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| Aufgabe | Statt Aufgabenstellung eine Frage:
Ist eine Hyperebene ein Vektorraum? |
Ist eine Hyperebene ein Vektorraum?
https://www.studimup.de/lineare-algebra/lineare-gleichungssysteme/hyperebenen/
Allgemein ist eine Hyperebene ein “Unterraum mit einer um 1 kleineren Dimension”.
https://de.wikiversity.org/wiki/Endlichdimensionaler_Vektorraum/Hyperebene/Definition
Es sei K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum der Dimension n. Dann nennt man jeden (n-1)- dimensionalen Untervektorraum von V eine Hyperebene in V.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperebene
Jede Hyperebene entsteht durch Verschiebung eines Untervektorraums um einen festen Vektor. Kann dabei der Nullvektor gewählt werden, spricht man auch von einer linearen Hyperebene, da dann die Hyperebene selbst einen Vektorraum darstellt.
Ich halte die dritte Aussage für richtig, weil ein Vektorraum den Nullvektor enthalten muss.
Die Hyperebene ist ja dann ein Unterraum von V und muss ihre Nullstelle an der gleichen Stelle haben wie V. Ihre Dimension ist stets um 1 geringer als die von V: ist das richtig so?
Aber ist dann die im ersten Link gemachte Aussage falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 So 29.09.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
Was da richtig oder falsch ist, hängt von der Definition ab. Das kannst du dir am Beispiel einer Ebene klarmachen.
Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Linksvektorraum der Dimension $n [mm] \ge [/mm] 2$. Sei $W$ ein Untervektorraum der Dimension 2. Sei $a [mm] \in [/mm] V$.
1. Möglichkeit:
Dann heißt W eine Ebene und $a + W = [mm] \{a + w \ | \ w \in W\}$ [/mm] eine affine Ebene.
Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau dann, wenn $a [mm] \in [/mm] W$ gilt.
2. Möglichkeit:
Dann heißt a + W eine Ebene.
(So macht man das in der Schule, wobei V der [mm] $\IR^3$ [/mm] ist; a heißt dann der Stützvektor, er ist nicht eindeutig bestimmt, so daß es eigentlich ein Stützvektor heißen müßte. Eine Ebene ist dann i. a. kein Untervektorraum.)
Es gibt bestimmt noch weitere Varianten.
Schönen Sonntag
Dieter
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| Aufgabe | | Frage zur Hypereene |
Hallo Dieter,
ich danke dir sehr für deine Antwort, habe aber leider Schwierigkeiten, sie zu verstehen.
1) Was ist ein Linksvektorraum? Vielleicht einer, bei dem die K-Elemente von links heranmultipliziert werden?
2) Es geht mir ja in meiner Frage darum, ob die in meinem als erstes angegebenen Link gemachte Aussage wahr ist oder nicht:
https://www.studimup.de/lineare-algebra/lineare-gleichungssysteme/hyperebenen/
Allgemein ist eine Hyperebene ein “Unterraum mit einer um 1 kleineren Dimension”.
Nach meinem Verständnis besagt sie: jede Hyperebene ist ein Unterraum, also ein Vektorraum.
Und mir scheint das falsch zu sein.
3) Zu deiner Bemerkung in der
1. Möglichkeit:
Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau dann, wenn a [mm] \in [/mm] W gilt.
Wie ich das verstehe, müsste das heißen:
Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau dann, wenn a ∉ W gilt.
Ich danke dir sehr, wenn du mir weiterhelfen kannst!
Danke, dir auch einen schönen Sonntag!
Mathemurmel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 So 29.09.2024 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
> 1) Was ist ein Linksvektorraum? Vielleicht einer, bei
> dem die K-Elemente von links heranmultipliziert werden?
Ja.
> 2) Es geht mir ja in meiner Frage darum, ob die in meinem
> als erstes angegebenen Link gemachte Aussage wahr ist oder
> nicht:
>
> https://www.studimup.de/lineare-algebra/lineare-gleichungssysteme/hyperebenen/
> Allgemein ist eine Hyperebene ein “Unterraum mit einer
> um 1 kleineren Dimension”.
>
> Nach meinem Verständnis besagt sie: jede Hyperebene ist
> ein Unterraum, also ein Vektorraum.
> Und mir scheint das falsch zu sein.
Nun ja, was ist hier ein Unterraum? Es gibt z. B. auch topologische Räume, die Unterräume haben können, oder Wahrscheinlichkeitsräume. Ist hier mit Unterraum Untervektorraum gemeint? Wenn ja, dann ist 'Eine Hyperebene ist ein Unterraum mit einer um 1 kleineren Dimension.' eine mögliche Definition einer Hyperebene, und jede Hyperebene ist dann per definitionem ein Vektorraum. Offen bleibt dabei im Moment, ob es im Nullvektorraum Hyperebenen gibt.
>
> 3) Zu deiner Bemerkung in der
> 1. Möglichkeit:
> Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau
> dann, wenn a [mm]\in[/mm] W gilt.
Wenn W eine Ebene ist, ist $0 [mm] \in [/mm] W$ und $W = 0 + W$, also ist eine Ebene eine affine Ebene.
Wenn W = a + W ist, gibt es ein $x [mm] \in [/mm] W$ mit 0 = a + x, also ist $x = -a [mm] \in [/mm] W$. Da W eine Ebene, also ein Untervektorraum ist, ist auch $a [mm] \in [/mm] W$.
