Hypothesentest Fehler 2 Art < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Fr 13.02.2009 | | Autor: | oLman |
| Aufgabe | In einer Fabrik wird ein bestimmter Massenartikel auf einer Maschine hergestellt. Der Anteil
p der produzierten Artikel, die der Qualitätsnorm nicht voll genügen (Artikel zweiter Wahl),
betrage im Mittel 0,05. Produziert die Maschine zu viele Artikel zweiter Wahl, erfolgt eine
Wartung. Zur Überwachung wird der laufenden Produktion eine Stichprobe vom Umfang n
entnommen und nach folgendem Test verfahren: Die Nullhypothese H0 : p ≤ 0.05 wird
verworfen, falls in der Stichprobe mehr als 2 Artikel zweiter Wahl sind. Die Zufallsvariable
X beschreibe die Anzahl der Artikel zweiter Wahl in der Stichprobe. Die Produktion der
einzelnen Artikel werde als unabhängig angenommen.
a) Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X an.
b) Wie ist der Stichprobenumfang n zu wählen, damit der Fehler 2. Art für
p = 0.1 höchstens 0.25 beträgt? Bestimmen Sie n mit Hilfe der
Normalapproximation. |
Zu
a.) Binomialverteilung
b.) Wie definiere ich den Ablehnungsbereich? "..falls in der Stichprobe mehr als 2 Artikel 2 Wahl sind." -> p > 0.1 ?
Bestimmen sie n mithilfe der Normalapproximation.. Soweit sogut, allerdings brauche ich dafür mein Sn, welches die Summe aller Zufallsvariablen darstellt. Allerdings weiss ich ja nicht wieviele das sind oder?
lg
olman
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo oLman,
a.) Binomialverteilung ist richtig; gewünscht ist aber
wahrscheinlich etwas mehr als nur dieses Stichwort.
b.) Hier wird angenommen, dass die Maschine (temporär)
zu viel Ware 2.Wahl produziert, nämlich 10% statt
maximal 5%.
Bei einem Stichprobentest, wobei n Stück geprüft
werden, resultiert mit der vorgegebenen Entscheidungs-
regel "OK, wenn höchstens 2 Stück 2.Wahl" ein Fehler
2. Art, falls tatsächlich [mm] X\le [/mm] 2, obwohl p=0.1 ist.
Also nimmt man hier die Verteilung mit p=0.1 und
einem noch unbekannten n, approximiert sie durch
eine Normalverteilung [mm] (\mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] durch n ausdrücken!)
und muss dann n so bestimmen, dass [mm] P(X\le 2)\le [/mm] 0.25. (***)
Dies führt dann auf eine Ungleichung für n.
LG Al-Chw.
(***) Bei der Approximation durch die Normalverteilung
müsste die Stetigkeitskorrektur beachtet werden, also hat
man bei der Normalverteilung die Ungleichung $\ [mm] \red{P(X\le 2.5)\le 0.25}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 14.02.2009 | | Autor: | oLman |
Also ich steh noch irgendwie auf dem Schlauch..
Ich habe zur Normalapproximation die Formel:
[mm] \wurzel{n} [/mm] = [mm] \bruch{sn - np}{\wurzel{p(1-p)}}
[/mm]
Wie drück ich jetzt [mm] \mu [/mm] und o durch n aus?
N(np, npq) ? Also N(0.1n,0.09n)?
Zudem weiss ich nicht wie ich die Standardisierte Summe bilden soll.. googeln hilft in Punkto "normalapproximation" auch nicht wirklich weiter :(
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> Ich habe zur Normalapproximation die Formel:
>
> [mm]\wurzel{n}[/mm] = [mm]\bruch{sn - np}{\wurzel{p(1-p)}}[/mm]
> Wie drück ich jetzt [mm]\mu[/mm] und [mm] \sigma [/mm] durch n aus?
Wir haben p=0.1 und ein noch nicht bekanntes n.
Dann ist
$\ E(X)\ =\ [mm] \mu\ [/mm] =\ n*p\ =\ 0.1*n$
$\ Var(X)\ =\ n*p*(1-p)\ =\ 0.3*n$
[mm] $\sigma\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{Var(X)}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{0.3*n}$
[/mm]
> Zudem weiss ich nicht wie ich die Standardisierte Summe
> bilden soll..
und ich weiss nicht, weshalb du eine solche
"Standardisierte Summe" überhaupt brauchen
solltest ...
> googeln hilft in Punkto "normalapproximation"
> auch nicht wirklich weiter
Schau lieber unter "Normalverteilung" oder
"Binomialverteilung Normalverteilung".
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 15.02.2009 | | Autor: | oLman |
Folglich eingesetzt hätte ich:
[mm] \wurzel{n} [/mm] = [mm] \bruch{s*n*0.1n}{0.3} \le [/mm] 0.25
oder habe ich einen denkfehler?
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> Folglich eingesetzt hätte ich:
>
> [mm]\wurzel{n}[/mm] = [mm]\bruch{s*n*0.1n}{0.3} \le[/mm] 0.25 ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
da komm ich nicht mit ...
Hello ol'man,
ich schrieb:
b.) Hier wird angenommen, dass die Maschine (temporär)
zu viel Ware 2.Wahl produziert, nämlich 10% statt
maximal 5%.
Bei einem Stichprobentest, wobei n Stück geprüft
werden, resultiert mit der vorgegebenen Entscheidungs-
regel "OK, wenn höchstens 2 Stück 2.Wahl" ein Fehler
2. Art, falls tatsächlich [mm] X\le [/mm] 2, obwohl p=0.1 ist.
Also nimmt man hier die Verteilung mit p=0.1 und
einem noch unbekannten n, approximiert sie durch
eine Normalverteilung [mm] (\mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] durch n ausdrücken!)
und muss dann n so bestimmen, dass [mm] P(X\le 2)\le [/mm] 0.25. (***)
Dies führt dann auf eine Ungleichung für n.
(***) Bei der Approximation durch die Normalverteilung
müsste die Stetigkeitskorrektur beachtet werden, also hat
man bei der Normalverteilung die Ungleichung $\ [mm] \red{P(X\le 2.5)\le 0.25}$ [/mm]
Nun denk dir die Glockenkurve der Normalverteilung.
Sie hat ihren höchsten Punkt an der Stelle [mm] \mu=0.1*n\,,
[/mm]
und ihre Breite ist durch den Parameter [mm] \sigma=0.3\,\wurzel(n)
[/mm]
bestimmt.
Nun legen wir an der Stelle x=2.5 einen Schnitt. Das
Gebiet im "linken Spitz", also links von dieser Stelle,
zwischen Kurve und x-Achse, steht für die Wahrschein-
lichkeit, dass [mm] X\le [/mm] 2.5 bzw. ganzzahlig ausgedrückt: [mm] X\le [/mm] 2.
Diese Fläche dieses Gebietes soll [mm] \le [/mm] 0.25 sein. Wir nehmen
den Grenzfall 0.25 und suchen in der Tabelle der Normal-
verteilungsfunktion den zugehörigen z-Wert. Es ist z=-0.6745.
Dies bedeutet, dass wir den Schnitt an der Stelle [mm] x=\mu-0.6745*\sigma
[/mm]
legen müssen. So kommen wir zur Gleichung
$\ [mm] \mu-0.6745*\sigma=0.1*n-0.6745*0.3\,\wurzel(n)=2.5$
[/mm]
Nun muss man diese Gleichung, bzw. die entsprechende
Ungleichung (= durch [mm] \le [/mm] ersetzt) nach n auflösen.
LG
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