Hyperbelfunkt. - Diff'quotient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Serna |
| Aufgabe | Für x [mm] \in \IR [/mm] sei sinh x := [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{2} [/mm] und cosh x := [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}. [/mm] Zeigen Sie:
a) sinh und cosh sind differenzierbare Funktionen von [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR [/mm] mit sinh´ = cosh und cosh´ = sinh.
b) sinh: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist bijektiv mit der Umkehrfunktion arsinh: [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
c) cosh: [0; [mm] \infty) \to [/mm] [1; [mm] \infty) [/mm] ist bijektiv mit der Umkehrfunktion arcosh: [1; [mm] \infty) \to [/mm] [0; [mm] \infty) [/mm]
d) Berechnen Sie die Ableitungen arsinh´(y) und arcosh´(y) für y [mm] \in \IR [/mm] bzw. y [mm] \in (1;\infty) [/mm] |
Brauche dringend Hilfe!
a) Um zu zeigen das sinh bzw. cosh diff'bar sind muss ich ja per Differentialquotienten die Ableitung bestimmen.
sinh´( x0) = [mm] \limes_{h\rightarrow {0}} \bruch{1}{h} [/mm] * ( [mm] \bruch{ e^{x0 + h} - e^{-x0 - h}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{e^{x0} - e^{-x0}}{2})
[/mm]
Jedoch komme ich nicht auf sinh´ = cosh.
TIPP [mm] \limes_{h\rightarrow {0}}\bruch{ e^{h} - 1}{h} [/mm] = 1
b)/c) Eine Funktion f: M [mm] \to [/mm] N ist ja bijektiv wenn es eine Abbildung g: N [mm] \to [/mm] M (Umkehrfunktion) gibt mit f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_{N} [/mm] und g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{M}.
[/mm]
Jedoch weiß ich nicht wie ich hier anfangen soll, reicht hier vielleicht das Einsetzen der Umkehrfunktion in die ürsprüngliche Funktion?
d) Ähnliches Problem wie bei a) Differentialquotient bringt mich nicht auf Literatur-Ergebnis.
Ich würde mich sehr über Hilfe und Anregungen freuen, vielleicht kennt jemand zu a) (was eigentlich eine Standardaufgabe ist) einen Link wo die Herleitung zufinden ist.
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 10.04.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
zur a:
Du brauchst den Differenzenquotient nicht, den es gibt einen Satz nach dem gilt:
Ist f, g diffbar so sind auch f+g und f*g diffbar.
zur b/c:
eine Funktion ist bijektiv wenn sie streng monoton ist, also wenn die
Ableitung immer kleiner null oder immer größer null ist.
zur d:
Es gibt eine Umkehrregel mit der man über die Umkehrfunktion die Ableitung
bestimmen kann:
[mm]f'(x)=\frac{1}{(f^{-1})'(f(x))}[/mm]
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