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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Mi 14.12.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring.
(i) Es seien S [mm] \subseteq [/mm] R eine Teilmenge und I, J [mm] \lhd [/mm] R zwei Ideale. Zeige: dann sind auch <S>_R, I+J und I*J Ideale in R.
(ii) Sei I [mm] \lhd [/mm] R ein Ideal. Die Menge
[mm] \wurzel{I}=\{r \in R \ | \ \exists n \in N : r^n\in I\}
[/mm]
heißt Radikal von I. Zeigen Sie, dass das Radikal wieder ein Ideal ist. |
Hallo! Bitte um Korrektur, da ich mir teilweise nicht ganz sicher war...
(i) Zu <S>_R:
Es ist $ [mm] _R=\bigcap_{J \ Ideal \ von \ R} [/mm] J $ also der Durchschnitt alle Ideale aus R. (?) Dann ist auch 0 [mm] \in [/mm] <S>_R denn 0 liegt in jedem Ideal, also auch im Schnitt.
Weiter seien a,b [mm] \in [/mm] <S>_R dann sind a und b aus dem Schnitt der Ideale und es folgt direkt auch a-b [mm] \in [/mm] <S>_R.
Für a [mm] \in [/mm] <S>_R und r [mm] \in [/mm] R gilt: a*r [mm] \in [/mm] <S>_R (dann a ist im Schnitt aller J, für die gilt a*r [mm] \in [/mm] J)
Zu I+J:
Es ist $ 0 [mm] \in [/mm] I $ und $ 0 [mm] \in [/mm] J $, also $ 0+0 [mm] \in [/mm] I+J [mm] \gdw 0\in [/mm] I+J$
Seien a,b [mm] \in [/mm] I und c,d [mm] \in [/mm] J. Dann ist a+c [mm] \in [/mm] I+J und b+d [mm] \in [/mm] I+J und es gilt:
(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) [mm] \in [/mm] I+J (?)
Sei r*a [mm] \in [/mm] I und r*b [mm] \in [/mm] J, dann ist r*a+r*b=r(a+b) [mm] \in [/mm] I+J.
Zu I*J:
Mit 0 [mm] \in [/mm] J und 0 [mm] \in [/mm] I ist 0*0 [mm] \in [/mm] I*J [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \in [/mm] I*J.
Mit a,b [mm] \in [/mm] I und c,d [mm] \in [/mm] J ist (a-b)*(c-d)=ac-ad-bc+bd [mm] \in [/mm] I*J (hier hab ich grad selbst keine ahnung was ich gemacht hab, komm auch grad auf nichts anderes).
r*a [mm] \in [/mm] I und r*b [mm] \in [/mm] J [mm] \gdw [/mm] (r*a)*(r*b)=r(a*b) [mm] \in [/mm] I*J
(ii) Es ist I ein Ideal. Mit 0 [mm] \in [/mm] I folgt auch 0 [mm] \in \wurzel{I} [/mm] wegen [mm] 0^n=0.
[/mm]
a,b [mm] \in \wurzel{I} [/mm] => [mm] a^n \in [/mm] I, [mm] b^k \in [/mm] I => [mm] \exists [/mm] l [mm] \in \IN [/mm] : [mm] (a-b)^l \in \wurzel{I} \gdw [/mm] a-b [mm] \in \wurzel{I}
[/mm]
r*a [mm] \in [/mm] I => [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a^n\in [/mm] I => [mm] r*a^n\in [/mm] I => r*a [mm] \in \wurzel{I}
[/mm]
So, denke dass es da einiges zu verbessern gibt.. weiss es im moment nicht besser. ;)
Dankeschön schonmal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mi 14.12.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Sei R ein kommutativer Ring.
>
> (i) Es seien S [mm]\subseteq[/mm] R eine Teilmenge und I, J [mm]\lhd[/mm] R
> zwei Ideale. Zeige: dann sind auch [mm]s_R[/mm], I+J und I*J
> Ideale in R.
>
> (ii) Sei I [mm]\lhd[/mm] R ein Ideal. Die Menge
>
> [mm]\wurzel{I}=\{r \in R \ | \ \exists n \in N : r^n\in I\}[/mm]
>
> heißt Radikal von I. Zeigen Sie, dass das Radikal wieder
> ein Ideal ist.
