IR^3 nach IR^3 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 26: (2 + 2 + 2 + 2 Punkte)
Betrachen Sie die linearen Abbildungen [mm] f:\IR^3\rightarrow\IR^3 [/mm] und [mm] g:\IR^3\rightarrow\IR^3 [/mm] definert durch
[mm] f(x):=\begin{pmatrix} x1+x3 \\ {x2-x3} \\ x1 + x2-x3 \end{pmatrix}, [/mm]
[mm] g(x):=\begin{pmatrix} x1+x2 \\x2+x3\\ x1-x3 \end{pmatrix}
[/mm]
wobei [mm] x=(x1,x2,x3)^T [/mm] und die Basen
[mm] B:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},
[/mm]
[mm] B':=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
des [mm] \IR^3.
[/mm]
1. Berechnen Sie die (Abbildungs-) Matrix von f und g bezüglich (B,B).
2. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix von B nach [mm] B^{'} [/mm] und [mm] B^{'} [/mm] nach B.
3. Wie sieht die (Abbildung-) Matrix von f bezüglich (B^',B^') aus.
4. Kommentieren Sie Ihre Ergebnisse. |
also ich bekamm 0 von 8 punken
aber ich dachte das die richtig sind nur der korektör meinte // so nicht , was machst du da, tolle hilfe
also kleines beispiel was ich so falsch geschrieben hab
f(B,B)= f [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
f= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
f= [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
f(B,B)= [mm] \begin{pmatrix} {1 & 3 & 0} \\ {1 & -1 & 1} \\ {2 & 1 & 1} \end{pmatrix}
[/mm]
ich hab null plan warum das falsch ist oder wie ich das richtig machen soll kann mir da pls wer helfen
|
|
| |
|
> Aufgabe 26: (2 + 2 + 2 + 2 Punkte)
> Betrachen Sie die linearen Abbildungen f : [mm]R^3 \rightarrow R^3[/mm]
> und g : [mm]R^3 \rightarrow R^3[/mm] definert durch
> f(x) := [mm]\begin{pmatrix} x1+x3 \\ {x2-x3} \\ x1 + x2-x3 \end{pmatrix},[/mm]
>
> g(x) [mm]:=\begin{pmatrix} x1+x2 \\x2+x3\\ x1-x3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> wobei x = (x1, x2, [mm]x3)^T[/mm] und die Basen
> B := [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},[/mm]
>
> [mm]B^{'}[/mm] := [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> des [mm]\IR^3.[/mm]
> 1. Berechnen Sie die (Abbildungs-) Matrix von f und g
> bezüglich (B,B).
> 2. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix von B nach [mm]B^{'}[/mm] und
> [mm]B^{'}[/mm] nach B.
> 3. Wie sieht die (Abbildung-) Matrix von f bezüglich
> (B^',B^') aus.
> 4. Kommentieren Sie Ihre Ergebnisse.
> also ich bekamm 0 von 8 punken
>
> aber ich dachte das die richtig sind nur der korektör
> meinte // so nicht , was machst du da, tolle hilfe
>
>
> also kleines beispiel was ich so falsch geschrieben hab
>
> f(B,B)= f [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> f= [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> f= [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> f(B,B)= [mm]\begin{pmatrix} {1 & 3 & 0} \\ {1 & -1 & 1} \\ {2 & 1 & 1} \end{pmatrix}[/mm]
>
> ich hab null plan warum das falsch ist oder wie ich das
> richtig machen soll kann mir da pls wer helfen
Hallo,
sammeln wir zunächst mal das Positive:
Du weißt, daß man für die Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren benötigt, und daß diese dann als Spalten in die darstellende Matrix gesteckt werden.
Nun ist aber die darstellende Matrix von f bzgl. der Basis B (in Start- und Zielraum) gefordert.
Hierzu ist zu berechnen
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}), f(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}), f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}),
[/mm]
was Du ja auch getan hast.
Der Casus knacktus: die gesuchte darstellende Matrix sollt die Koordinaten bzgl. B liefern.
Du mußt also Deine Ergebnisse, die Du als Koordinaten bzgl der Standardbasis dastehen hast, umwandeln in Linearkombinationen bzgl. B. Die Faktoren vor den Vektoren aus B sind dann die Einträge des Koordinatenvektors bzgl B, und der gehört in die Spalten der gesuchten Matrix.
Deine Matrix tut folgendes: sie liefert für Vektoren, die in Koordinaten bzgl. B gegeben sind, die Funktionswerte bzgl der Standardbasis.
(Du solltest auch mit Deinen Schreibweisen etwas vorsichtig sein, man muß schon sehr wohlwollend sein, um sich unter unter f(B,B)= f [mm][mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und f= [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] etwas vorstellen zu können.)
