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| Aufgabe | Bei einem Glücksspielautomaten beträgt angeblich die Gewinnwahrscheinlichkeit p=0,3. Diese Angabe soll in 170 Spielrunden überprüft werden.
Gib eine Entscheidungsregel für [mm] \alpha=0,10 [/mm] an und bestimme die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn die tatsächsliche Gewinnwahrscheinlichkeit p=0,2 ist. |
Hallo liebe Leute,
hier bin ich nun wieder und würde mich freuen, wenn ihr mir meine Aufgabe korrigieren bzw. meine Fragen beantworten könnt.
[mm] x_{0}:p=0,3 [/mm]
[mm] x_{1}:p\not=0,3
[/mm]
Sollten die Hypothesen grundsätzlich am Anfang aufgestellt werden oder ist das Geschmackssache?
p=0,3; n=170; [mm] \alpha=0,1; \mu=51; \sigma=5,98
[/mm]
Da Alpha = 10% ist muss ich jeweils 5% an jeder Grenze rechnen.
[mm] P(X\le g_{l})=0,05
[/mm]
[mm] \Phi(\bruch{g_{l}+0,5-51}{5,98})=0,05
[/mm]
Zu den "+0,5" habe ich eine Frage: Warum muss ich hier genau +0,5 machen und nicht -0,5? Ist es immer so, dass bei [mm] X\le [/mm] g 0,5 addiert wird? Wenn es so wäre, müsste ja immer nur +0,5 gerechnet werden, weil man ja wenn [mm] X\ge [/mm] g ist, immer die Rechnung umdreht, sodass kleinergleich gerechnet wird.
Für den Fall, dass es Ausnahmen gibt, bitte ich diese mir auch aufzuzeigen.
[mm] -1,645=\bruch{g_{l}-50,5}{5,98}
[/mm]
Ich habe hier nun die 5% im Kopf zu 95% umgedreht, im Tafelwerk nachgeschaut und als Minuszahl direkt hingeschrieben. Frage: Ist das in Ordnung oder sollte ich den kompletten Weg hinschreiben? Also
[mm] 1-\Phi(-\bruch{g_{l}+0,5-51}{5,98})=0,05
[/mm]
und dann wieder auflösen. Ich kann mir nur vorstellen, dass ich das Minus vor dem Bruch leicht vergesse und so verrechne. Kann das Punktabzug geben, wenn ich den Weg nicht ausschreibe?
[mm] g_{l}=40,66
[/mm]
[mm] P(X\ge g_{r})=0,05
[/mm]
[mm] 1-P(X\le g_{r}-1)=0,05
[/mm]
Das [mm] g_{r}-1 [/mm] ist doch immer an dieser Stelle, wenn ich aus [mm] \ge, \le [/mm] machen will. Richtig? Da sich die beiden sonst überschneiden würden.
[mm] 0,95=P(X\le g_{r}-1)
[/mm]
[mm] \Phi (\bruch{g_{r}-1+0,5-51}{5,98})=0,95
[/mm]
[mm] (\bruch{g_{r}-51,5}{5,98})=1,645
[/mm]
[mm] g_{r}=61,34
[/mm]
Dementsprechend ist [mm] \overline{A}=[0;40] \cup [/mm] [62;170]
und A=[41;61]
Für den Beta-Fehler muss ich doch immer den Annahmebereich - des mit dem Alpha-Fehler ausgerechnetem Wert - als neue Grenze nehmen und mit einem mir gegebenen neuen p ausrechenen. Richtig?
Wie würde eine Aufgabe aussehen, wenn ich das neue p aus dem Beta-Fehler errechnen soll? Funktioniert das? Weil ich dann ja weder [mm] \mu [/mm] noch Sigma komplett hätte, sondern nur als formel mit variablen.
[mm] \beta=P(41\le Y\le [/mm] 61)
[mm] =\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22}) [/mm] - [mm] \Phi(\bruch{41+0,5-34}{5,22})
[/mm]
Oder muss ich bei dem zweiten Phi etwa -0,5 rechnen? Wenn ja, warum?
[mm] =\Phi(5,27)-\Phi(1,44)
[/mm]
=1-0,92507
[mm] \beta=0,07493
[/mm]
Ist das so alles korrekt? Ich freue mich auf eine Korrektur bzw am liebsten eine Bestätigung. 