> Hallo! Bitte um Korrektur, da ich mir teilweise nicht ganz
> sicher war...
>
> (i) Zu [mm] s_r:
[/mm]
> Es ist [mm]s_R=\bigcap_{J \ Ideal \ von \ R} J[/mm] also der
> Durchschnitt alle Ideale aus R. (?) Dann ist auch 0 [mm]\in[/mm]
> [mm] s_R [/mm] denn 0 liegt in jedem Ideal, also auch im Schnitt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Weiter seien a,b [mm]\in[/mm] [mm] s_R [/mm] dann sind a und b aus dem
und es gilt [mm]a-b\in I_k[/mm] für alle k
> Schnitt der Ideale und es folgt direkt auch a-b [mm]\in[/mm] [mm] s_R.
[/mm]
>
> Für a [mm]\in[/mm] [mm] s_R [/mm] und r [mm]\in[/mm] R gilt: a*r [mm]\in[/mm] [mm] s_R [/mm] (dann a
> ist im Schnitt aller J, für die gilt a*r [mm]\in[/mm] J)
ja genau
>
> Zu I+J:
>
> Es ist [mm]0 \in I[/mm] und [mm]0 \in J [/mm], also [mm]0+0 \in I+J \gdw 0\in I+J[/mm]
>
> Seien a,b [mm]\in[/mm] I und c,d [mm]\in[/mm] J. Dann ist a+c [mm]\in[/mm] I+J und b+d
> [mm]\in[/mm] I+J und es gilt:
> (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) [mm]\in[/mm] I+J (?)
doch stimmt, setze a+c=:e und b+d=:f damit passt die Definition von der Summe.
>
> Sei r*a [mm]\in[/mm] I und r*b [mm]\in[/mm] J, dann ist r*a+r*b=r(a+b) [mm]\in[/mm]
> I+J.
Genau!
>
> Zu I*J:
>
> Mit 0 [mm]\in[/mm] J und 0 [mm]\in[/mm] I ist 0*0 [mm]\in[/mm] I*J [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\in[/mm] I*J.
ja per Definition
>
> Mit a,b [mm]\in[/mm] I und c,d [mm]\in[/mm] J ist (a-b)*(c-d)=ac-ad-bc+bd [mm]\in[/mm]
> I*J (hier hab ich grad selbst keine ahnung was ich gemacht
> hab, komm auch grad auf nichts anderes).
>
> r*a [mm]\in[/mm] I und r*b [mm]\in[/mm] J [mm]\gdw[/mm] (r*a)*(r*b)=r(a*b) [mm]\in[/mm] I*J
[mm]=r^2(a*b)[/mm]
>
> (ii) Es ist I ein Ideal. Mit 0 [mm]\in[/mm] I folgt auch 0 [mm]\in \wurzel{I}[/mm]
> wegen [mm]0^n=0.[/mm]
Stimmt
>
> a,b [mm]\in \wurzel{I}[/mm] => [mm]a^n \in[/mm] I, [mm]b^k \in[/mm] I => [mm]\exists[/mm] l [mm]\in \IN[/mm]
> : [mm](a-b)^l \in \wurzel{I} \gdw[/mm] a-b [mm]\in \wurzel{I}[/mm]
Genau
[mm](a-b)^{n+k}=\sum_{i=1}^{n+k}\binom{n+k}{i}(-1)^a^{n+m-i}b^i[/mm]
Für [mm]i\geq n[/mm] ist [mm]a^n\in I[/mm]
Für [mm]i\leq n[/mm] ....
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> r*a [mm]\in[/mm] I => [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]a^n\in[/mm] I => [mm]r*a^n\in[/mm] I =>
> r*a [mm]\in \wurzel{I}[/mm]
Hier musst du auch die Potenz [mm]r^n[/mm] mitschleppen
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> So, denke dass es da einiges zu verbessern gibt.. weiss es
> im moment nicht besser. ;)
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> Dankeschön schonmal!
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Da ich weg muss habe ich es nur als Mitteilung
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