IP-Polynom niedrigsten Grades < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=3^{x}.
[/mm]
a) Interpolieren Sie f an den Stellen -1,0,1,2 durch das Interpolationspolynom p niedrigsten Grades mit Hilfe der Newtonschen Interpolationsformel. Geben Sie neben der Newtonschen Darstellung auch die Darstellung in Potenzen von x an.
b) Verwenden Sie dieses Polynom zur Bestimmung einer Näherung an [mm] \wurzel{3} [/mm] und schätzen Sie den Interpolationsfehler nach oben ab.
Hinweis: [mm] 3^{x}=e^{ln3*x}. [/mm] |
Hi,
Ich habe eine Frage zum Interpolationspolynom niedrigsten Grades, was heißt denn das? Wenn ich durch 4 Stützstellen interpoliere, dann bekomme ich ein Polynom 3. Grades, aber ist das denn auch niedrigsten Grades?
Außerdem weiß ich nicht was Darstellung in Potenzen von x bedeutet. Heißt das ich soll die Koeffizienten weglassen?
Ich löse diese Aufgabe gerne komplett, so das ihr dies lesen könnt, wenn ich weiß was diese Aussagen bedeuten.
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Hallo,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=3^{x}.[/mm]
> a) Interpolieren Sie f an den Stellen -1,0,1,2 durch das
> Interpolationspolynom p niedrigsten Grades mit Hilfe der
> Newtonschen Interpolationsformel. Geben Sie neben der
> Newtonschen Darstellung auch die Darstellung in Potenzen
> von x an.
> b) Verwenden Sie dieses Polynom zur Bestimmung einer
> Näherung an [mm]\wurzel{3}[/mm] und schätzen Sie den
> Interpolationsfehler nach oben ab.
> Hinweis: [mm]3^{x}=e^{ln3*x}.[/mm]
> Hi,
>
> Ich habe eine Frage zum Interpolationspolynom niedrigsten
> Grades, was heißt denn das? Wenn ich durch 4 Stützstellen
> interpoliere, dann bekomme ich ein Polynom 3. Grades, aber
> ist das denn auch niedrigsten Grades?
Ja sicher: das wäre nur für den Fall anders, wenn es irgendwie geartetete Symmetrieeigenschaften gäbe. Aber eine Exponentialfunktion ist nicht symmetrisch, also ist die niedrigste möglich Ordnung 3, wie du richtig vermutest.
>
> Außerdem weiß ich nicht was Darstellung in Potenzen von x
> bedeutet. Heißt das ich soll die Koeffizienten weglassen?
Nein, das bedeutet für mich einfach, dass man das erhaltene Newtonsche Näherungspolynom komplett ausmultipliziert und zusammenfasst, so dass es die Gestalt
[mm] P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
hat (offensichtlich hast du das sowieso vorgehabt).
> Ich löse diese Aufgabe gerne komplett, so das ihr dies
> lesen könnt, wenn ich weiß was diese Aussagen bedeuten.
Ist es klarer geworden?
Gruß, Diophant
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Ja alles klar. Danke.
Also hier die versprochene Live-Lösung zum Abheften:
a)
Stützpunkte:
f(-1)=1/3;
f(0)=1;
f(1)=3;
f(2)=9;
Also:(-1,1/3),(0,1),(1,3),(2,9)
[mm] p(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
[/mm]
[mm] =1/3+\bruch{1-1/3}{0-(-1)}(x-(-1))+\bruch{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{1-(-1)}(x-(-1))(x)+\bruch{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{2-(-1)}(x-(-1))(x)(x-1)
[/mm]
[mm] =1/3+2/3(x+1)+\bruch{\bruch{3-1}{1-0}-\bruch{1-1/3}{0-(-1)}}{2}(x+1)(x)+\bruch{\bruch{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{2}-\bruch{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{1-(-1)}}{3}(x-(-1))(x)(x-1)
[/mm]
[mm] =1/3+2/3(x+1)+4/6(x+1)(x)+\bruch{\bruch{\bruch{9-3}{2-1}-\bruch{3-1}{1}}{2}-\bruch{\bruch{3-1}{1}-\bruch{1-1/3}{0-(-1)}}{2}}{3}(x+1)(x)(x-1)
[/mm]
=1/3+2/3(x+1)+4/6(x+1)(x)+8/18(x+1)(x)(x-1)
ist Newtonsche Form
Darstellung in Potenzen:
[mm] p(x)=1/3+2/3(x+1)+4/6(x+1)(x)+8/18(x+1)(x)(x-1)=1+2/3x+4/6x+4/6x^2+8/18(x^3-x)
[/mm]
[mm] =8/18x^3-4/3x^2+x+1
[/mm]
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