Hypothesentest < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] H_{0}: p_{0}<40%
[/mm]
Kann diese Vermutung aufgrund eines Testergebnisses mit n=100 und k=45 auf dem Signifikanzniveau 5% abgelehnt werden? |
Servus!
Die angegebene Lösung ist mir nachvollziehbar, nur als ich eben davor saß, hab ich angefangen, einen Lösungsweg zu entwickeln, der völlig anders verläuft.
Mich würde interessieren, ob da ein Denkfehler drin ist bzw. was ihr davon haltet.
Ich hatte mir überlegt, es müsse ein Funktion geben die jedem p zwischen 0 und 1 eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, daß es dem Test mit 45 Treffern aus 100 zugrundeliegt. Diese müsste für 0 und 1 jeweils den Wert 0 annehmen und für 0,45 ihr Maximum erreichen. Wenn es außerdem eine Wahrscheinlichkeitsfunktion seyn solle, müßte auch das Integral von 0 bis 1 gleich 1, denn das ist das sichere Ereignis.
Ich vermute, daß diese Funktion so ausschaut:
f: p [mm] \to [/mm] 101* [mm] \vektor{100 \\ 45}*p^{45}*(1-p)^{55}
[/mm]
mit [mm] D_{f}=[0;1]
[/mm]
Derive bestätigt mir, daß [mm] \integral_{0}^{1}{f(p) dp}=1 [/mm] Das das Maximum bei 0,45 und die Werte für 0 und 1 gleich 0 sind.
Nun habe ich mir überlegt, daß das [mm] \integral_{0}^{0,4}{f(p) dp} [/mm] die Wahrscheinlichkeit angibt, daß die Hypothese zutrifft (bei dem gegebenen Ergebnis von 45 von 100). Das Integral von [mm] \integral_{0,4}^{1}{f(p) dp} [/mm] gäbe dann die Wahrscheinlichkeit an, daß die Hypothese nicht zutrifft.
Ich tue mir nun nur schwer, das Signifikanzniveau richtig zu deuten...
Vielleicht so, daß man sie ablehnen kann, wenn die Wahrscheinlichkeit, daß sie zutrifft (also [mm] \integral_{0}^{0,4}{f(p) dp} [/mm] ) kleiner als 0,05 ist.
Bei 45 Treffern beträgt das Integral aber 0.1502149246 (laut Derive). Also kann ich sie nicht ablehnen.
Ich habe nun von Derive die Integrale für alle 101 möglichen Trefferzahlen k von 0 bis 0,4 berechnen lassen, also
[mm] \integral_{0}^{0,4}{101* \vektor{100 \\ k}*p^{k}*(1-p)^{100-k} dp}
[/mm]
Bei k=48 ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein p<40% zugrunde lag noch 0.05089652287 also größer 5%. Erst ab k=49 ist sie kleiner (0.03318008672)
Die klassische Lösung bekommt ebenfalls als Kritischen Bereich K=[49;100] heraus.
Ich bin mir nicht sicher, ob das Zufall ist oder ob meine Überlegung nicht einen Denkfehler beinhaltet. Was haltet ihr davon?
Daß man ohne PC am Rechenaufwand scheitern wird, weiß ich wohl; trotzdem finde ich meinen Lösungsansatz irgendwie eleganter. Immerhin kann man so für ein gegebenes Erbebnis auch exakt berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß eine Vermutung zutrifft oder nicht.
Freue mich auf eure Antworten,
Assurancetourix
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 18.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
