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Hallo,
folgende Aufgabe:
Integral sinx*x2
Mit meinem buch komme ich auf die Lösung, aber ich verstehe nicht, wie man die 2 in der Rechnung erst rausziehen kann, und dann später wieder reinrechne..das widerspricht doch allen Regeln????
Help is appreciated!!!
Krongurke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mo 07.06.2004 | | Autor: | thoomas |
> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> Integral sinx*x2
> Mit meinem buch komme ich auf die Lösung, aber ich
> verstehe nicht, wie man die 2 in der Rechnung erst
> rausziehen kann, und dann später wieder reinrechne..das
> widerspricht doch allen Regeln????
>
> Help is appreciated!!!
>
> Krongurke
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Hallo Krongurke,
verstehe nicht genau, was du nicht verstehst, aber wir versuchen es einfach mal. Schau dir die Regel für die partielle Integration an:
[mm] \integral [/mm] u'(x) v(x) dx = u(x)v(x) - [mm] \integral [/mm] u(x)v'(x) dx. Wenn du [mm] v(x)=x^2 [/mm] setzt, erhältst du im rechten Integral v'(x) = 2x. Auf dieses rechte Integral nochmals die partielle Integration anwenden und du hast keine Probleme mehr. Oder??
Viele Grüße
Thomas
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Hallo Thomas,
folgendes:
In meinem Buch stehen die Rechenschritte so drinn, das beim zweiten Teil der Partiellen Integration mit cosx*2x, die 2 aus dem Term VOR das Integral-Zeichen gesetzt wird.
Dann wird der Term cosx*x wieder partiell integriert, und am ende kommt dann die 2 die wir vorher rausgezogen haben wieder rein.
Nach der ersten p. Integration:
[mm] -cosx*x^2+2*Integral(cosx*x)dx
[/mm]
Nach der 2. p.Integration:
[mm] -cosx*x^2 [/mm] + 2sinx*x+2cosx +c
Wie kommt die 2 hier auf einmal vor BEIDE Terme???
Ich habe sie doch vorher rausgezogen, und den Integralinhalt nicht in Klammern gesetzt.
Wie kommt dann die 2 vorm sinx UND cosx zustande?
Danke!
Gruss
Krongurke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Krongurke
>
> In meinem Buch stehen die Rechenschritte so drinn, das beim
> zweiten Teil der Partiellen Integration mit cosx*2x, die 2
> aus dem Term VOR das Integral-Zeichen gesetzt wird.
>
Die Regel lautet also:
[mm] $\int u'(x)v(x)\, [/mm] dx = [mm] u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)\, [/mm] dx$
Offensichtlich hat deine Musterlösung
$u'(x) := [mm] \sin [/mm] x$ und
$v := [mm] x^2$ [/mm] eingesetzt.
Die Stammfunktion von [mm] $\sin [/mm] x$ ist [mm] $-\cos [/mm] x$, und die 1. Ableitung von [mm] $x^2$ [/mm] ist $2x$, womit sich für das Integral nach der 1. partiellen Integration ergibt:
[mm] $-\cos [/mm] x * [mm] x^2 -\int -\cos [/mm] x * 2x [mm] \, [/mm] dx$
Und hier darf man die $2$, als konstanten Faktor, vor das Integralzeichen ziehen, ebenfalls den faktor $-1$:
[mm] $-\cos [/mm] x * [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2*\int \cos [/mm] x * x [mm] \, [/mm] dx$
Das ist also der Ausdruck, wie du ihn weiter unten hast.
> Dann wird der Term cosx*x wieder partiell integriert, und
> am ende kommt dann die 2 die wir vorher rausgezogen haben
> wieder rein.
>
> Nach der ersten p. Integration:
>
> [mm] -cosx*x^2+2*Integral(cosx*x)dx
[/mm]
>
[mm] $-\cos [/mm] x * [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2*\int \cos [/mm] x * x [mm] \, [/mm] dx$
Hier darf man natürlich auch Klammern setzen:
[mm] $-\cos [/mm] x * [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2*(\int \cos [/mm] x * x [mm] \, [/mm] dx)$
Jetzt kann man getrost den Ausdruck in der Klammer mal einzeln auswerten, und später wieder einsetzten:
[mm] $\int \cos [/mm] x * x [mm] \, [/mm] dx$
Hier setzen wir:
[mm] $u'(x)=\cos [/mm] x$
$v(x)=x$
Die Stammfunktion von [mm] $\cos [/mm] x$ ist [mm] $\sin [/mm] x$, die 1. Ableitung von $x$ ist $1$, womit sich folgendes ergibt:
[mm] $\int \cos [/mm] x * x [mm] \, [/mm] dx = [mm] \sin [/mm] x * x - [mm] \int \sin [/mm] x [mm] \, [/mm] dx = [mm] \sin [/mm] x * x + [mm] \cos [/mm] x$
Und jetzt erinnern wir uns: das war nur das Innere der Klammer von folgendem Ausdruck:
[mm] $-\cos [/mm] x * [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2*(\int \cos [/mm] x * x [mm] \, [/mm] dx$)
Also munter eingesetzt:
[mm] $-\cos [/mm] x * [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2*(\sin [/mm] x * x + [mm] \cos [/mm] x)$
...und die $2$ noch in die Klammer hineinmultipliziert:
[mm] $-\cos [/mm] x * [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2*\sin [/mm] x * x + [mm] 2*\cos [/mm] x$
...und dann die Konstante nicht vergessen, weil wir ja ein unbestimmtes Integral, also einfach eine Stammfunktion, haben wollen:
[mm] $-\cos [/mm] x * [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2*\sin [/mm] x * x + [mm] 2*\cos [/mm] x + c$,
was mit der Lösung aus deinem Buch übereinstimmt! 
> Nach der 2. p.Integration:
>
> [mm] -cosx*x^2 [/mm] + 2sinx*x+2cosx +c
>
> Wie kommt die 2 hier auf einmal vor BEIDE Terme???
>
Ist jetzt klar, hoffe ich. 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Di 08.06.2004 | | Autor: | Krongurke |
DANKE!!! :)
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