Viele Grüße, TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mo 10.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> p=0,3; n=170; [mm]\alpha=0,1; \mu=51; \sigma=5,98[/mm]
>
> Da Alpha = 10% ist muss ich jeweils 5% an jeder Grenze
> rechnen.
>
> [mm]P(X\le g_{l})=0,05[/mm]
> [mm]\Phi(\bruch{g_{l}+0,5-51}{5,98})=0,05[/mm]
>
> Zu den "+0,5" habe ich eine Frage: Warum muss ich hier
> genau +0,5 machen und nicht -0,5? Ist es immer so, dass bei
> [mm]X\le[/mm] g 0,5 addiert wird? Wenn es so wäre, müsste ja immer
> nur +0,5 gerechnet werden, weil man ja wenn [mm]X\ge[/mm] g ist,
> immer die Rechnung umdreht, sodass kleinergleich gerechnet
> wird.
> Für den Fall, dass es Ausnahmen gibt, bitte ich diese mir
> auch aufzuzeigen.
>
das Problem besteht darin, dass du eine diskrete Verteilung (hier die
Binomialverteilung) durch eine stetige Verteilung approximierst. Schauen
wir uns mal einen anderen Aspekt dieses Vorhabens an. Angenommen, du
moechtest die Wsk $P(X=x)$ fuer die binomialverteilte Zufallsvariable
mit $p=0.3$ und $n=170$ approximieren. Wenn du das mit
der Normalverteilung machen willst, so musst dies mit einer Flaeche tun.
Dies wird in der Naeherung
[mm] $P(X=x)\approx\Phi(\frac{x+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{x-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})$
[/mm]
ausgedrueckt. Sie besagt, dass $P(X=x)$ durch die Flaeche unter der
Dichte einer Normalverteilung mit Erwartungswert [mm] $\mu=np$ [/mm] und Varianz $np(1-p)$
im Intervall $[x-0.5,x+0.5]$ angenaehert wird.
Kommen wir nun zu deiner Frage. Wenn [mm] $P(X\le [/mm] x)$ berechnen willst, so ist dies
[mm] $\sum_{j=0}^x P(X=j)\approx\sum_{j=0}^x\Phi(\frac{j+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{j-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})\approx\Phi(\frac{x+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})$
[/mm]
weil die $x+1$ Teilflaechen "stueckweise" addiert werden.
> [mm]-1,645=\bruch{g_{l}-50,5}{5,98}[/mm]
>
> Ich habe hier nun die 5% im Kopf zu 95% umgedreht, im
> Tafelwerk nachgeschaut und als Minuszahl direkt
> hingeschrieben. Frage: Ist das in Ordnung
Ja, das ist cool, um es neumodisch ausdruecken.
> oder sollte ich den kompletten Weg hinschreiben?
Nein bloss nicht.
> Also
> [mm]1-\Phi(-\bruch{g_{l}+0,5-51}{5,98})=0,05[/mm]
> und dann wieder auflösen. Ich kann mir nur vorstellen,
> dass ich das Minus vor dem Bruch leicht vergesse und so
> verrechne.
> Kann das Punktabzug geben, wenn ich den Weg
> nicht ausschreibe?
Kann ich mir nicht vorstellen.
>
> [mm]g_{l}=40,66[/mm]
>
> [mm]P(X\ge g_{r})=0,05[/mm]
> [mm]1-P(X\le g_{r}-1)=0,05[/mm]
>
> Das [mm]g_{r}-1[/mm] ist doch immer an dieser Stelle, wenn ich aus
> [mm]\ge, \le[/mm] machen will. Richtig? Da sich die beiden sonst
> überschneiden würden.
>
> [mm]0,95=P(X\le g_{r}-1)[/mm]
> [mm]\Phi (\bruch{g_{r}-1+0,5-51}{5,98})=0,95[/mm]
>
> [mm](\bruch{g_{r}-51,5}{5,98})=1,645[/mm]
> [mm]g_{r}=61,34[/mm]
Ups, hier muss stehen [mm]\Phi(\bruch{g_{r}-50,5}{5,98})=1,645[/mm]
(Ein [mm] $\Phi$ [/mm] und eine 50,5)
>
> Dementsprechend ist [mm]\overline{A}=[0;40] \cup[/mm] [62;170]
> und A=[41;61]
>
> Für den Beta-Fehler muss ich doch immer den Annahmebereich
> - des mit dem Alpha-Fehler ausgerechnetem Wert - als neue
> Grenze nehmen und mit einem mir gegebenen neuen p
> ausrechenen. Richtig?
