IR^n\{x} wegzusammenhängend ? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 04.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Sei [mm] x\in \IR^n [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2. Zeigen Sie, dass [mm] \IR^n\setminus [/mm] {x} wegzusammenhängend ist. |
Hallo Mathe-Freunde,
ich weiß, dass der euklidische Raum [mm] \IR^n [/mm] wegzusammenhängend ist, da ich einfach für [mm] x,y\in \IR^n [/mm] den Weg [mm] \alpha:[0,1]-->\IR^n [/mm] von x nach y definiere als [mm] \alpha(t):=t*y+(1-t)*x. [/mm] Soweit so gut. Wenn ich jetz also ein beliebiges [mm] x\in \IR^n [/mm] aus dem Raum rausnehme, dann is auch der Raum [mm] \IR^n\setminus [/mm] {x} wieder wegzusammenhängend. Das is mir auch anschaulich klar, aber wie komme ich jetzt auf einen Weg [mm] \beta, [/mm] der mir das auch formal beweist? Kann da jemand helfen? Besten Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 04.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich kann doch im Prinzip für [mm] \beta [/mm] den gleichen Weg [mm] \alpha [/mm] nehmen wie im Raum [mm] \IR^n [/mm] nur mit der Einschränkung, dass im Fall [mm] x\in \alpha [/mm] der Weg quasi um x einen Bogen machen soll. Das jetzt aber formal aufzuschreiben fällt nicht so leicht. Könnte mir da jemand unter die Arme greifen? Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:50 Do 05.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich kann doch im Prinzip für [mm]\beta[/mm] den gleichen Weg [mm]\alpha[/mm]
> nehmen wie im Raum [mm]\IR^n[/mm] nur mit der Einschränkung, dass
> im Fall [mm]x\in \alpha[/mm] der Weg quasi um x einen Bogen machen
> soll.
Richtig. Mach doch eine Fallunterscheidung für einen Weg zwischen Punkten y,z:
Beginne mit der geraden Strecke von y nach z!
1. x liegt nicht auf dieser Strecke, d.h. [mm] $x\notin\{ u\mid u=x+t(y-x), t\in[0,1]\}$, [/mm] dann hast du den gewünschten Weg.
2. x liegt auf dieser Strecke, dann nimmst du den Halbkreis mit dem Mittelpunkt [mm] $\bruch{x+y}{2}$ [/mm] und dem Radius [mm] $\bruch{\|x-y\|}{2}$, [/mm] auf dem y und z liegen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Do 05.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey vielen Dank. Sowas in der Art hab ich mir schon gedacht. Noch ne kleine Frage: Da [mm] \IR^n\setminus [/mm] {x} ja ein topologischer Raum ist, gibt es dann keine Probleme, wenn ich hier beim Radius mit der Norm arbeite? Danke schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hey vielen Dank. Sowas in der Art hab ich mir schon
> gedacht. Noch ne kleine Frage: Da [mm]\IR^n\setminus[/mm] {x} ja ein
> topologischer Raum ist, gibt es dann keine Probleme, wenn
> ich hier beim Radius mit der Norm arbeite? Danke schon mal.
Ja, denn:
Der [mm] \IR^n [/mm] ist mit einer Norm versehen und somit ein topologischer Raum.
Da alle Normen auf [mm] \IR^n [/mm] äquivalent sind, kannst Du die euklidische Norm nehmen.
Dann kannst Du [mm] \IR^n [/mm] \ {x} als Teilraum mit der Spurtopologie auffassen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Do 05.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay alles klar, dann sieht also mein Weg von u nach v wie folgt aus:
[mm] \beta(t)=\begin{cases}
t*u+(1-t)*v & \text{falls }x\text{ nicht zwischenu und v liegt,}\\
u+\wurzel{(\bruch{\|u-v\|}{2})^2-(v-\bruch{u+v}{2})^2} & \text{sonst}
\end{cases}
[/mm]
Stimmt das so? Ich bin mir mit der Kreis- bzw. Halbkreisgleichung nich so ganz sicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Okay alles klar, dann sieht also mein Weg von u nach v wie
> folgt aus:
>
> [mm]\beta(t)=\begin{cases}
t*u+(1-t)*v & \text{falls }x\text{ nicht zwischenu und v liegt,}\\
u+\wurzel{(\bruch{\|u-v\|}{2})^2-(v-\bruch{u+v}{2})^2} & \text{sonst}
\end{cases}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nein, der untere Zweig von [mm] \beta [/mm] ist konstant !! ??
