Ideal u. Ringisomorphismus < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | i) seien a und b Ideale eines Ringes R mit a [mm] \subseteq [/mm] b. Zeigen sie, dass b/a ein Ideal des Ringes R/s ist und [mm] \mu:(R/a)/(ab) [/mm] --> R/b, [mm] \mu [/mm] ((x+a)+(a+b)):=x+b ein Ringisomorphismus ist
ii) Zeigen sie, dass für lle p,q [mm] \in \IZ [/mm] der Ring [mm] (\IZ/ p\IZ) [/mm] / [mm] (pq\IZ/p\IZ) [/mm] isomorph zu [mm] \IZ/pq\IZ [/mm] ist. |
Hallo,
ich habe bei den oberen Teilaufgaben schwierigkeiten.
Das Thema ist ganz neu und ich habe leider keine wirklichen ansätze, habe aber definitionen herausgesucht:
D heißt Ideal, wenn gilt:
- D ist nicht leer
- a,b [mm] \in [/mm] D --> a-b [mm] \in [/mm] D
- aus a [mm] \in [/mm] D und r [mm] \in [/mm] R --> ra, ar [mm] \in [/mm] D
[mm] \mu [/mm] ist ein Isomorphismus (A, B Ringe), wenn gilt:
- [mm] \mu [/mm] ist bijektiv
- [mm] \mu [/mm] ist ein homomorphismus
- [mm] \mu (a+b)=\mu (a)+\mu [/mm] (b)
- [mm] \mu (a*b)=\mu (a)*\mu [/mm] (b)
- [mm] \mu [/mm] (1)=1
- [mm] \mu^{-1} [/mm] ist ein homomorphismus
???
Meine Fragen:
-ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass b/a (heißt das b ohne a???) ein Ideal ist
- was beudeutet [mm] \mu:(R/a)/(ab) [/mm] --> R/b, [mm] \mu [/mm] ((x+a)+(a+b)):=x+b ?Ich hab leider keine ahnung, was das bedeutet. Verstehe den ganzen ausdruck leider nicht..
ii)
hier bin ich mir nicht ganz sicher; aber [mm] (\IZ [/mm] / p [mm] \IZ) [/mm] bedeutet doch dass es eine Abb f: x-->px gibt oder ??
Ich bin mir aber nicht sicher, was der gesamte ausdruck [mm] (\IZ [/mm] / p [mm] \IZ) [/mm] / (pq [mm] \IZ /p\IZ) [/mm] zu bedeuten hat... habe es bislang auch nicht herausgefunden.. kann mir jemand helfen??
Kann mir jemand helfen?? Ich würde mich sehr über tipps und antworten freuen.
Vielen Dank schonmal
Liebe Grüße
pythagora
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mi 28.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin pythagora!
> i) seien a und b Ideale eines Ringes R mit a [mm]\subseteq[/mm] b.
> Zeigen sie, dass b/a ein Ideal des Ringes R/s ist und
> [mm]\mu:(R/a)/(ab)[/mm] --> R/b, [mm]\mu[/mm] ((x+a)+(a+b)):=x+b ein
Da stimmt was gewaltig nicht. Du meinst eher [mm] $\mu [/mm] : (R / a) / (b / a) [mm] \to [/mm] R / b$, [mm] $\mu((x [/mm] + a) + b / a) := x + b$.
> Ringisomorphismus ist
> ii) Zeigen sie, dass für lle p,q [mm]\in \IZ[/mm] der Ring [mm](\IZ/ p\IZ)[/mm]
> / [mm](pq\IZ/p\IZ)[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/pq\IZ[/mm] ist.
Die 2. Teilaufgabe ist falsch, es sei denn es ist $p = 1$ oder $q = 1$.
Es muss heissen: Zeigen sie, dass fuer alle $p, q [mm] \in \IZ$ [/mm] der Ring [mm] $(\IZ [/mm] / p q [mm] \IZ) [/mm] / (p [mm] \IZ [/mm] / p q [mm] \IZ)$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IZ/ [/mm] p [mm] \IZ$ [/mm] ist.