> Wie würde eine Aufgabe aussehen, wenn ich das neue p aus
> dem Beta-Fehler errechnen soll? Funktioniert das? Weil ich
> dann ja weder [mm]\mu[/mm] noch Sigma komplett hätte, sondern nur
> als formel mit variablen.
>
> [mm]\beta=P(41\le Y\le[/mm] 61)
> [mm]=\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})[/mm] -
> [mm]\Phi(\bruch{41+0,5-34}{5,22})[/mm]
> Oder muss ich bei dem zweiten Phi etwa -0,5 rechnen? Wenn
> ja, warum?
Ja, musst du:
[mm] \begin{matrix}
\beta&=&P(41\le Y\le 61)\\
&=&P(Y\le 61)-P(Y\le 40)
&\approx & \\
&=&\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})-\Phi(\bruch{40+0,5-34}{5,22}) \\
&=&\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})-\Phi(\bruch{41-0,5-34}{5,22}) \\
\end{matrix} [/mm]
>
> [mm]=\Phi(5,27)-\Phi(1,44)[/mm]
> =1-0,92507
> [mm]\beta=0,07493[/mm]
>
>
> Ist das so alles korrekt?
Bis auf kleine Unzulaenglichkeiten, ja.
vg Luis
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Hi Luis52,
danke für deine schnelle Antwort. Ich habe leider ein paar verständnisschwierigkeiten... Deswegen meine Rückfragen unten.
> Moin,
>
> > p=0,3; n=170; [mm]\alpha=0,1; \mu=51; \sigma=5,98[/mm]
> >
> > Da Alpha = 10% ist muss ich jeweils 5% an jeder Grenze
> > rechnen.
> >
> > [mm]P(X\le g_{l})=0,05[/mm]
> >
> [mm]\Phi(\bruch{g_{l}+0,5-51}{5,98})=0,05[/mm]
> >
> > Zu den "+0,5" habe ich eine Frage: Warum muss ich hier
> > genau +0,5 machen und nicht -0,5? Ist es immer so, dass
> bei
> > [mm]X\le[/mm] g 0,5 addiert wird? Wenn es so wäre, müsste ja
> immer
> > nur +0,5 gerechnet werden, weil man ja wenn [mm]X\ge[/mm] g ist,
> > immer die Rechnung umdreht, sodass kleinergleich
> gerechnet
> > wird.
> > Für den Fall, dass es Ausnahmen gibt, bitte ich diese
> mir
> > auch aufzuzeigen.
> >
>
> das Problem besteht darin, dass du eine diskrete Verteilung
> (hier die
> Binomialverteilung) durch eine stetige Verteilung
> approximierst. Schauen
> wir uns mal einen anderen Aspekt dieses Vorhabens an.
> Angenommen, du
> moechtest die Wsk [mm]P(X=x)[/mm] fuer die binomialverteilte
> Zufallsvariable
> mit [mm]p=0.3[/mm] und [mm]n=170[/mm] approximieren. Wenn du das mit
> der Normalverteilung machen willst, so musst dies mit
> einer Flaeche tun.
> Dies wird in der Naeherung
>
> [mm]P(X=x)\approx\Phi(\frac{x+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{x-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})[/mm]
>
> ausgedrueckt. Sie besagt, dass [mm]P(X=x)[/mm] durch die Flaeche
> unter der
> Dichte einer Normalverteilung mit Erwartungswert [mm]\mu=np[/mm]
> und Varianz [mm]np(1-p)[/mm]
> im Intervall [mm][x-0.5,x+0.5][/mm] angenaehert wird.
>
> Kommen wir nun zu deiner Frage. Wenn [mm]P(X\le x)[/mm] berechnen
> willst, so ist dies
>
>
> [mm]\sum_{j=0}^x P(X=j)\approx\sum_{j=0}^x\Phi(\frac{j+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{j-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})\approx\Phi(\frac{x+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}})[/mm]
>
> weil die [mm]x+1[/mm] Teilflaechen "stueckweise" addiert werden.
>
Also ist immer , wenn [mm] P(X\le [/mm] g), 0,5 zu addieren?
