Hyperboloid in hoher Dimension < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
die Gleichung [mm] $x_1^2+x_2^2-x_3^2=R$ [/mm] beschreibt ein Hyperboloid (genauer gesagt: Den Rand eines Hyperboloids, also eine zweidimensionale Fläche). Ist $R>0$ so spricht man von einem einschaligen Hyperboloid, ist $R<0$ so zerfällt der Körper in zwei Teile und man spricht vom zweischaligen Hyperboloid.
Nun gilt meiner Meinung nach dasselbe für die Gleichung der Form
[mm] $$\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 [/mm] - [mm] x_n^2=R.$$
[/mm]
Für $R<0$ zerfällt dieses ebenfalls in zwei Teile.
Was passiert aber zum Beispiel bei dem dreidimensionalen Objekt
[mm] $$x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2=-1$$
[/mm]
Aus wie vielen Teilen besteht dies?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Fr 03.06.2016 | | Autor: | hippias |
Ich finde, das ist eine interessante Frage. Meiner Überlegung nach, gibt für alle Punkte der Menge ein [mm] $r\geq [/mm] 1$, [mm] $\phi,\psi\in [0,2\pi)$ [/mm] so, dass [mm] $x_{1}= \sqrt{r^{2}-1}\cos(\psi)$, $x_{2}= \sqrt{r^{2}-1}\sin(\psi)$, $x_{3}= r\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $x_{4}= r\sin(\phi)$ [/mm] ist.
Daher scheint mir die Menge wegzusammenhängend zu sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Fr 03.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du 2 + 2 - Zeichen hast ist die rechte Seite für zusammenhängend oder nicht, egal, da du ja mit -1 multiplizieren kannst und dann die 2 andern neg bzw positiv sind.
Dagegen ist [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2=-|R| [/mm] zerfallend da es keine Punkte in der Hyperebene [mm] x_4=0 [/mm] gibt.
zerfallend ist also leicht zu zeigen, nicht zerfallend schwieriger, es muss Kurven geben, die jeden Punkt mit jedem anderen verbinden.
Gruß leduart
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