IC-Vektorraum V* < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Do 25.08.2005 | | Autor: | Scale |
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Hallo nochmal,
Noch eine (vorletzte Teil-) Aufgabe für heute:
Sei V ein euklidischer Vektorraum, und sei f eine selbstadjungierte lin. Abb. von V in sich. Wir betrachten diesen V-raum auch als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] V*.
Das bedeute: Für irgendeine ONB [mm] B:={v_1, ..., v_n } [/mm] von V sei
V*:={ [mm] \summe_{i=1}^{n}~v_iz_i [/mm] | [mm] z_i \in \IC [/mm] } .
a) Zeige: Die Darstellungsmatrix A von f bezgl. B ist (als Matrix über [mm] \IC [/mm] betrachtet) eine hermitische Matrix. Daher definiert A eine selbstadjungierte lineare Abbildung f* von V* in sich.
Ansatz: Es gilt zunächst <f(v),w>=<v,f(w)>.
Entwickelt man nun [mm] f(v_j) [/mm] nach der ONBasis B, erhält man
[mm] f(v_j)= \summe_{i=1}^{n}~v_i, [/mm] woraus sich
[mm] a_{ij}= ==
[/mm]
= [mm] \overline{a_{ji}}=< \summe_{i=1}^{n}~\overline{a_{ji}}v_j,v_j>= [/mm] ergibt.
Also gilt [mm] a_{ij}= \overline{a_{ji}}.
[/mm]
Nun können wir schreiben:
[mm] == [/mm]
[mm] =\summe_{i}z_i\overline{z_j}=
[/mm]
[mm] =\summe_{i}z_i\overline{z_j}a_{ij}=
[/mm]
[mm] =\summe_{i}z_i z_j \overline{a_{ij}}=
[/mm]
[mm] =\summe_{i}z_i z_j=
[/mm]
[mm] =.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A definiert eine selbstadjung. lin. Abb. f* von V* nach V*. [mm] \Box
[/mm]
Geht das so?
Vielen Dank und lieben Gruß, Scale.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Scale |
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Moin, moin,
Bin mir bei folgender Teilaufgabe nicht ganz sicher ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe. (Die Definition von V* verwirrt mich...)
Sei V ein euklidischer Vektorraum, und sei f eine selbstadj. lin. Abb. von V in sich. wir betrachten diesen Vektorraum auch als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] V*. Das bedeutet:
V*:={ [mm] \summe_{i=1}^{n}~v_i_z_i [/mm] | [mm] z_i \in \IC [/mm] } .
b) Zeige: Die (selbstadjungierte) lineare Abbildung f* (siehe vorigen Strang) hat nur reelle Eigenwerte. Insbesondere hat f einen reellen Eigenvektor aus V.
Ansatz: Aus d. Fundamentalsatz der Algebra folgt das das charakteristische Polynom [mm] \chi_A [/mm] von A zumindest eine komplexe Zahl [mm] \lambda [/mm] als Nullstelle/Eigenwert hat, also mit [mm] \chi_A(\lambda)=0 [/mm] für [mm] \lambda=\gamma+i\omega \in \IC.
[/mm]
D.h. es gibt einen von Null verschiedenen Vektor
z= [mm] \vektor{z_1 \\ ... \\ z_n} =\vektor{x_1+iy_1 \\ ... \\ x_n+iy_n} \in \IC [/mm] mit [mm] A*z=\lambda*z, [/mm] also
[mm] A*(x+iy)=(\gamma+i\omega)(x+iy), [/mm] oder nach Real & Imaginär-Anteilen sortiert:
Ax = [mm] \gamma [/mm] x - [mm] \omega [/mm] y,
Ay = [mm] \gamma [/mm] y + [mm] \omega [/mm] x.
Nun nutzen wir die Symmetrie der Selbstjungiertheit:
<Ax,y>=<x,Ay>, und setzen ein...
< [mm] \gamma [/mm] x - [mm] \omega [/mm] y, y>~=~<x, [mm] \gamma [/mm] y + [mm] \omega [/mm] x >=
[mm] =\gamma-\omega~=~\gamma+\omega
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0=\omega~+~\omega=\omega( \parallel [/mm] y [mm] \parallel^2+\parallel [/mm] x [mm] \parallel^2) [/mm] = 0.
Da x+iy [mm] \not=0 \Rightarrow \omega=0, [/mm] also ist damit [mm] \lambda=\gamma \in \IR. \Rightarrow [/mm] f* hat nur reelle Eigenwerte.
Beim reellen Eigenvektor bin ich mir nicht ganz sicher:
Aus
Ax= [mm] \gamma [/mm] x = [mm] \overline{a_{ji}},
[/mm]
Ay= [mm] \gamma [/mm] y = [mm] a_{ij}
[/mm]
folgt das f* mindestens einen reellen Eigenvektor hat. (nämlich y ? ).
Danke schonmal fürs geduldige lesen und evt. Antworten.
mlg, Scale.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Scale!
Die Sache mit dem reellen Eigenvektor hatte ich mir damals so überlegt. Du kannst das ja mal überprüfen.
Aber deine Antwort erscheint mir auch richtig.
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Scale!
Du machst dir das Leben ein wenig schwer. Da $f$ eine selbstadjungierte, lineare Abbildung des euklidischen Vektorraumes $V$ in sich ist, ist ihre Darstellungsmatrix symmetrisch. Die Einträge der Darstellungsmatrix von [mm] $f:V^{\ast}\to V^{\ast}$ [/mm] sind nun die gleichen wie die der Darstellungsmatrix von $f$ in $V$; insbesondere also sind die reell. Da die Matrix symmetrisch und ihre Einträge reell sind, ist sie somit auch hermitesch, denn die komplex konjugierten der reellen Einträge entsprechen den reellen Einträgen selbst. Daraus folgt sofort, dass $f$ eine selbstadjungiert ist.
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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