Hast du beim Abtippen nicht aufgepasst, oder ist die Aufgabenstellung selber so kaputt?
> ich habe bei den oberen Teilaufgaben schwierigkeiten.
> Das Thema ist ganz neu und ich habe leider keine
> wirklichen ansätze, habe aber definitionen herausgesucht:
> D heißt Ideal, wenn gilt:
> - D ist nicht leer
> - a,b [mm]\in[/mm] D --> a-b [mm]\in[/mm] D
> - aus a [mm]\in[/mm] D und r [mm]\in[/mm] R --> ra, ar [mm]\in[/mm] D
Genau. Mit so einem Ideal bekommst du eine Aequivalenzrelation auf dem Ring $R$, indem du zwei Elemente identifizierst, deren Differenz im Ideal liegt. Damit kannst du $R/D$ definieren als die Menge der Aequivalenzklassen (Restklassen), und (da $D$ ein Ideal ist) zeigen, dass $R/D$ wieder ein Ring und die Abbildung $R [mm] \to [/mm] R/D$ ein surjektiver Ringhomomorphismus.
> [mm]\mu[/mm] ist ein Isomorphismus (A, B Ringe), wenn gilt:
> - [mm]\mu[/mm] ist bijektiv
> - [mm]\mu[/mm] ist ein homomorphismus
> - [mm]\mu (a+b)=\mu (a)+\mu[/mm] (b)
> - [mm]\mu (a*b)=\mu (a)*\mu[/mm] (b)
> - [mm]\mu[/mm] (1)=1
> - [mm]\mu^{-1}[/mm] ist ein homomorphismus
Dass [mm] $\mu^{-1}$ [/mm] ein Homomorphismus ist, folgt daraus, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Homomorphismus ist und dass [mm] $\mu$ [/mm] bijektiv ist.
> ???
> Meine Fragen:
> -ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass b/a (heißt
> das b ohne a???) ein Ideal ist
Also $b/a$ heisst nicht $b [mm] \setminus [/mm] a$, also die Mengendifferenz von $b$ und $a$. Es heisst $b$ [b]modulo[/a] $a$ und geht genauso wie bei $R/a$: du bekommst eine Aequivalenzrelation auf $b$, indem du $x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Leftrightarrow [/mm] x - y [mm] \in [/mm] a$ schreibst.
> - was beudeutet [mm]\mu:(R/a)/(ab)[/mm] --> R/b, [mm]\mu[/mm]
> ((x+a)+(a+b)):=x+b ?Ich hab leider keine ahnung, was das
> bedeutet. Verstehe den ganzen ausdruck leider nicht..
Nun, eine Aequivalenzklasse in $R/a$ kannst du schreiben als $x + a$ mit $x [mm] \in [/mm] R$. Wenn du eine zweite Aequivalenzklasse $y + a$ hast mit $y [mm] \in [/mm] R$, dann ist $x + a = y + a$ genau dann, wenn $x - y [mm] \in [/mm] a$ ist. Weiterhin gilt $(x + a) + (y + a) = (x + y) + a$, und $(x + a) (y + a) = (x y) + a$.
Die Elemente aus $(R / a) / (b / a)$ sind jetzt von der Form $(x + a) + b / a$, wobei $x \ in R$ ist: $x + a$ ist ein Element aus $R / a$.
Dieses Element $(x + a) + b / a$ sollst du jetzt auf $x + b$ abbilden durch [mm] $\mu$. [/mm] Dazu musst du erstmal zeigen, dass dies wohldefiniert ist. Wenn du also $y [mm] \in [/mm] R$ hast mit $(y + a) + b/a = (x + a) + b/a$, dann musst du zeigen, dass $x + b = y + b$ ist.
Umgeschrieben: aus $(x + a) - (y + a) [mm] \in [/mm] b / a$ musst du folgern, dass $x - y [mm] \in [/mm] b$ ist.
Oder nochmal umgeschrieben: aus $(x - y) + a [mm] \in [/mm] b / a$ musst du folgern, dass $x - y [mm] \in [/mm] b$ ist.