Da ich Deine Vorlesung nicht besuche, weiß ich natürlich nicht, was von Euch verlangt wird, aber die Aufgabe sieht mir so aus, als könne es angebracht sein, daß Du Dich mit den Transformationsmatrizen vertraut machst. Am besten prüfst Du, ob das dran war.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi , also ich weiss jetzt wie man die abbildungs matrix berechnent,
aber ich weiss immer noch nicht wie ich das mit 2. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix von B nach $ [mm] B^{'} [/mm] $ und $ [mm] B^{'} [/mm] $ nach B. machen soll,
kann mir jemand da bitte ein beispiel aufschreiben.
oder die lösung zu dieser aufgabe.
lösung zu 1.
f [mm] \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \alpha_1_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\alpha_1_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_1_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
das für die anderen beiden basis vektoren gemacht ergibt das die (Abbildungs-) Matrix
[mm] A=\begin{pmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \end{pmatrix}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Hi , also ich weiss jetzt wie man die abbildungs matrix
> berechnent.
> lösung zu 1.
>
> f [mm]\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\alpha_1_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\alpha_1_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_1_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
ja, das scheinst Du verstanden zu haben.
Ein Tip: ich hänge, sobald verschiedene Basen mitspielen, immer die Basis als Index an die Koordinatenvektoren an, sofern es sich nicht um Koordinaten bzgl der Standardbasis handelt.
Man kommt dann nicht so leicht durcheinander, und es stehen nicht falsche Dinge wie [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] da.
So meine ich das:
f [mm]\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]= [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}_B
[/mm]
>
> aber ich weiss immer noch nicht wie ich das mit 2.
> Bestimmen Sie die Übergangsmatrix von B nach [mm]B^{'}[/mm]
Du sollst hier die Matrix für die Abbildung, die folgendes tut, aufstellen:
Ein Vektor, der in Koordinaten bzgl B gegeben ist, soll in Koodinaten bzgl. B' umgewandelt werden. Der Vektor an sich bleibt gleich (identische Abbildung)
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=
[/mm]
[mm] ...\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+...\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+...\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}_{B'}
[/mm]
Das wäre dann die erste Spalte.
Dann weiter mit den anderen Basisvektoren von B.
> und [mm]B^{'}[/mm] nach B. machen soll,
Das geht entsprechend - oder Du invertierst die oben gefundene Matrix.
Gruß v. Angela
> kann mir jemand da bitte ein beispiel aufschreiben.
> oder die lösung zu dieser aufgabe.
>
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Übergangsmatrix von B nach B^`
is das das sele wie [mm] M^{B}_{B^`}
[/mm]
$ [mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})= [/mm] $
$ [mm] ...\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+...\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+...\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}_{B'} [/mm] $ |
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{B'} [/mm]
[mm] f(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_B= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_{B'} [/mm]
[mm] f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{B'} [/mm]
die Übergangsmatrix von B nach B' ist A
[mm] A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=M^{B}_{B'}
[/mm]
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Übergangsmatrix von B' nach B oder [mm] M^{B'}_{B}
[/mm]
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_B'= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}_{B} [/mm]
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B'= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_{B} [/mm]
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_B'= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}_{B} [/mm]
die Übergangsmatrix von B' nach B ist A^-1 die inverse matrix zu A von der früheren berechnung
[mm] A^-1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}=M^{B'}_{B}
[/mm]
oder hab ich die jetzt vertauscht?
Aber für sich müsste das stimmen oder?
mfg Danny
|
|
|
| |
|
> Übergangsmatrix von B nach B^'
>
> is das das sele wie [mm]M^{B}_{B^'}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=[/mm]
>
> [mm]...\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+...\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+...\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}_{B'}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{B'}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_B= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_{B'}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{B'}[/mm]
>
>
> die Übergangsmatrix von B nach B' ist A
>
>
> [mm]A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=M^{B}_{B'}[/mm]
>
> ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>
> Übergangsmatrix von B' nach B oder [mm]M^{B'}_{B}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_B'= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_3[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}_{B}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B'= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_3[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_{B}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_B'= \lambda_1 *\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+\lambda_2 *\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_3[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}_{B}[/mm]
>
>
> die Übergangsmatrix von B' nach B ist A^-1 die inverse
> matrix zu A von der früheren berechnung
>
>
> [mm]A^-1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}=M^{B'}_{B}[/mm]
>
>
> oder hab ich die jetzt vertauscht?
> Aber für sich müsste das stimmen oder?
>
> mfg Danny
Hallo,
ich habe jetzt nicht jede Zeile kontrolliert sondern nur stichprobenartig. Das, was Du tust, ist richtig.
