www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Ideal in Z_{p}[x]
Ideal in Z_{p}[x] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ideal in Z_{p}[x]: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Sa 30.11.2013
Autor: derriemann

Aufgabe
Sei p eine Primzahl und

[mm] \mathcal{I} [/mm] = [mm] \{f(x) \in \IZ_{p}[x] | f(a) = 0, \forall a \in \IZ_{p} \}. [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{I} [/mm] ein Ideal in [mm] \IZ_{p}[x] [/mm] ist und finden Sie ein Element, das [mm] \mathcal{I} [/mm] erzeugt.

Hallo :-)
Habe diese Aufgabe bearbeitet, bin mir aber unsicher, ob sich da nicht doch ein Fehler eingeschlichen hat..

[mm] \mathcal{I} [/mm] ein Ideal?

I1) [mm] \mathcal{I} \not= \emptyset [/mm] :

z.B. f:= [mm] x^{p-1}-1 \in \mathcal{I} \Rightarrow \mathcal{I} \not= \emptyset [/mm]
(da gilt [mm] a^{p-1} \equiv [/mm] 1 mod p)

I2) x,y [mm] \in \mathcal{I} \Rightarrow [/mm] x-y [mm] \in \mathcal{I}: [/mm]
Wenn x oder y Nullpolynom, dann klar
Ansonsten x und y in der Form:
x:= [mm] x^{n}(x^{p-1}-1), y:=x^{m}(x^{p-1}-1), [/mm] m,n [mm] \in \IZ_{p} [/mm]

x-y = [mm] \underbrace{(x^{n}-x^{m})}_{:=x^{k}}(x^{p-1}-1) [/mm]
Also x-y [mm] \in \mathcal{I} [/mm]

I3) x [mm] \in \mathcal{I}, [/mm] r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] r*x [mm] \in \mathcal{I}: [/mm]

Sei x Polynom mit x(a)=0, [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IZ_{p}: [/mm] r*x(a)=r*0=0 [mm] \in \mathcal{I} [/mm]

Also [mm] \mathcal{I} [/mm] Ideal

Das Element, das [mm] \mathcal{I} [/mm] erzeugt ist: [mm] (x^{p-1}-1) [/mm]

Wäre das so i.O.?

Würde mich über Kritik freuen :-)

LG



        
Bezug
Ideal in Z_{p}[x]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Sa 30.11.2013
Autor: Schadowmaster

Hey,

der Beweis sieht größtenteils gut aus.
Nur bei der Abgeschlossenheit bezüglich Addition geht ein wenig was schief:

> Ansonsten x und y in der Form:
> x:= $ [mm] x^{n}(x^{p-1}-1), y:=x^{m}(x^{p-1}-1), [/mm] $ m,n $ [mm] \in \IZ_{p} [/mm] $

Zuerst meinst du wohl $m,n [mm] \in \IN_0$, [/mm] oder?
Sonst müsstest du mir erklären, was [mm] $x^m$ [/mm] für $x [mm] \in \IZ_p$ [/mm] sein soll.
Dann hat nicht jedes $x [mm] \in [/mm] I$ diese Form, als Beispiel etwa [mm] $(x-1)(x^{p-1}-1) \in [/mm] I$.
Dann ist es sehr ungünstig, dein Element aus $I$ mit $x$ zu bezeichnen, denn $x$ ist bereits vergeben für die Unbekannte.
Außerdem benutzt du hier schon, dass alle Elemente von $I$ Vielfache von $f := [mm] x^{p-1}-1$ [/mm] sind, das hast du aber noch nicht gezeigt.
Wenn du das schon weißt dann zeig es doch auch:
Alle Elemente von $I$ sind Vielfache von $f$ und jedes Vielfache von $f$ liegt in $I$.
Damit ist $I = [mm] \langle [/mm] f [mm] \rangle$ [/mm] und das ist insbesondere ein Ideal; dann kannst du dir den Rest sparen. ;)


lg

Schadow

Bezug
                
Bezug
Ideal in Z_{p}[x]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 So 01.12.2013
Autor: derriemann

Hey, danke für die Antwort :-)

Stimmt, das könnte man ausbessern^^

I1) $ [mm] \mathcal{I} \not= \emptyset [/mm] $ :

z.B. f:= $ [mm] x^{p-1}-1 \in \mathcal{I} \Rightarrow \mathcal{I} \not= \emptyset [/mm] $
(da gilt $ [mm] a^{p-1} \equiv [/mm] $ 1 mod p)

I2) f,g [mm] \in \mathcal{I} \Rightarrow [/mm] f-g [mm] \in \mathcal{I}: [/mm]

Alle Elemente von [mm] \mathcal{I} [/mm] haben die Form [mm] x^{n}(x^{p-1}-1), [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] denn es gilt
[mm] x^{p-1} \equiv [/mm] 1 mod p [mm] \gdw x^{p-1}-1|p, [/mm] sowie
[mm] x^{n}*x^{p-1} \equiv x^{n} [/mm] mod p [mm] \gdw x^{n}(x^{p-1}-1)|p, [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm]
oder sie sind das Nullpolynom.