Wenn du $z := x - y [mm] \in [/mm] R$ setzt, musst du also fuer die Wohldefiniertheit zeigen: aus $z + a [mm] \in [/mm] b / a$ folgt $z [mm] \in [/mm] b$.
Dazu musst du dir ueberlegen, was $z + a [mm] \in [/mm] b / a$ eigentlich bedeutet.
Als naechstes musst du zeigen, dass [mm] $\mu$ [/mm] injektiv und surjektiv ist. Surjektivitaet ist sehr einfach. Bei der Injektivitaet machst du was aehnliches wie bei der Wohldefiniertheit: du nimmst ein $x + b$ mit $x + b = 0 + b$, also $x [mm] \in [/mm] b$, und zeigst, dass $(x + a) + b / a = (0 + a) + b / a$ ist, also $x + a [mm] \in [/mm] b / a$.
Dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Homomorphismus ist schliesslich auch recht einfach.
> ii)
> hier bin ich mir nicht ganz sicher; aber [mm](\IZ[/mm] / p [mm]\IZ)[/mm]
> bedeutet doch dass es eine Abb f: x-->px gibt oder ??
Was meinst du damit?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Moin pythagora!
>
> > i) seien a und b Ideale eines Ringes R mit a [mm]\subseteq[/mm] b.
> > Zeigen sie, dass b/a ein Ideal des Ringes R/s ist und
> > [mm]\mu:(R/a)/(ab)[/mm] --> R/b, [mm]\mu[/mm] ((x+a)+(a+b)):=x+b ein
>
> Da stimmt was gewaltig nicht. Du meinst eher [mm]\mu : (R / a) / (b / a) \to R / b[/mm],
> [mm]\mu((x + a) + b / a) := x + b[/mm].
ja, ich habe mich bedingt tertippt, sorry; so steht es aber100%ig da
[mm] \mu [/mm] : (R/a)/(a/b) --> R/b, [mm] \mu [/mm] ((x+a)+(a/b)):=x+b
ich komme damit aber trotzdem noch nicht klar.. :(
> > Ringisomorphismus ist
> > ii) Zeigen sie, dass für lle p,q [mm]\in \IZ[/mm] der Ring
> [mm](\IZ/ p\IZ)[/mm]
> > / [mm](pq\IZ/p\IZ)[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/pq\IZ[/mm] ist.
>
> Die 2. Teilaufgabe ist falsch, es sei denn es ist [mm]p = 1[/mm]
> oder [mm]q = 1[/mm].
>
> Es muss heissen: Zeigen sie, dass fuer alle [mm]p, q \in \IZ[/mm]
> der Ring [mm](\IZ / p q \IZ) / (p \IZ / p q \IZ)[/mm] isomorph zu
> [mm]\IZ/ p \IZ[/mm] ist.
>
> Hast du beim Abtippen nicht aufgepasst, oder ist die
> Aufgabenstellung selber so kaputt?
bei ii hab ich nicht gepennt, das steht so da, wie ich es getippt habe...
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 28.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo pythagora!
> > > i) seien a und b Ideale eines Ringes R mit a [mm]\subseteq[/mm] b.
> > > Zeigen sie, dass b/a ein Ideal des Ringes R/s ist und
> > > [mm]\mu:(R/a)/(ab)[/mm] --> R/b, [mm]\mu[/mm] ((x+a)+(a+b)):=x+b ein
> >
> > Da stimmt was gewaltig nicht. Du meinst eher [mm]\mu : (R / a) / (b / a) \to R / b[/mm],
> > [mm]\mu((x + a) + b / a) := x + b[/mm].
>
> ja, ich habe mich bedingt
> tertippt, sorry; so steht es aber100%ig da
> [mm]\mu[/mm] : (R/a)/(a/b) --> R/b, [mm]\mu[/mm] ((x+a)+(a/b)):=x+b
In dem Fall ist die Aufgabenstellung falsch. Es ist $b/a$ ein Ideal von $R/a$, aber $a/b$ ist ueberhaupt nicht wohldefiniert (es sei denn $a = b$) und insbesondere kein Ideal von $a/b$.