>
> > [mm]-1,645=\bruch{g_{l}-50,5}{5,98}[/mm]
> >
> > Ich habe hier nun die 5% im Kopf zu 95% umgedreht, im
> > Tafelwerk nachgeschaut und als Minuszahl direkt
> > hingeschrieben. Frage: Ist das in Ordnung
> Ja, das ist cool, um es neumodisch ausdruecken.
>
> > oder sollte ich den kompletten Weg hinschreiben?
>
> Nein bloss nicht.
>
> > Also
> > [mm]1-\Phi(-\bruch{g_{l}+0,5-51}{5,98})=0,05[/mm]
> > und dann wieder auflösen. Ich kann mir nur vorstellen,
> > dass ich das Minus vor dem Bruch leicht vergesse und so
> > verrechne.
>
>
>
> > Kann das Punktabzug geben, wenn ich den Weg
> > nicht ausschreibe?
>
> Kann ich mir nicht vorstellen.
>
> >
> > [mm]g_{l}=40,66[/mm]
> >
> > [mm]P(X\ge g_{r})=0,05[/mm]
> > [mm]1-P(X\le g_{r}-1)=0,05[/mm]
> >
> > Das [mm]g_{r}-1[/mm] ist doch immer an dieser Stelle, wenn ich aus
> > [mm]\ge, \le[/mm] machen will. Richtig? Da sich die beiden sonst
> > überschneiden würden.
> >
> > [mm]0,95=P(X\le g_{r}-1)[/mm]
> > [mm]\Phi (\bruch{g_{r}-1+0,5-51}{5,98})=0,95[/mm]
>
> >
> > [mm](\bruch{g_{r}-51,5}{5,98})=1,645[/mm]
> > [mm]g_{r}=61,34[/mm]
>
> Ups, hier muss stehen [mm]\Phi(\bruch{g_{r}-50,5}{5,98})=1,645[/mm]
>
> (Ein [mm]\Phi[/mm] und eine 50,5)
>
Hier komme ich gerade gar nicht mit:
Zunächst: Warum meinst du, dass ein [mm] \Phi [/mm] fehlt? Ich habe doch 0,95 in der Tabelle nachgeschaut und so 1,645 hingeschrieben. Mit diesem Schritt fällt doch [mm] \Phi [/mm] weg. Genau das möchte ich doch.
Und dann: Warum 50,5? Oben hast du doch geschrieben, dass ich - wie in diesem Fall vorliegen - bei [mm] X\le g_{r} [/mm] 0,5 addieren muss. Und diese 0,5 -1-51 ergeben doch -51,5.
Ich habe ja extra bei [mm] 1-P(X\le g_{r}-1)=0,05 [/mm] die -1 gerechnet, damit sich die Punkte nicht überschneiden zwische [mm] \le [/mm] und [mm] \ge.
[/mm]
Irgendwo mache ich da einen Gedankenfehler, wenn du dich nicht vertan hast, wovon ich mal nicht ausgehe. Aber, wo?
> >
> > Dementsprechend ist [mm]\overline{A}=[0;40] \cup[/mm] [62;170]
> > und A=[41;61]
> >
> > Für den Beta-Fehler muss ich doch immer den Annahmebereich
> > - des mit dem Alpha-Fehler ausgerechnetem Wert - als
> neue
> > Grenze nehmen und mit einem mir gegebenen neuen p
> > ausrechenen. Richtig?
> > Wie würde eine Aufgabe aussehen, wenn ich das neue p
> aus
> > dem Beta-Fehler errechnen soll? Funktioniert das? Weil
> ich
> > dann ja weder [mm]\mu[/mm] noch Sigma komplett hätte, sondern
> nur
> > als formel mit variablen.
> >
> > [mm]\beta=P(41\le Y\le[/mm] 61)
> > [mm]=\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})[/mm] -
> > [mm]\Phi(\bruch{41+0,5-34}{5,22})[/mm]
> > Oder muss ich bei dem zweiten Phi etwa -0,5 rechnen?
> Wenn
> > ja, warum?
>
> Ja, musst du:
>
> [mm]\begin{matrix}
\beta&=&P(41\le Y\le 61)\\
&=&P(Y\le 61)-P(Y\le 40)
&\approx & \\
&=&\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})-\Phi(\bruch{40+0,5-34}{5,22}) \\
&=&\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})-\Phi(\bruch{41-0,5-34}{5,22}) \\
\end{matrix}[/mm]
>
Hier habe ich es verstanden, warum ich 0,5 abziehen muss. Beziehungsweise, dass ich beim Subtrahieren des zweiten [mm] \Phi [/mm] vom ersten [mm] \Phi [/mm] von k (hier 41) eins abziehen muss um dann 0,5 addieren zu können.