> Wie ich das verstehe, müsste das heißen:
> Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau
> dann, wenn a ∉ W gilt.
Nein, s. o.
Schönen Abend.
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| Aufgabe | | Frage zu gegebener Antwort zum Thema: Hyperebenen |
Guten Abend!
>> 1) Was ist ein Linksvektorraum? Vielleicht einer, bei
>> dem die K-Elemente von links heranmultipliziert werden?
> Ja.
>> 2) Es geht mir ja in meiner Frage darum, ob die in meinem
>> als erstes angegebenen Link gemachte Aussage wahr ist oder
>> nicht:
>>
>> https://www.studimup.de/lineare-algebra/lineare-gleichungssysteme/
>> hyperebenen/
>> Allgemein ist eine Hyperebene ein “Unterraum mit einer
>> um 1 kleineren Dimension”.
>>
>> Nach meinem Verständnis besagt sie: jede Hyperebene ist
>> ein Unterraum, also ein Vektorraum.
>> Und mir scheint das falsch zu sein.
>
> Nun ja, was ist hier ein Unterraum? Es gibt z. B. auch topologische Räume,
> die Unterräume haben
> können, oder Wahrscheinlichkeitsräume. Ist hier mit Unterraum
> Untervektorraum gemeint? Wenn
> ja, dann ist 'Eine Hyperebene ist ein Unterraum mit einer um 1 kleineren
> Dimension.' eine mögliche
> Definition einer Hyperebene, und jede Hyperebene ist dann per definitionem
> ein Vektorraum.
> Offen bleibt dabei im Moment, ob es im Nullvektorraum Hyperebenen gibt.
>
Ich verstehe das leider nicht. Ich gehe mal von der Schulmathematik aus: da gibt es doch Ebenen, die nicht durch den Ursprung verlaufen und somit auch nicht den Ursprung enthalten. Und damit sind sie doch keine Vektorräume?
>> 3) Zu deiner Bemerkung in der
>> 1. Möglichkeit:
>> Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau
>> dann, wenn a W gilt.
>
> Wenn W eine Ebene ist, ist und W = 0 + W, also ist eine Ebene eine affine
> Ebene.
> Wenn W = a + W ist, gibt es ein mit 0 = a + x, also ist . Da W eine Ebene,
> also
> ein Untervektorraum ist, ist auch .
>
Hier habe ich wieder mein Problem, dass, von der Schulmathematik ausgehend, es doch Ebenen gibt, die den Ursprung, also den Nullvektor, nicht enthalten. Dann kann sie doch kein Vektorraum sein, also auch kein Untervektorraum sein?
>> Wie ich das verstehe, müsste das heißen:
>> Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau
>> dann, wenn a ∉ W gilt.
>
> Nein, s. o.
>
> Schönen Abend.
Ich wünsche auch einen schönen Abend! Und vielen Dank für deine Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Mo 07.10.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ich verstehe das leider nicht. Ich gehe mal von der
> Schulmathematik aus: da gibt es doch Ebenen, die nicht
> durch den Ursprung verlaufen und somit auch nicht den
> Ursprung enthalten. Und damit sind sie doch keine
> Vektorräume?
Das stimmt. Die Schule betrachtet den uns umgebenden anschaulichen 3dimensionalen Raum. Sie nimmt die Ebenen dann als bekannte geometrische Gebilde und beschreibt (modelliert) sie durch Gleichungen, z. B. in Parameterform oder in Koordinatenform. Diese Ebenen müssen nicht durch den Ursprung verlaufen und sind deswegen i. a. auch keine Untervektorräume im Uni-Sinne. Geklärt wird das mit der Punktprobe für den Ursprung.
>
> >> 3) Zu deiner Bemerkung in der
> >> 1. Möglichkeit:
> >> Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau
> >> dann, wenn a W gilt.
> >
> > Wenn W eine Ebene ist, ist und W = 0 + W, also ist
> eine Ebene eine affine
> > Ebene.
> > Wenn W = a + W ist, gibt es ein mit 0 = a + x, also ist .
> Da W eine Ebene,
> > also
> > ein Untervektorraum ist, ist auch .
> >
> Hier habe ich wieder mein Problem, dass, von der
> Schulmathematik ausgehend, es doch Ebenen gibt, die den
> Ursprung, also den Nullvektor, nicht enthalten. Dann kann
> sie doch kein Vektorraum sein, also auch kein
> Untervektorraum sein?
Die Uni-Mathematik betrachtet im Teilgebiet 'Lineare Algebra und Analytische Geometrie' Vektorräume beliebiger Dimension und verzichtet auf die Anschauung, die ja auch in den höheren Dimensionen nicht klappt. Einen 2dimensionalen Vektorraum nennt sie dann eine Ebene. Das gilt auch dann, wenn diese Ebene Untervektorraum eines anderen Vektorraums ist.
Eine Teilmenge eines Vektorraums, die durch eine Translation/Verschiebung aus einer Ebene entstanden ist, nennt sie dann manchmal eine affine Ebene. Das hat in dieser Sprechweise zur Folge, daß eine affine Ebene i. a. keine Ebene ist.
Es gibt in der Uni-Mathematik auch das Teilgebiet 'Geometrie', wo die Herangehensweise und die Definition von 'Ebene' anders sind. Da gibt es z. B. auch endliche Ebenen.
Viele Grüße
Dieter
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