> ich komme damit aber trotzdem noch nicht klar.. :(
Ich hab dir eine korrekte Version der Aufgabenstellung hingeschrieben und angefangen zu beschreiben, wie du das zeigen kannst und was du tun musst. Hast du damit mal angefangen? Wie weit bist du gekommen? Woran genau scheiterst du?
> > > Ringisomorphismus ist
> > > ii) Zeigen sie, dass für lle p,q [mm]\in \IZ[/mm] der Ring
> > [mm](\IZ/ p\IZ)[/mm]
> > > / [mm](pq\IZ/p\IZ)[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/pq\IZ[/mm] ist.
> >
> > Die 2. Teilaufgabe ist falsch, es sei denn es ist [mm]p = 1[/mm]
> > oder [mm]q = 1[/mm].
> >
> > Es muss heissen: Zeigen sie, dass fuer alle [mm]p, q \in \IZ[/mm]
> > der Ring [mm](\IZ / p q \IZ) / (p \IZ / p q \IZ)[/mm] isomorph zu
> > [mm]\IZ/ p \IZ[/mm] ist.
> >
> > Hast du beim Abtippen nicht aufgepasst, oder ist die
> > Aufgabenstellung selber so kaputt?
>
> bei ii hab ich nicht gepennt, das steht so da, wie ich es
> getippt habe...
Dann ist die Aufgabenstellung falsch. [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] hat $p$ Elemente, [mm] $\IZ/pq\IZ$ [/mm] hat $p q$ Elemente, und wenn $|q| > 1$ und $p [mm] \neq [/mm] 0$ ist kann es also keine surjektive Abbildung [mm] $\IZ/p\IZ \to \IZ/pq\IZ$ [/mm] geben. Und insbesondere keine mit Kern [mm] $pq\IZ/p\IZ$ [/mm] -- was eh keinen Sinn macht, da [mm] $p\IZ$ [/mm] keine Teilmenge von [mm] $\pq\IZ$ [/mm] ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
Dan haben die SCHON WIEDER bei den aufgaben gepfuscht... ich werde mich daher ertsmal um den teil:
"Zeigen sie, dass b/a ein Ideal des Ringes R/a ist " kümmern und dann mit den anderen aufgabenteilen weitermachen.. ich denke nämlich, dass die aufgaben noch geändert werden...
Also meine Gedanken bisher:
b/a (also b modulo a--> ich habe zwar schon viel dsazu gelesen, aber mr ist immer noch nicht klar, was mit diese Restklassen jetzt sagen/bringen...beispiele (z.b. diese hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassen) sind an sich schon irgendwie nachvollziehbar für mich aber wie komme ich SELBER darauf, dass 0 modulo 2 die geraden zahlen sind und 1 mod 2 die ungeraden?? ist es die differenz???)
ich glaube, dass ich das erstmal verstehen muss, bevor ich versuche die Idealdefinitionen zu beweisen für b/a.. Kannst du mir helfen??
> Hast du damit mal
> angefangen? Wie weit bist du gekommen? Woran genau
> scheiterst du?
ich bin mir beim anfang nicht sicher du hast geschrieben:
du bekommst eine Aequivalenzrelation auf b, indem du x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Leftrightarrow [/mm] x - y [mm] \in [/mm] a schreibst
wieso bekomme ich dadurch eine Äq.rel auf b?? (Aq.relationen waren doch relextiv, symmetrisch und transitib, aber wie kommst du auf diese "formel"???
Danke.
Pythagora
|
|
|
| |
|
Guten Mrgen ihr Lieben,
wenn ich 0 modulo 2 habe heißt, dass das es alle zahlen sind, die durch 2 geteilt einen rest von 0 haben??? Kann man das so sehen??
und dementsprechend auch für b/a alle durch a gteilt haben einen rest von b ???
Ich bin mir da aber nicht sicher, aber ich muss ja zeigen, dass b/a ein Ideal von R/a ist, aber wie kann ich b/a anders schreiben, sodass ich damit rechnen kann???
Kann mir jemand helfen??
