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| Aufgabe | Gegeben ist der Graph f der Funktion [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und der Punkt P(0/-4)
Die Tangenten [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] schneiden sich in P.
a) Bestimme die Fläche zwischen den Tangenten und f (farbige Fläche in der Skizze links)
b) Nun „wandert“ P um eine Einheit nach rechts. Wie muss sich der y-Wert ändern, damit die Fläche zwischen den Tangenten und f gleich bleibt (farbige Fläche in der Skizze rechts) ?
c) Wie lautet die Funktion der Iso-Fläche von P ?
(Das heißt: Zu jedem x–Wert von P gibt es einen y-Wert, so dass stets die gleiche Fläche zwischen den Tangenten und f ist. Wie lautet die Funktion, mit der man direkt vom x–Wert auf den y-Wert von P kommt)
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Zu a).
Die Funktionen der Tangenten sind y=4x-4 bzw. y=-4x-4
Die Berührpunkte sind [mm] T_{1} [/mm] (-2/4) und [mm] T_{2} [/mm] (2/4).
Dann lässt sich mit Hilfe der Integralrechnung die Fläche ausrechnen.
Da habe ich raus, dass die Fläche 5.333 Einheiten ist
Bei b) wird es jedoch unübersichtlich bzw. zur Arschleder-Aufgabe.
P ist [mm] (1/y_{P}) [/mm]
Man musste nun die Tangenten-Gleichungen aufstellen (mit dem unbekannten [mm] y_{P}) [/mm]
Und dann mit der ersten Tangenten-Gleichung von [mm] x_{T1} [/mm] bis 1 integrieren und mit der zweiten Tangenten-Gleichung von 1 bis [mm] x_{T2}.
[/mm]
Und dann muss am Ende immer 5.333 Einheiten rauskommen.
Bei c) ist es wie oben – nur an Stelle von 1 steht [mm] x_{P}.
[/mm]
Das dürfte m.E. entweder zum Arschleder führen oder gar nicht lösbar sein.
Meiner Vermutung nach müsste da eine Funktion rauskommen, die ähnlich ist wie [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] denn P kann sich ja nicht allzu weit von f entfernen.
Und für x=0 muss y=-4 rauskommen. Dieser Punkt ist ja schon bekannt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 08.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
loes gar nicht erst b, sondern gleich c)
[mm] P=(x_p,y_p) [/mm]
Tangentengleichung im Punkt x1,y1:
t(x)=..
Gerade durch P allgemein. [mm] y=mx-mx_p+y_p
[/mm]
Steigung und Achsenabschn. gleichsetzen, gibt ne quadratische Gleichung fuer [mm] x1(x_p,y_p).
[/mm]
Loesen und allgemein als Grenzen einsetzen, vereinfacht vieles.
sodass es keine lederaufgabe ist sondern bei mir 5-7 Zeilen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Sa 08.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Durch Probieren habe ich b) rausgekriegt:
P ist (1/-3),
wobei [mm] T_{1} [/mm] (-1/1) ist und [mm] t_{1}: [/mm] y=-2x-1
und [mm] T_{2} [/mm] ist 3/9) mit [mm] t_{2}: [/mm] y=6x-9
Wenn man das obige hat, dann ist die Fläche leicht zu berechnen, und die ist dann "zufällig" auch 5.333
> loes gar nicht erst b, sondern gleich c)
> . . . .
> gibt ne quadratische Gleichung fuer [mm]x1(x_p,y_p).[/mm]
> Loesen und allgemein als Grenzen einsetzen, vereinfacht vieles.
>
> sodass es keine lederaufgabe ist, sondern bei mir 5-7 Zeilen.
Das Ganze rückwärts zu machen, also 5.333 = Integral1 + Integral2
mit Buchstaben als Grenzen und Buchstaben in den zu integrierenden Funktionen...
... ich wusste schon, dass es nur so gehen kann. Jedoch erschien mir das zu aufwändig und kompliziert (Lederaufgabe), und ob am Ende ein brauchbares Ergebnis rauskommt, ist immer ungewiss.
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| Aufgabe | Irgendwie bleibt das bei mir eine Arschleder-Aufgabe, weil es an einer bestimmten Stelle nicht weitergeht, bzw. immer verworrener wird.
Noch mal die Aufgabe:
Es soll die Funktion für den Punkt P bestimmt werden, so dass die Fläche zwischen f: [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und den Tangenten, die sich in P schneiden, stets die gleiche ist.
Einer der Punkte P ist (0/-4)
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Für P(0/-4) hatte ich die Fläche schon ermittelt: Diese ist 5.333
Nun muss sein:
[mm] \integral_{x_{T1}}^{x_{P}}{(x^{2}-f(t_{1})) dx} [/mm] + [mm] \integral_{x_{P}}^{x_{T2}}{(x^{2}-f(t_{2})) dx} [/mm] = 5.333
[mm] x_{T1} [/mm] und [mm] x_{T2} [/mm] konnte ich noch ermitteln. Das ist
[mm] x_{T1}=x_{P}-\wurzel{x_{P}^{2}-y_{P}} [/mm] und [mm] x_{T2}=x_{P}+\wurzel{x_{P}^{2}-y_{P}}
[/mm]
Das Problem sind die Funktionen der Tangenten-Geraden [mm] f(t_{1}) [/mm] und [mm] f(t_{2}) [/mm] .
Leduart hatte schon Vorarbeit geleistet mit [mm] y=mx-mx_{P}+y_{P}
[/mm]
Hier muss man nun das m ermitteln für die beiden Tangenten.
[mm] m=\bruch{y_{T}-y_{P}}{x_{T}-x_{P}}=2x_{T}
[/mm]
Kann man jetzt einfach für m gleich [mm] 2x_{T} [/mm] einsetzen? Hääää?