Ich denke zumindest für mich lässt es sich einfacher merken, immer 0,5 zu addieren, wenn [mm] \le [/mm] der Fall ist. Natürlich muss ich dann aufpassen, dass k angepasst ist.
>
> >
> > [mm]=\Phi(5,27)-\Phi(1,44)[/mm]
> > =1-0,92507
> > [mm]\beta=0,07493[/mm]
> >
> >
> > Ist das so alles korrekt?
>
> Bis auf kleine Unzulaenglichkeiten, ja.
>
> vg Luis
>
Danke & einen schönen Abend noch!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 10.12.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> Hier komme ich gerade gar nicht mit:
> Zunächst: Warum meinst du, dass ein [mm]\Phi[/mm] fehlt? Ich habe
> doch 0,95 in der Tabelle nachgeschaut und so 1,645
> hingeschrieben. Mit diesem Schritt fällt doch [mm]\Phi[/mm] weg.
> Genau das möchte ich doch.
> Und dann: Warum 50,5? Oben hast du doch geschrieben, dass
> ich - wie in diesem Fall vorliegen - bei [mm]X\le g_{r}[/mm] 0,5
> addieren muss. Und diese 0,5 -1-51 ergeben doch -51,5.
> Ich habe ja extra bei [mm]1-P(X\le g_{r}-1)=0,05[/mm] die -1
> gerechnet, damit sich die Punkte nicht überschneiden
> zwische [mm]\le[/mm] und [mm]\ge.[/mm]
> Irgendwo mache ich da einen Gedankenfehler, wenn du dich
> nicht vertan hast, wovon ich mal nicht ausgehe. Aber, wo?
> > >
Du hast vollkommen recht, habe hier geschlafen.
Ich nehme alle Einwaende zurueck, sorry.
> > > Dementsprechend ist [mm]\overline{A}=[0;40] \cup[/mm] [62;170]
> > > und A=[41;61]
> > >
> > > Für den Beta-Fehler muss ich doch immer den Annahmebereich
> > > - des mit dem Alpha-Fehler ausgerechnetem Wert - als
> > neue
> > > Grenze nehmen und mit einem mir gegebenen neuen p
> > > ausrechenen. Richtig?
> > > Wie würde eine Aufgabe aussehen, wenn ich das neue p
> > aus
> > > dem Beta-Fehler errechnen soll? Funktioniert das?
> Weil
> > ich
> > > dann ja weder [mm]\mu[/mm] noch Sigma komplett hätte, sondern
> > nur
> > > als formel mit variablen.
> > >
> > > [mm]\beta=P(41\le Y\le[/mm] 61)
> > > [mm]=\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})[/mm] -
> > > [mm]\Phi(\bruch{41+0,5-34}{5,22})[/mm]
> > > Oder muss ich bei dem zweiten Phi etwa -0,5
> rechnen?
> > Wenn
> > > ja, warum?
> >
> > Ja, musst du:
> >
> > [mm]\begin{matrix}
\beta&=&P(41\le Y\le 61)\\
&=&P(Y\le 61)-P(Y\le 40)
&\approx & \\
&=&\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})-\Phi(\bruch{40+0,5-34}{5,22}) \\
&=&\Phi(\bruch{61+0,5-34}{5,22})-\Phi(\bruch{41-0,5-34}{5,22}) \\
\end{matrix}[/mm]
> >
> Hier habe ich es verstanden, warum ich 0,5 abziehen muss.
Prima.
> Beziehungsweise, dass ich beim Subtrahieren des zweiten
> [mm]\Phi[/mm] vom ersten [mm]\Phi[/mm] von k (hier 41) eins abziehen muss um
> dann 0,5 addieren zu können.
> Ich denke zumindest für mich lässt es sich einfacher
> merken, immer 0,5 zu addieren, wenn [mm]\le[/mm] der Fall ist.
> Natürlich muss ich dann aufpassen, dass k angepasst ist.
>
> Danke & einen schönen Abend noch!
>
Danke, das wuensche ich dir auch.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 10.12.2007 | | Autor: | TryingHard |
Perfekt! Jetzt bin ich erleichtert, dass ich es doch richtig gemacht habe...
Viele Grüße, Felix
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