Vielen Dank
pythagora
|
|
|
| |
|
> Guten Mrgen ihr Lieben,
> wenn ich 0 modulo 2 habe heißt, dass das es alle zahlen
> sind, die durch 2 geteilt einen rest von 0 haben??? Kann
> man das so sehen??
Hallo,
ja, es ist [mm] [0]_2=\{...,-4, -2, 0, 2, 4, ...\},
[/mm]
und es ist [mm] \IZ/2\IZ=\{[0]_2, [1]_2\}.
[/mm]
Wenn Du den Rest durchgearbeitet hast, wäre es vielleicht nützlich festzustellen, wie Du dies mithilfe der Definitionen erhältst.
> und dementsprechend auch für b/a alle durch a gteilt haben
> einen rest von b ???
Du mußt Dich an die Definitionen halten.
Du bist doch jetzt in einem ganz allgemeinen Ring R mit den Idealen a und b mit [mm] [b]a[/b]\subset [/mm] b .
(Was bedeutet es, daß a und b Ideale sind?)
In gewisser Art und Weise ist der Faktorring R/a definiert.
(Wie ist diese Menge definiert, und welches sind die Verknüpfungen, mit denen sie zu einem Ring wird?
Du mußt dies nicht uns sagen, solltest es für dich selbst aber mal herausfinden.)
Es ist nun die Menge b/a eine Teilmenge von R/a.
Jetzt solltest Du, mal aufschreiben, wie die Menge b/a definiert ist. was ist da also drin?
Und wenn Du all das weißt, könntest Du schonmal notieren, was Du vorrechnen mußt zum Nachweis, daß b/a ein Ideal ist.
Gruß v. Angela
Hinweis: ich habe die Ideal fett geschreiben. Es ist wichtig, daß Du die Bezeichnungen so wählst, daß Du einen Überblick darüber behältst, was Elemente von R sind und was Teilmengen. Sonst wird man wirr.
>
> Ich bin mir da aber nicht sicher, aber ich muss ja zeigen,
> dass b/a ein Ideal von R/a ist, aber wie kann ich b/a
> anders schreiben, sodass ich damit rechnen kann???
>
> Kann mir jemand helfen??
>
> Vielen Dank
> pythagora
|
|
|
| |
|
> Also meine Gedanken bisher:
> b/a (also b modulo a--> ich habe zwar schon viel dsazu
> gelesen, aber mr ist immer noch nicht klar, was mit diese
> Restklassen jetzt sagen/bringen...
Hallo,
mit "was sagt mir das, was bringt mir das?" kann ich immer so wenig anfangen, weil ich die Frage überhaupt nicht verstehe...
b/a ist zunächst einmal eine Definition, die zu lernen und zu schlucken ist, bevor man sie verdauen kann.
> wie
> komme ich SELBER darauf, dass 0 modulo 2 die geraden zahlen
> sind und 1 mod 2 die ungeraden?? ist es die differenz???)
Du kommst darauf, indem Du die Definitionen Deines Skriptes ganz genau an diesesm Beispiel nachvollziehst.
Nimm den Ring [mm] R:=\IZ, [/mm] die Teilmenge [mm] [b]a[/b]:=2\IZ.
[/mm]
Überzeuge Dich davon, daß [mm] 2\IZ [/mm] ein Ideal in [mm] \IZ [/mm] ist.
Notiere, wie [mm] \IZ/2\IZ [/mm] definiert ist.
Schau Dir die Elemente von dieser Menge genau an.
Man kommt also nicht irgendwie darauf, sondern man erarbeitet es sich Stück für Stück.
> ich bin mir beim anfang nicht sicher du hast geschrieben:
> du bekommst eine Aequivalenzrelation auf b, indem du x
> [mm]\sim[/mm] y [mm]\Leftrightarrow[/mm] x - y [mm]\in[/mm] a schreibst
> wieso bekomme ich dadurch eine Äq.rel auf b??
Vielleicht hat sich Felix ja getäuscht...(?)
Ob die von ihm oben definierte Relation [mm] \sim [/mm] wirklich eine Äquivalenzrelation ist, prüft man nicht durch Draufgucken, sondern durch Nachrechnen der drei Eigenschaften,
> (Aq.relationen waren doch relextiv, symmetrisch und
> transitib,
welche Du selber nennst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank auch für deine Antwort(en).