Oder den Bruch? Das würde kompliziert....
Aber auch, wenn ich für m "nur" [mm] 2x_{T} [/mm] einsetze, kommt aus den Integralen "Arschleder" raus, sprich: irgendwas mit [mm] x_{P}^{3} [/mm] und ne Kombination mit [mm] x_{T}x_{P}^{2} [/mm] usw.
Wenn sich das alles dann am Ende nicht in Wohlgefallen auflöst, dann wüsste ich nicht, wie man das Ganze nach [mm] y_{P} [/mm] auflösen sollte.
Denn das ist doch das Endziel:
Die Funktion zu ermitteln [mm] y_{P}=f(x_{P})
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 09.08.2009 | | Autor: | wauwau |
[mm] y_p=f(x_p) [/mm] wird wahrscheinlich etwas schwierig.
Auch die Kreisgleichung ist ja in geschlossener Form [mm] (x^2+y^2=r^2)
[/mm]
[mm] g(x_p,y_p)=const.
[/mm]
Also du könntest ja folgenden Ansatz wählen
Seien [mm] (x_{1},x_{1}^{2}) [/mm] und [mm] (x_{2},x_{2}^{2}) [/mm] zwei Punkte auf der Parabel.
Die Tangenten durch diese Punkte
[mm] t_{1}: y=2x_1x-x_1^2 [/mm]
[mm] t_{2}: y=2x_2x-x_2^2
[/mm]
schneiden sich im Punkt
P = [mm] (\bruch{x_{1}+x_{2}}{2},x_{1}*x_{2})
[/mm]
Die von den Tangenten und der Parabel begrenzte Fläche hat den Flächeninhalt (Integration...)
[mm] \bruch{1}{12}*(x_{2}-x_{1})^{3}
[/mm]
Naja jetzt musst du deine Punkte [mm] (x_{p},y_{p}) [/mm] einfach einsetzen, den Flächeninhalt gleich A (5,333) setzen und du erhältst einen geschlossenen Ausdruck für deine Aufgabe als Lösung.
Den kannst du dann geeignet geometrisch interpretieren, oder wenn möglich nach [mm] y_p [/mm] auflösen
Geschlossene Form der Fläche
[mm] A((x_p|y_p)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}(2*\wurzel{x_p^2-y_p})^{3} [/mm] = A((0|-4))
aufgelöst nach [mm] y_p [/mm] ergibt
[mm] y_p [/mm] = [mm] x_p^2-\wurzel[3]{\bruch{9A^2}{4}} [/mm] in unserem Fall mit [mm] A=\bruch{16}{3} [/mm] also
y = [mm] x^2-4
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 09.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo rabilein
neue Ueberlegung:
Kennst du Scherungen?
Bei Scherungen bleiben Flaecheninhalte erhalten, Parabeln bleiben Parabeln. Tangenten Tangenten.
Wenn ich meine Parabel also verschere mit:
x-> x
y->y+mx wird aus der Parabel
die verschobene parabel [mm] y=x^2+mx
[/mm]
oder [mm] y=(x+m/2)^2-m^2/4 [/mm] sie wurde also um m/2 nach links, und m/2 nach unten verschoben. P(-4,0) bleibt bie der Scherung.
Jetzt zurueckschieben, einschliesslich dem Pkt P
transportiert P nach [mm] (0,-4)+(m/2,m^2/4) [/mm]
also hat man fuer P die Gleichung [mm] y=-4+x^2
[/mm]
Vielleicht ist das was schnell. aber wenn du die ortskurve kennst ist es auch leicht nachzuweisen, dass ein Punkt auf [mm] y=x^2-4 [/mm] die forderung erfuellt.
Bei den Rechnungen mit Integral hab ich mich auch nur endlos verrechnet.
(Woher stammt die Aufgabe? Wenn aus aBbildungsgeometrie sollte man vielleicht die Scherung als Abbildungsmatrix geben:
[mm] S=\pmat{ 1 & 0 \\ m & 1 }
[/mm]
an der det=1 sieht man, dass Flaechen erhalten bleiben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Mo 10.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Vielleicht ist das was schnell. aber wenn du die ortskurve
> kennst ist es auch leicht nachzuweisen, dass ein Punkt auf
> [mm]y=x^2-4[/mm] die forderung erfuellt.
Das mit [mm]y=x^2-4[/mm] war auch meine Vermutung, nachdem ich den Punkt [mm] P_{1} [/mm] (1/-3) gefunden hatte.
[mm] P_{0} [/mm] (0/-4) war ja schon gegeben, und außerdem darf sich die Lösungskurve nicht allzu weit von [mm] f:f(x)=x^{2} [/mm] entfernen, weil sonst die von den Tangenten eingeschlossenen Flächen zu groß werden.
Für [mm] P_{2} (2/y_{P2}) [/mm] ergibt sich jedoch für das vermutete [mm] y_{P2}=0 [/mm] (aus [mm] 2^{2}-4) [/mm] eine Fläche von 21.333 statt 5.333
Das wirkliche [mm] y_{P2} [/mm] muss größer als Null sein, damit die Fläche zwischen den Tangenten und f gleich 5.333 ist.
> Woher stammt die Aufgabe?
Von mir.
Es ist wieder mal so eine dieser Aufgaben, die ich mir ausgedacht habe, an der nicht nur ich verzweifle, sondern offenbar auch Leute, die ansonsten (fast) alles mit Leichtigkeit lösen können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 10.08.2009 | | Autor: | wauwau |
Hat sich bei mir doch ein kl. Rechenfehler eingeschlichen nun stimmt mein Betrag.
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