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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mi 26.04.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | K sei ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n. Eine Hyperebene H in V ist ein (n-1) -dimensionaler affiner Unterraum von V.
1. Zeigen Sie: Eine Teilmenge A [mm] \subset K^{n} [/mm] ist eine Hyperebene genau dann, wenn es einen von Null verschiedenen Vektor [mm] \nu [/mm] im Vektorraum [mm] Hom_{K} [/mm] (V,K) und ein c [mm] \in [/mm] K gibt, so dass
A = { [mm] x\in K^{n} [/mm] | [mm] \nu(x) [/mm] =c}
gilt. |
Hallo,
also hier sind schon mal zwei Richtungen zu zeigen.
Einerseits:
A ist eine Hyperebene [mm] \Rightarrow \exists \nu \in Hom_{K} [/mm] (V,K) mit [mm] \nu \not= [/mm] 0 und [mm] \exists [/mm] c [mm] \in [/mm] K, so dass A = { [mm] x\in K^{n} [/mm] | [mm] \nu(x) [/mm] =c}
Andererseits:
Es gilt A = { [mm] x\in K^{n} [/mm] | [mm] \nu(x) [/mm] =c} mit [mm] \nu \in Hom_{K} [/mm] (V,K) mit [mm] \nu \not= [/mm] 0 und [mm] \exists [/mm] c [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] A ist eine Hyperebene.
Doch wie gehe ich nun vor???
Folgende Definition für Hyperebenen habe ich gefunden:
Eine Hyperebene kann durch (n-1) linear unabhängige Vektoren vi und einen Ortsvektor r0 der Hyperebene beschrieben werden, die Hyperebene ist die Menge aller Punkte x für deren Ortsvektoren rx gilt
rx = r0 + λ0 v0 + λ1 v1 + ... + λn-2 vn-2
mit skalaren Koeffizienten λi.
Kann ich das auf meine Aufgabe anwenden?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Gruß Vicky
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Hallo Vicky,
> also hier sind schon mal zwei Richtungen zu zeigen.
Ja.
> Einerseits:
>
> A ist eine Hyperebene [mm]\Rightarrow \exists \nu \in Hom_{K}[/mm]
> (V,K) mit [mm]\nu \not=[/mm] 0 und [mm]\exists[/mm] c [mm]\in[/mm] K, so dass $A= [mm] \{x\in K^{n} |\nu(x) =c\}$ [/mm]
>
> Andererseits:
>
> Es gilt $A = [mm] \{x\in K^{n}|\nu(x) =c\}$ [/mm] mit [mm] $\nu \in Hom_{K}$
[/mm]
> (V,K) mit [mm]\nu \not=[/mm] 0 und [mm]\exists[/mm] c [mm]\in[/mm] K [mm]\Rightarrow[/mm] A
> ist eine Hyperebene.
Ich gebe dir mal ein paar tips zur rückrichtung, vielleicht kriegst du den rest dann alleine hin. Du brauchst eigentlich nur die def. der hyperebene, die in der aufgabe steht.Also sei
$A = [mm] \{x\in K^{n}|\nu(x) =c\}$ [/mm] mit [mm] $\nu \in Hom_{K}$
[/mm]
wie oben. Da [mm] $\nu$ [/mm] nicht der 0-vektor ist, kannst du ein [mm] $x_0\in \IK^n$ [/mm] wählen mit [mm] $\nu(x_0)=c$. [/mm] klar? [mm] $x_0$ [/mm] ist jetzt der stützvektor der affinen menge, wir müssen zeigen [mm] $A-x_0$ [/mm] ein (n-1)-dim. linearer unterraum ist. Für [mm] $x\in [/mm] A$ gilt [mm] $\nu(x-x_0)=\nu(x)-\nu(x_0)=c-c=0$. [/mm] Dh. die Menge [mm] $A-x_0$ [/mm] ist gerade der Kern von [mm] $\nu$. [/mm] Welche dimension hat der Kern? jetzt kommt die dimensionsformel ins spiel, es gilt
[mm] $\dim \ker(\nu)=\dim \IK^n-\dim \operatorname{im}(\nu)=n-1$
[/mm]
Damit sind wir zumindest mit dieser richtung schon fertig....
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Do 27.04.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen Dank für Deine Hilfe.
Nun bleibt nur noch die andere Richtung zu zeigen:
D.h. ich gehe davon aus das A eine Hyperebene der Dimension (n - 1) ist woraus folgt, dass
A = { [mm] x\in K^{n} [/mm] | [mm] \nu(x) [/mm] = c }
A soll dim n-1 ergeben, d.h. die Dimension von A ist um eins kleiner als die von [mm] K^{n}. [/mm] Da A Teilmenge von [mm] K^{n} [/mm] ist, hat A die Elmente von [mm] K^{n} [/mm] -1.
Ich habe x [mm] \in K^{n} [/mm] mit [mm] x_{1}, [/mm] ... [mm] ,x_{n} [/mm] und A hat ebenfalls x [mm] \in K^{n} [/mm] jedoch [mm] x_{1}, [/mm] ... [mm] ,x_{n-1}.
[/mm]
Doch wie geht es weiter???
Könnt ihr mir bitte noch einen Tipp dazu geben?
Vielen Dank im voraus.
Gruß Vicky
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Hallo Vicky,
ich fürchte, ganz so leicht ist es nicht.... 
Also sei [mm] $A\subset \IK^n$ [/mm] eine hyperebene, zu zeigen ist, es gibt eine lineare abbildung [mm] $\nu:\IK^n\to \IK, \nu \ne [/mm] 0$ und ein [mm] $c\in \IK$ [/mm] so dass [mm] $A=\{x\in \IK^n:\nu(x)=c\}$ [/mm]
wähle zunächst einen stützvektor [mm] $x_0\in [/mm] A$, der senkrecht auf $A$ steht. du erhältst so einen vektor, wenn du vom nullpunkt das lot auf $A$ fällst. Da [mm] $A-x_0$ [/mm] ein (n-1)-dim. linearer unterraum ist kannst du [mm] $x_1,...,x_{n-1}$ [/mm] wählen, die eine orthonormal-basis von [mm] $A-x_0$ [/mm] bilden. Die Menge [mm] $x_0,...,x_{n-1}$ [/mm] ist dann eine basis von [mm] $\IK^n$.
[/mm]
Mann kann nun die abbildung [mm] $\nu$ [/mm] folgendermaßen definieren:
[mm] $\nu(x_0)=1$ [/mm] und
[mm] $\nu(x_i)=0$ [/mm] für alle $i=1,...,n-1$.
mache dir dafür klar, dass man eine lineare abbildung definieren kann, indem man die werte für eine basis vorgibt.
Für beliebiges [mm] $x\in [/mm] A$ gilt nun [mm] $\nu(x)=\nu(x_0+y)=\nu(x_0)+\nu(y)=1+0=1$.
[/mm]
wobei [mm] $y\in A-x_0$ [/mm] ist.
Ich glaube, viel leichter geht es leider nicht....
VG
Matthias
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