Ich habe die Defs für Ideal und und Ring (heraus)gefunden7-gesucht.
> Nimm den Ring [mm]R:=\IZ,[/mm] die Teilmenge [mm][b]a[/b]:=2\IZ.[/mm]
>
> Überzeuge Dich davon, daß [mm]2\IZ[/mm] ein Ideal in [mm]\IZ[/mm] ist.
>
> Notiere, wie [mm]\IZ/2\IZ[/mm] definiert ist.
>
> Schau Dir die Elemente von dieser Menge genau an.
>
> Man kommt also nicht irgendwie darauf, sondern man
> erarbeitet es sich Stück für Stück.
ok, um zu zeigen, dass [mm] 2\IZ [/mm] ein ideal ist:
- [mm] 2\IZ [/mm] ist nicht leer
- a,b \ in [mm] 2\IZ [/mm] --> a-b [mm] \in 2\IZ [/mm] (z.b. 6-4=2; 2 idt in [mm] 2\IZ)
[/mm]
- a [mm] \in 2\IZ [/mm] & b in [mm] \IZ [/mm] --> ar,ra [mm] \in 2\IZ [/mm] (z.b. 6*3,3*6 (=18) [mm] \in 2\IZ)
[/mm]
das ist beweismäßig für mich völlig nachvollziehbar... aber ich habe bisher leider noch nicht herausgefunden, was R/a ist. Ist habe im Skript stehen, dass es der Restklassenring ist, aber was genau die definitionen sind, weiß ich leider nicht; ist es a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a-b [mm] \in [/mm] a
???
Die def von ideal habe ich ja und es fehlt mir nur die def für b/a bzw. R/a...
kann mir da jemand helfen??
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
Hallo
> ok, um zu zeigen, dass [mm]2\IZ[/mm] ein ideal ist:
> - [mm]2\IZ[/mm] ist nicht leer
> - a,b \ in [mm]2\IZ[/mm] --> a-b [mm]\in 2\IZ[/mm] (z.b. 6-4=2; 2 idt in
> [mm]2\IZ)[/mm]
> - a [mm]\in 2\IZ[/mm] & b in [mm]\IZ[/mm] --> ar,ra [mm]\in 2\IZ[/mm] (z.b. 6*3,3*6
> (=18) [mm]\in 2\IZ)[/mm]
>
Ok, das geht so nicht.. du kannst nicht einfach ein Beispiel als Beweis angeben.. die Idee des Beweises ist es ja, dass man selbst mit 10000000 verifizierten Fällen noch nicht zufrieden ist, und darum man das ganze allgemein zeigen möchte.
Das musst du also nochmals machen.. am besten schreibst du a = 2n, b = 2m, m,n [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] und rechnest damit nach, dass es tatsächlich ein Ideal ist.
> das ist beweismäßig für mich völlig nachvollziehbar...
> aber ich habe bisher leider noch nicht herausgefunden, was
> R/a ist. Ist habe im Skript stehen, dass es der
> Restklassenring ist, aber was genau die definitionen sind,
> weiß ich leider nicht; ist es a [mm]\sim[/mm] b [mm]\gdw[/mm] a-b [mm]\in[/mm] a
> ???
>
> Die def von ideal habe ich ja und es fehlt mir nur die def
> für b/a bzw. R/a...
>
Wenn [mm] \mathfrak{a} \subset [/mm] R ein Ideal ist, dann ist die Menge [mm] R/\mathfrak{a} [/mm] definiert durch [mm] R/\mathfrak{a} [/mm] = [mm] \{r + \mathfrak{a} | r \in R\}
[/mm]
> kann mir da jemand helfen??
>
> Liebe Grüße
> pythagora
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
Hi,
> Ok, das geht so nicht.. du kannst nicht einfach ein
> Beispiel als Beweis angeben.. die Idee des Beweises ist es
> ja, dass man selbst mit 10000000 verifizierten Fällen noch
> nicht zufrieden ist, und darum man das ganze allgemein
> zeigen möchte.
war schon klar, ging bei den beispielen auch nur um eine für mich anschaulich gemachtes verständnis... Sorry für die verwirrung; hier nochmal allgemein:
a-b [mm] \in [/mm] I ??