FRED
> Ich bin mir mit der Kreis- bzw.
> Halbkreisgleichung nich so ganz sicher.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Do 05.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Was meinst du mit konstant? Der Halbkreis muss doch zumindest von den beiden Punkten u und v abhängen oder nich?
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Ja, du hast aber kein t in der unteren Gleichung, also ist das einfach eine Konstante Funktion $f(t) = c$ und das beschreibt nur einen Punkt 
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:32 Do 05.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay jetz versteh ich hehe. Wo muss ich da denn ein t einfügen damits stimmt? Wie gesagt die Kreisgleichung is mir etwas fremd.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Do 05.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Mal eine Frage: Wozu überhaupt eine Gleichung rausbrechen? Wird eh eine widerliche Formel werden!
Beschreib einfach mit Worten wie die Kurve aussehen soll (so wie weiter oben in diesem Thread). Das reicht doch.
LG, Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Do 05.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja nette Idee, aber ich bin mii nich sicher, was mein Tutor davon halten würde. Außerdem würd ich gern wissen wir die widerliche Formel nachher aussieht :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 07.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Sorry, aber ich muss einfach nochmal fragen, weil ich allein nicht auf die Gleichung komm. Kann mir jemand helfen und sgen wie die in etwa auszusehen hat? Eine Gleichung für einen Halbkreis der die Punkte u und v aus [mm] \IR^n [/mm] miteinander verbindet, hört sich irgendwie einfacher an als gedacht. Also vielen Dank für jeden der mir bei der Gleichung hilft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 08.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sorry, aber ich muss einfach nochmal fragen, weil ich
> allein nicht auf die Gleichung komm. Kann mir jemand helfen
> und sgen wie die in etwa auszusehen hat? Eine Gleichung
> für einen Halbkreis der die Punkte u und v aus [mm]\IR^n[/mm]
> miteinander verbindet, hört sich irgendwie einfacher an
> als gedacht. Also vielen Dank für jeden der mir bei der
> Gleichung hilft.
Für $n>2$ gibt es unendliche viele solche Halbkreise, denn du kannst beliebig um die Gerade durch u und v rotieren.
$v-u$ gibt eine Richtung, wähle einen beliebigen dazu senkrechten Einheitsvektor $e$, dann ist dein Halbkreis mit Radius [mm] $\bruch{\|u-v\|}{2}$ [/mm] um den Mittelpunkt
[mm] \bruch{u+v}{2}+ \bruch{u-v}{2} \cos\phi + \bruch{\|u-v\|}{2} e \sin\phi[/mm], [mm] $0\le\phi\le\pi$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Oha das is wirklich nich unbedingt sofort ersichtlich, aber vielen Dank dafür.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 10.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Würde sich hier etwas ändern, wenn ich statt eines beliebigen Punktes x einfach den Nullpunkt wähle, d.h. den Raum [mm] \IR^n\setminus [/mm] {0} betrachte??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 11.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Würde sich hier etwas ändern, wenn ich statt eines
> beliebigen Punktes x einfach den Nullpunkt wähle, d.h. den
> Raum [mm]\IR^n\setminus[/mm] {0} betrachte??
Nein, denn du kannst das eine durch eine einfache Verschiebung auf das andere abbilden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar, vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 05.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Nur so als Alternativvorschlag, und auch obwohl es im Grunde das gleiche ist was ihr gemacht habt, ich finde es wesentlich einfacher das so zu begründen:
1) [mm] $B:=\mathbb{B}_1(x)$ [/mm] ist wegzusammenhängend (gilt natürlich auch erst für [mm] $n\ge [/mm] 2$)
2) Von jedem Punkt aus [mm] $\IR^n\setminus\{x\}$ [/mm] gibt es einen Weg zu einem Punkt aus B.
Damit folgt die Behauptung.
Gruß, Robert
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