Ich möchte Dich noch auf eine Sache hinweisen. Du schreibst:
> [mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B
[/mm]
Dieses " f von irgendwas " an Deinen Zeilenanfängen hat dort nichts zu suchen, ich nehme mal an, daß es nur ein Copy-Fehler ist.
Dann meinst Du hinter dem Gleichheitszeichen nicht [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B [/mm] sondern [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
[/mm]
Bzgl der Basis B wäre das der Vektor [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_B. [/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \lambda_1 \cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 \cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] $ * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{B'} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \lambda_1 \cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 \cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] $ * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_{B'} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \lambda_1 \cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2 \cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3 [/mm] $ * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{B'} [/mm]
die Übergangsmatrix von B nach B' ist A
[mm] A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=M^{B}_{B'} [/mm]
|
Hi ,
also meine frage hierzu noch ,
ganz kurz ,weil das is wichtig für mich.
Das heisst dann [mm] M^{B}_{B'} [/mm] ist die Übergangsmatrix von B nach B'
und wie benutz ich die Übergangsmatrix oder für was brauch ich die , besser gesagt wo kann man diese die weiter einsetzen
weil ich hab die 2 Basen und daraus meine Übergangsmatrix gewonnen,
und diese beschreibt jetzt was genau oder was kann ich damit anstellen?
|
|
|
| |
|
> Das heisst dann [mm]M^{B}_{B'}[/mm] ist die Übergangsmatrix von B
> nach B'
Hallo,
ja.
[mm] M^{B}_{B'}(id) [/mm] ist die Matrix, welche Dir Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl. B' transformiert. Der Vektor als solcher wird dabei nicht verändert, er wir lediglich bzgl einer anderen Basis, nämlich B' dargestellt. (Basistransformation).
>
> und wie benutz ich die Übergangsmatrix oder für was brauch
> ich die , besser gesagt wo kann man diese die weiter
> einsetzen
>
> weil ich hab die 2 Basen und daraus meine Übergangsmatrix
> gewonnen,
> und diese beschreibt jetzt was genau oder was kann ich
> damit anstellen?
Du hattest eingangs die darstellende Matrix der Abbildung f bezgl der Basis B berechnet, die Matrix [mm] M^{B}_{B}(f).
[/mm]
Nun könnte es ja sein, daß Du Dich dafür interessierst oder interessieren sollst, wie die darstellende Matrix von f bzgl. der Basis B' aussieht, was also [mm] M^{B'}_{B'}(f) [/mm] ist.
Die kannst Du nun mit Deinen Transformationsmatrizen errechen:
es ist [mm] M^{B'}_{B'}(f)=M^{B}_{B'}(id) M^{B}_{B}(f)M^{B'}_{B}(id)
[/mm]
Das Produkt, welches man ja von rechts nach links lesen muß, wird zunächst ein bzgl B' gegebener Vektor in Koordinaten bzgl B umgewandelt, darauf dann die Abbildung angewendet, und anschließend das Ergebnis, welches in Koordinaten bzgl. B vorliegt, durch die nächste Matrix in Koordinaten bzgl B' transformiert.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Hi, noch eine kleine frage,
$ [mm] M^{B'}_{B'}(f)=M^{B}_{B'}(id) M^{B}_{B}(f)M^{B'}_{B}(id) [/mm] $
gilt für [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^3
[/mm]
|
Alles was wir jetzt hier gezeigt haben gilt genauso für
[mm] \IR^n \rightarrow \IR^m [/mm] wobei n [mm] \ge [/mm] m n,m [mm] \in \IN
[/mm]
und [mm] \IR^n \rightarrow \IR^m [/mm] wobei n < m n,m [mm] \in \IN
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Hi, noch eine kleine frage,
> [mm]M^{B'}_{B'}(f)=M^{B}_{B'}(id) M^{B}_{B}(f)M^{B'}_{B}(id)[/mm]
>
> gilt für [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^3[/mm]
>
>
>
> Alles was wir jetzt hier gezeigt haben gilt genauso für
> [mm]\IR^n \rightarrow \IR^m[/mm] wobei n [mm]\ge[/mm] m n,m [mm]\in \IN[/mm]
>
> und [mm]\IR^n \rightarrow \IR^m[/mm] wobei n < m n,m [mm]\in \IN[/mm]
Sinngemäß schon. Allerdings können B und B' nicht gleichzeitig Basen von [mm] \IR^n [/mm] und [mm] \IR^m [/mm] sein für [mm] m\not=n.
[/mm]
Eher so: seien C und C' Basen vom [mm] \IR^n, [/mm] B und B' Basen vom [mm] \IR^n,
[/mm]
sei f: [mm] \IR^n\to \IR^m.
[/mm]
Dann ist
[mm] M^{B'}_{C'}(f)=M^{C}_{C'}(id) M^{B}_{C}(f)M^{B'}_{B}(id)
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