(2n)-(2m) =2(n-m) (durch die 2 vor n-m wird ja alles gerade...
a [mm] \in [/mm] I und r in R
r*2n=(über assoziaivität)=2*(r*n) somit ist ra auch in I
dementsprechend auch für ar
so richtig??
> > Die def von ideal habe ich ja und es fehlt mir nur die def
> > für b/a bzw. R/a...
> >
>
> Wenn [mm]\mathfrak{a} \subset[/mm] R ein Ideal ist, dann ist die
> Menge [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] definiert durch [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] = [mm]\{r + \mathfrak{a} | r \in R\}[/mm]
gilt das auch für b/a?? also b/a= [mm] \{b + \mathfrak{a} | b \in \mathfrak{b}}
[/mm]
??
Liebe Grüße und vielen Dank
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> > Ok, das geht so nicht.. du kannst nicht einfach ein
> > Beispiel als Beweis angeben.. die Idee des Beweises ist es
> > ja, dass man selbst mit 10000000 verifizierten Fällen noch
> > nicht zufrieden ist, und darum man das ganze allgemein
> > zeigen möchte.
> war schon klar, ging bei den beispielen auch nur um eine
> für mich anschaulich gemachtes verständnis... Sorry für
> die verwirrung; hier nochmal allgemein:
> a-b [mm]\in[/mm] I ??
> (2n)-(2m) =2(n-m) (durch die 2 vor n-m wird ja alles
> gerade...
>
> a [mm]\in[/mm] I und r in R
> r*2n=(über assoziaivität)=2*(r*n) somit ist ra auch in
> I
> dementsprechend auch für ar
>
> so richtig??
Hallo,
ja.
>
>
> > > Die def von ideal habe ich ja und es fehlt mir nur die def
> > > für b/a bzw. R/a...
> > >
> >
> > Wenn [mm]\mathfrak{a} \subset[/mm] R ein Ideal ist, dann ist die
> > Menge [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] definiert durch [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] = [mm]\{r + \mathfrak{a} | r \in R\}[/mm]
>
> gilt das auch für b/a?? also b/a= [mm]\{b + \mathfrak{a} | b \in \mathfrak{b}}[/mm]
Du mußt sorgfältig mit Deinen Bezeichnungen sein.
So, wie es jetzt dasteht, ist es Kappes...
Du meinst es aber richtig.
Warum hast Du denn Zweifel? Was gefällt Dir an [mm] \mathfrak{b} [/mm] nicht?
Gruß v. Angela
>
> ??
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
> pythagora
|
|
|
| |
|
Hallo,
erstmal zu den Mitteilungen: du hast natürlich recht, aber ich war irgendwie am verzweifeln, weil ich nichts gefunden habe und mir diese eine def noch fehlt (oder ich hatte hunger und war daher nervös); (das eine sollte auch nur eine Mitteilung sein-hab mich da wohl verklickt) auf jeden fall SORRY kommt auch nicht wieder vor, versprochen^^
> > > > Die def von ideal habe ich ja und es fehlt mir nur die def
> > > > für b/a bzw. R/a...
> > > >
> > >
> > > Wenn [mm]\mathfrak{a} \subset[/mm] R ein Ideal ist, dann ist die
> > > Menge [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] definiert durch [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] = [mm]\{r + \mathfrak{a} | r \in R\}[/mm]
>
> >
> > gilt das auch für b/a?? also b/a= [mm]\{b + \mathfrak{a} | b \in \mathfrak{b}}[/mm]
>
> Du mußt sorgfältig mit Deinen Bezeichnungen sein.
> So, wie es jetzt dasteht, ist es Kappes...
> Du meinst es aber richtig.
