Wie ich vorgegangen bin:
ich habe zuerst die erste Spalte von A transformiert.
Da [mm] p:=-sign(x_{1})*||x||_{2} [/mm] mit [mm] x=\vektor{1\\ 2 \\ 2} [/mm] ist, ist p=-3.
Dann ist die erste Spalte gleich [mm] p*e_{1}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 0} (e_{1} \in \IR^{3} [/mm] Einheitsvektor).
Um die zweite Spalte für den nächsten Schritt zu transformieren, habe ich eine Housholder-Matrix [mm] Q:=I-2\bruch{vv^{T}}{v^{T}v} [/mm] (mit [mm] v:=x-pe_{1},
[/mm]
x [mm] \in \IR^{m}/{0} [/mm] ein Spaltenvektor. Es gilt [mm] Qx=pe_{1}.) [/mm] für x= [mm] x=\vektor{1\\ 2 \\ 2} [/mm] gebildet.
Dann ist [mm] Q=\pmat{- \bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3}&-\bruch{2}{3} \\ -\bruch{2}{3} & \bruch{2}{3}&-\bruch{1}{3}\\ -\bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3}&\bruch{2}{3} }. [/mm] (Q ist hier richtig bestimmt; mit einem Programm nachgeprüft)
Dann: Q* "die zweite Spalte von A"= [mm] Q*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=\vektor{-1 \\-1\\ 0}.
[/mm]
Damit sieht die neue Matrix so :
[mm] \pmat{ -3 & -1 \\ 0 & -1 \\0 & 0 } [/mm] aus.
In unserem Skript steht, dass dann die Restmatrix [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] analog behandelt wird. Aber , was neu ist, ist dass bei v für den nächsten Schritt
die erste Komponente von v (also [mm] v_{1}) [/mm] 0 gesetzt wird.
Nun ist mir nicht so klar, wie man [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] weitertransformieren kann.
Wenn ich dasselbe (wobei man beachte, dass jetzt [mm] v_{1}=0 [/mm] ist) wie beim ersten Schritt machen soll, dann würde ich wieder die erste Spalte von der Restmatrix nehmen (also die Matrix selbst) und dann p ausrechnen und dann anstatt der Matrix/Vektor [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] einfach [mm] pe_{1} [/mm] (e_
{1} in [mm] \IR^{2} [/mm] Einheitsvektor) mit der Matrix überschreiben.
Aber irgendwie stosse ich dabei auf einen Widerspruch .
Erstmal : die richtige Antwort , also die richtige QR-Zerlegung ist:
A= [mm] Q*\underbrace{\pmat{ -3 & -1 \\ 0 & -1 \\0 & 0 }}_{:=R}(Mit [/mm] einem Programm gerechnet).
Zweitens: Es gilt p= 1 . Damit würde der Eintrag von R [mm] r_{22}=-1= [/mm] 1 sein (Widerspruch).
Wo habe ich falsch gerechnet?
PS: In der Aufgabenstellung steht [mm] min||Ax-b||_{2}^{2}. [/mm] Ich kenne bei den Linearen Ausgleichsproblemen nur [mm] min||Ax-b||_{2}. [/mm]
Ist es also auch so gemeint, wie es in der Aufgabenstellung steht?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe jetzt im Skript genauer geguckt und denke, dass
man die Matrix
[mm] \pmat{ -3 & -1 & \\ 0 & -1\\0 & 0 } [/mm]
nicht tranformieren braucht.
Ich habe halt nicht verstanden, bis zu welchem Schritt man eine Hausholdertransformation durchführen soll. Im Skript steht es.
Also, wenn das stimmt, dann ist damit die Frage erledigt.
Gruss
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
als Lösungsvektor fürs Lineare Ausgleichsproblem habe ich [mm] \vektor{-1 \\ 3}.
[/mm]
Wenn das nicht stimmt und Ihr könntet das nachprüfen, dann teilt mir bitte das mit. Danke.
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Di 17.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
der Vektor stimmt
[-1 3]= [mm](A^TA)^{-1}A^Tb[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Di 17.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Du zerlegst A in Q und R
Es ist aber schon R=[-3 -1;0 -1;0 0] eine obere Dreiecksmatrix (mit Nullzeilen unten). Die muss nicht weiter zerlegt werden.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
in unserem Skript steht es, dass für eine Hausholder-Matrix Q folgendes gilt:
[mm] Q*x=p*e_{1} [/mm] (p wie oben definiert und für [mm] x\not=0).
[/mm]
Oben habe ich A=Q*R zerlegt.
Wenn ich jetzt dieses Q nehme und mit R multipliziere, dann entsteht insbesondere bei Q* "zweite Spalte " von R die zweite Spalte von A.
Also , da A=Q*R, dann gilt [mm] Q*\vektor{-1\\ -1\\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Wenn ich jetzt aber die obige Formel [mm] Q*x=p*e_{1} [/mm] für [mm] x=\vektor{-1\\ -1\\ 0} [/mm] benutze, dann kommt als Ergebnis von Q*x [mm] \vektor{\wurzel{2}\\ 0\\ 0}
[/mm]
raus, was natürlich ungleich der zweiten Spalte von A ist.
Woran liegt es, dass ich hier zwei verschiedene Ergebnisse bekomme?
Gruss
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 19.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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