Hypergeometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 04.12.2012 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | | Ein Gerät enthalte 20000 Widerstände, jeder mit Ausfallwahrscheinlichkeit 10^-4 und unabhängig von den anderen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen genau k Widerstände aus ? Für k=0,1,2,3,4 und [mm] {k\ge5} [/mm] berechne man diese Wahrscheinlichkeit auf 0.5*10^-3 genau. Ist die zugehörige Poisson-Verteilung hierzu eine ausreichend gute Näherung ? |
Hallo,
ich habe für o.g. Aufgabe bereits Werte für die Binomialverteilung die wie folgt aussehen:
p(0)=13,532%
p(1)=27,067%
p(2)=27,068%
p(3)=18,046%
p(4)=9,022%
p(5)=3,6086%
[mm] p(k\ge5)\le3,6086%
[/mm]
Mit der Poisson-Verteilung [mm] \bruch{\lambda^k}{k!}*e^{-\lambda} [/mm] bekomme ich die gleichen Werte mit der vorgegebenen Genauigkeit von 0,5*10^-3.
Nun sind ja aber die Binomial-Verteilung und die Poisson-Verteilung nur approximierte Werte. Daher möchte ich gerne noch die Werte mit der Hypergeometrische Verteilung bestimmen. Hier hängt's nun aber:
Die Hypergeometrische Verteilung ist ja definiert durch:
[mm] H(N,K,n)(k)=\bruch{\vektor{K \\ k}*\vektor{N-K \\ n-k}}{\vektor{N \\ n}}
[/mm]
Mit
N:= Gesamtgröße
K:= mögliche Treffer
n:=Stichprobengröße [mm] (n\le [/mm] N)
k:=Anzahl Treffer
Nun ist ja für o.g. Fall:
N=20000 (Gesamtgröße)
K=20000 (da es insgesamt 20000 mögliche Treffer gibt)
n=20000 (da ich alle Widerstände überprüfe und nicht nur eine kleine Stichprobe)
k=0,1,2,3,4 und [mm] k\ge5
[/mm]
Jedoch bekomme ich für diese Werte keine brauchbaren Ergebnisse. Desweiteren ist ja meine Ausfallwahrscheinlichkeit von 10^-4 hier noch garnicht untergebracht ?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Di 04.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi BamPi,
da kommt nichts vernünftiges raus, weil die hypergeometrische Vert. nicht angewendet werden kann. Die Zufallsvariable
X:Anzahl der ausgefallenen Widerstände von 20000
ist exakt binomialverteilt, nicht nur nährungsweise.
Hypergeometrisch wäre es zum Bsp, wenn von N=20000 Widerständen, zB K=2 Defekt wären (dort spiegelt sich dann eine Art Trefferw'keit wider) und du zB n=100 überprüfst. Hier ist die Anzahl der defekten Widerstände festgelegt, unsicher ist, wieviele davon du "ziehst". Solltest du übrigens n=20000 Stück überprüfen, also alle, ist P(X=2)=1 und alle anderen Elementarereignisse haben W'keit Null.
Beim binomialen Fall können von 0 bis 20000 defekt sein.
LG walde
|
|
|
|
