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Hallo zusammen,
ich beweise gerade eine Proposition und habe dies auch geschafft. Nur habe ich dabei eine alte Weisheit aus der Schule gebraucht, die ich irgendwie nicht beweisen kann. Ich sehe den Wald vor lauten Bäumen nicht mehr.
Ich habe folgendes verwendet. Wenn man eine Hyberebene hat, die gegeben ist durch:
[mm] H:={(x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n} : a_{1}*x_{1} + ... + a_{n}*x_{n}= b},
[/mm]
mit b in [mm] \IR.
[/mm]
AUs der SChule weiss ich noch, dass der Vektor [mm] (a_{1},...,a_{n})^{T} [/mm] der Normalenvektor zu dieser Hyperebene ist.
Kann mir das jemand schnell herleiten. Es müsste doch einfach sein. Ich glaube es geht mit der Orthogonalität und dem Skalarprodukt.
Vielen Dank im Voraus,
Eur GP
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Sa 12.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo GP!
> ich beweise gerade eine Proposition und habe dies auch
> geschafft. Nur habe ich dabei eine alte Weisheit aus der
> Schule gebraucht, die ich irgendwie nicht beweisen kann.
> Ich sehe den Wald vor lauten Bäumen nicht mehr.
>
> Ich habe folgendes verwendet. Wenn man eine Hyberebene hat,
> die gegeben ist durch:
>
> [mm]H:=\{(x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n} : a_{1}*x_{1} + ... + a_{n}*x_{n}= b\},[/mm]
>
> mit b in [mm]\IR.[/mm]
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> AUs der SChule weiss ich noch, dass der Vektor
> [mm](a_{1},...,a_{n})^{T}[/mm] der Normalenvektor zu dieser
> Hyperebene ist.
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> Kann mir das jemand schnell herleiten. Es müsste doch
> einfach sein. Ich glaube es geht mit der Orthogonalität und
> dem Skalarprodukt.
Genau. Dazu nimmst du zwei beliebige Punkte $x, y [mm] \in [/mm] H$ und zeigst, dass $a$ senkrecht auf $x - y$ steht. Sei $x = [mm] (x_1, \dots, x_n)^T$ [/mm] und $y = [mm] (y_1, \dots, y_n)^T$. [/mm] Wegen $x, y [mm] \in [/mm] H$ ist [mm] $\sum_{i=1}^n a_i x_i [/mm] = b = [mm] \sum_{i=1}^n a_i y_i$, [/mm] also [mm] $\sum_{i=1}^n a_i (x_i [/mm] - [mm] y_i) [/mm] = 0$. Aber nun ist gerade [mm] $\langle [/mm] a, x - y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n a_i (x_i [/mm] - [mm] y_i)$, [/mm] womit $a$ orthogonal auf $x - y$ steht.
LG Felix
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