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Ich komm mit der Definition der σ-Algebra noch nicht ganz klar, vielleicht kann es mir jemand anhand folgendem Beispiel erklären?
Erfüllt A = [mm] \{\emptyset, \{1,2,3,4,5,6\},{\1,2,3,4,6\},\{5\},\{1,2,3,4,5\},\{6\}\} [/mm] die Eigenschaften einer σ-Algebra?
Ich weiß, die Antwort ist nein, aber begründen kann ichs leider nicht, auch wenn ich mir die Definition anschaue ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Do 15.07.2010 | | Autor: | G-Hoernle |
hmm so sollte meine Menge jetzt eigentlich nicht aussehen ...
[mm] (\emptyset, [/mm] (1,2,3,4,5,6),(1,2,3,4,6),(5),(1,2,3,4,5),(6))
habe die eckigen klammern durch runde ersetzt, damit es richtig angezeigt wird
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Do 15.07.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich komm mit der Definition der σ-Algebra noch nicht ganz
> klar, vielleicht kann es mir jemand anhand folgendem
> Beispiel erklären?
>
> Erfüllt A = [mm]{\emptyset, {1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,6},{5},{1,2,3,4,5},{6}}[/mm]
> die Eigenschaften einer σ-Algebra?
>
> Ich weiß, die Antwort ist nein, aber begründen kann ichs
> leider nicht, auch wenn ich mir die Definition anschaue ...
[mm] $\mathcal{A}= \{\emptyset, \{1,2,3,4,5,6\},\{1,2,3,4,6\},\{5\},\{1,2,3,4,5\},\{6\}\}$
[/mm]
Die alleinige Angabe eines Mengensystems reicht nicht aus, um zu entscheiden, dass es sich um eine  Sigma-Algebra handelt. Es fehlt die Angabe einer Grundmenge [mm] $\Omega$. [/mm] Wäre diese in deinem Beispiel [mm] $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, [/mm] dann wäre [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] keine [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] da [mm] $\Omega\not\in\mathcal{A}$.
[/mm]
Ich gehe hier jedoch davon aus, dass [mm] $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] ist.
Dass du bei Ansicht der Definition die [mm] $\sigma$-Algebra-Eigenschaft [/mm] nicht widerlegen kannst, kann ich fast nicht glauben...
Die ersten beiden Bedingungen sind sicher erfüllt, aber die dritte scheitert... mehr muss ich hoffentlich nicht sagen  falls doch, melde dich bitte mit deinen Ansätzen.
Viele Grüße,
Marc
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Gefragt wurde, ob es die Eigenschaften einer σ-Algebra erfüllen kann - demnach ist keine gegeben, es muss eine gefunden werden oder eben nicht :)
Kommen wir zur Eigenschaft 3, ich schreibe einfach mal auf wie ich glaube zu wissen, dass das abläuft und du unterbrichst mich dort, wo es grottig wird :)
$ [mm] \cal [/mm] A $ ist in vielen fällen gleich der potenzmenge von [mm] \Omega, [/mm] oft auch teilmenge der potenzmenge. Eine Potenzmenge kann elemente der menge beliebig oft aneinander reihen. also kann $ [mm] \cal [/mm] A $ beliebig viele mengen enthalten, hauptsache die elemente der menge kommen in [mm] \Omega [/mm] vor.
Wahrscheinlich war das jetzt von vorne bis hinten falsch :-/
gruß und danke für deine hilfe
ghoernle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Do 15.07.2010 | | Autor: | G-Hoernle |
meine definition der potenzmenge war schonmal falsch. $ [mm] \cal [/mm] A $ darf nur aus Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] bestehen.
bringt mich der lösung leider noch nicht näher :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo ghoernle,
> Gefragt wurde, ob es die Eigenschaften einer σ-Algebra
> erfüllen kann - demnach ist keine gegeben, es muss eine
> gefunden werden oder eben nicht :)
Okay, das macht dann bei dieser Fragestellung Sinn.