Also wenn f oder g das Nullpolynom, dann x-y [mm] \in \mathcal{I}. [/mm]
Ansonsten f:= [mm] x^{n}(x^{p-1}-1), g:=x^{m}(x^{p-1}-1), [/mm] m,n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] f-g=\underbrace{(x^{n}-x^{m})}_{:=x^{k}}(x^{p-1}-1), [/mm] also [mm] \in \mathcal{I} [/mm]

I3) f [mm] \in \mathcal{I}, [/mm] r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] rf [mm] \in \mathcal{I}: [/mm]

Sei f Polynom mit f(a)=0, $ [mm] \forall [/mm] $ a $ [mm] \in \IZ_{p}: [/mm] $ r*f(a)=r*0=0 $ [mm] \in \mathcal{I} [/mm] $

Also $ [mm] \mathcal{I} [/mm] $ Ideal

Wie in I2) erläutert, wird das Ideal von [mm] f=x^{p-1}-1 [/mm] erzeugt, also [mm] \mathcal{I} [/mm] = <f>

LG,
derriemann :-)

Bezug
                        
Bezug
Ideal in Z_{p}[x]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Di 03.12.2013
Autor: felixf

Moin!

> I1) [mm]\mathcal{I} \not= \emptyset[/mm] :
>
> z.B. f:= [mm]x^{p-1}-1 \in \mathcal{I} \Rightarrow \mathcal{I} \not= \emptyset[/mm]
> (da gilt [mm]a^{p-1} \equiv[/mm] 1 mod p)

Aber dieses $f$ liegt da doch gar nicht drinnen! Um [mm] $\mathcal{I} \neq \emptyset$ [/mm] zu zeigen nimm doch einfach 0.

Oder nimm $f := [mm] x^p [/mm] - x$ -- das ist auch der gesuchte Erzeuger.

> I2) f,g [mm]\in \mathcal{I} \Rightarrow[/mm] f-g [mm]\in \mathcal{I}:[/mm]
>  
> Alle Elemente von [mm]\mathcal{I}[/mm] haben die Form
> [mm]x^{n}(x^{p-1}-1),[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] denn es gilt

Das stimmt nicht. Aber du machst es eh viel zu kompliziert.

Gilt $f(a) = 0$ und $g(a) = 0$ fuer jedes $a [mm] \in \IZ_p$, [/mm] so auch $(f - g)(a) = 0$ fuer jedes $a [mm] \in \IZ_p$. [/mm] Also $f, g [mm] \in \mathcal{I} \Rightarrow [/mm] f - g [mm] \in \mathcal{I}$. [/mm]

>  [mm]x^{p-1} \equiv[/mm] 1 mod p [mm]\gdw x^{p-1}-1|p,[/mm] sowie

Du meinst $p [mm] \mid (x^{p-1} [/mm] - 1)$. Und nicht umgekehrt.

Wie Schadow schrieb musst du hier aufpassen: du verwendest $x$ hier wieder fuer etwas anderes. Jetzt meinst du eine ganze Zahl damit, und nicht mehr eine Variable oder ein Polynom ueber [mm] $\IZ_p$. [/mm]

>  [mm]x^{n}*x^{p-1} \equiv x^{n}[/mm] mod p [mm]\gdw x^{n}(x^{p-1}-1)|p,[/mm]
> mit n [mm]\in \IN[/mm]
>  oder sie sind das Nullpolynom.

Auch hier wieder: so stimmt das nicht.

>  
> Also wenn f oder g das Nullpolynom, dann x-y [mm]\in \mathcal{I}.[/mm]
>  
> Ansonsten f:= [mm]x^{n}(x^{p-1}-1), g:=x^{m}(x^{p-1}-1),[/mm] m,n
> [mm]\in \IN[/mm]
>  
> [mm]f-g=\underbrace{(x^{n}-x^{m})}_{:=x^{k}}(x^{p-1}-1),[/mm] also
> [mm]\in \mathcal{I}[/mm]

Mach das doch nicht so kompliziert.

Um zu zeigen, dass [mm] $\mathcal{I}$ [/mm] von [mm] $x^p [/mm] - x$ erzeugt wird, mach eine Polynomdivision von $g [mm] \in \mathcal{I}$ [/mm] mit [mm] $x^p [/mm] - x$. Der Rest hat Grad $< p$ und liegt ebenfalls in [mm] $\mathcal{I}$. [/mm] Argumentiere, dass der Rest gleich 0 sein muss.

> I3) f [mm]\in \mathcal{I},[/mm] r [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] rf [mm]\in \mathcal{I}:[/mm]
>  
> Sei f Polynom mit f(a)=0, [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IZ_{p}:[/mm]
> r*f(a)=r*0=0 [mm]\in \mathcal{I}[/mm]
>  
> Also [mm]\mathcal{I}[/mm] Ideal

Der Teil ist [ok]

LG Felix



>
> Wie in I2) erläutert, wird das Ideal von [mm]f=x^{p-1}-1[/mm]
> erzeugt, also [mm]\mathcal{I}[/mm] = <f>
>  
> LG,
>  derriemann :-)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]