> Kommen wir zur Eigenschaft 3, ich schreibe einfach mal auf
> wie ich glaube zu wissen, dass das abläuft und du
> unterbrichst mich dort, wo es grottig wird :)
>
> [mm]\cal A[/mm] ist in vielen fällen gleich der potenzmenge von
> [mm]\Omega,[/mm] oft auch teilmenge der potenzmenge. Eine
> Potenzmenge kann elemente der menge beliebig oft aneinander
> reihen. also kann [mm]\cal A[/mm] beliebig viele mengen enthalten,
> hauptsache die elemente der menge kommen in [mm]\Omega[/mm] vor.
>
> Wahrscheinlich war das jetzt von vorne bis hinten falsch
> :-/
Zunächst sehe ich nicht, was das überhaupt mit der Eigenschaft 3 zu tun hat?
Es scheint, du hättest die Begriffe Element, Menge, Teilmenge, Mengensystem bzw. Potenzmenge noch nicht richtig verstanden.
Betrachten wir mal die in deinem Beispiel einzig sinnvolle Wahl für [mm] $\Omega$, [/mm] nämlich [mm] $\Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}$.
[/mm]
Dies ist eine Menge, die aus den 6 Elementen 1,2,3,4,5,6 besteht.
Mit diesen Elementen kann man Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] bilden, z.B. ist die Menge [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] in Zeichen [mm] $\{1,2,3\}\subset\Omega$. [/mm] Ein bisschen genauer definiert man: $A$ ist Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] (also [mm] $A\subset\Omega$), [/mm] wenn für jedes Element aus $A$ gilt, dass es auch in [mm] $\Omega$ [/mm] enthalten ist.
Mengen sind wieder wohlunterscheidbare Objekte, können also wieder als Elemente einer Menge aufgefasst werden. So ist zum Beispiel
[mm] $\{\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}$ [/mm] eine Menge mit zwei Elementen, nämlich dem Element [mm] "$\{1,2,3\}$" [/mm] und [mm] "$\{1,2,3,4\}$". [/mm] Eine solche Menge von Mengen nennt man Mengensystem.
Die Potenzmenge einer Menge [mm] $\Omega$ [/mm] ist die Menge aller Teilmengen von [mm] $\Omega$, [/mm] also ein spezielles Mengensystem.
In deinem Beispiel besitzt die Potenzmenge [mm] $2^6=64$ [/mm] Elemente, nämlich alle Teilmengen von [mm] $\Omega$:
[/mm]
[mm] $\mathcal{P}(\Omega)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{1,2\},\{1,3\},\ldots,\Omega\}$
[/mm]
Man könnte auch sagen, dass jedes (mit [mm] $\Omega$ [/mm] gebildete) Mengensystem eine Teilmenge der Potenzmenge ist ("oft" ist also von dir falsch verwendet).
Eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist nun ein spezielles Mengensystem, nämlich eines, das die hier genannten Bedingungen erfüllen muss.
Die dritte Bedingung fordert (unter anderem), dass mit je zwei Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] auch deren Vereinigung(smenge) in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] liegen muss. Ich mache dir das mal vor:
Zum Beispiel sind ja die Mengen [mm] $\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] und [mm] $\{6\}$ [/mm] in [mm] $\mathcal{A}$. [/mm] Ihre Vereinigung [mm] $\{1,2,3,4,5\}\cup\{6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] liegt ebenfalls in [mm] $\mathcal{A}$. [/mm] Für diese beiden Mengen gilt also die Bedingung 3. Diese muss aber für beliebige Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gelten. Mein Tipp war also, dass du zwei Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] finden sollst, deren Vereinigung nicht in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] liegt. Probiere das mal und melde dich! 
Viel Erfolg,
Marc
>
> gruß und danke für deine hilfe
> ghoernle
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