>
> Warum hast Du denn Zweifel? Was gefällt Dir an
> [mm]\mathfrak{b}[/mm] nicht?
nicht direkt an [mm] \mathfrak{b} [/mm] aber so bei den defs bin ich mir halt unsicher, weil wir das nicht wirklich (gut) hatten ; der prof war krank und ich habe versucht, selber nachzuschlagen um die defs zu finden...
also ist die DEF für
[mm] R/\mathfrak{a}={ x+\mathfrak{a} | x \in R }
[/mm]
und für
[mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a}={ b+\mathfrak{a} | b \in \mathfrak{b} }
[/mm]
oder??
und jetzt muss ich damit zeigen, dass [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] ein Ideal ist, oder??das wäre dann:
- [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] nicht leer
hier haperts am formalen beweis...
wenn [mm] \mathfrak{a} [/mm] und [mm] \mathfrak{b} [/mm] an aich schon nicht leer sind (was ich hier aber leider nur annehme), dann ist es [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] doch auch nicht, oder?? Aber ich glaube, das geht so nicht.
- a,b [mm] \in \mathfrak{a} [/mm] --> a-b [mm] \in \mathfrak{a}
[/mm]
hier habe ich ja zwei einträge a und b aber [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] ist ja EIN ideal, wo nehme ich jetzt das zweite her bzw. wie komme ich auf die einträge??? nehme ich einfach ein c aus [mm] \mathfrak{b} [/mm] ??
denn [mm] \mathfrak{b} [/mm] und [mm] \mathfrak{a} [/mm] müssen ja irgendwie enthalten sein,... ich finde da irgendwie keinen ansatz :(
- a [mm] \in \mathfrak{a} [/mm] und x [mm] \in [/mm] R --> xa,ax [mm] \in \mathfrak{a}
[/mm]
also b in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] und x [mm] \in [/mm] R :
[mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a}*x
[/mm]
={ [mm] b+\mathfrak{a} [/mm] | b [mm] \in \mathfrak{b} [/mm] }*x
mein gefühl sagt NEIN! aber ich finde hier leider auch keinen ansatz...
Kann mir jemand helfen??
Ich würde mich sehr freuen.
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Do 29.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo pythagora!
> > Warum hast Du denn Zweifel? Was gefällt Dir an
> > [mm]\mathfrak{b}[/mm] nicht?
>
> nicht direkt an [mm]\mathfrak{b}[/mm] aber so bei den defs bin ich
> mir halt unsicher, weil wir das nicht wirklich (gut) hatten
> ; der prof war krank und ich habe versucht, selber
> nachzuschlagen um die defs zu finden...
>
> also ist die DEF für
> [mm]R/\mathfrak{a}=\{ x+\mathfrak{a} | x \in R \}[/mm]
> und für
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}=\{ b+\mathfrak{a} | b \in \mathfrak{b} \}[/mm]
Genau.
> oder??
> und jetzt muss ich damit zeigen, dass
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] ein Ideal ist, oder??
Ja.
> das wäre dann:
> - [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] nicht leer
> hier haperts am formalen beweis...
> wenn [mm]\mathfrak{a}[/mm] und [mm]\mathfrak{b}[/mm] an aich schon nicht
> leer sind (was ich hier aber leider nur annehme), dann ist
> es [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] doch auch nicht, oder?? Aber
> ich glaube, das geht so nicht.
Na, es ist [mm] $\mathfrak{b} [/mm] / [mm] \mathfrak{a} [/mm] = [mm] \{ b + \mathfrak{a} | b \in \mathfrak{b} \}$. [/mm] Da ganz offensichtlich $0 [mm] \in \mathfrak{b}$ [/mm] ist, ist also $0 + [mm] \mathfrak{a} \in \mathfrak{b} [/mm] / [mm] \mathfrak{a}$. [/mm] Damit ist [mm] $\mathfrak{b} [/mm] / [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] nicht leer.
> - a,b [mm]\in \mathfrak{a}[/mm] --> a-b [mm]\in \mathfrak{a}[/mm]
> hier habe
> ich ja zwei einträge a und b aber
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] ist ja EIN ideal, wo nehme ich
> jetzt das zweite her bzw. wie komme ich auf die
> einträge??? nehme ich einfach ein c aus [mm]\mathfrak{b}[/mm] ??
> denn [mm]\mathfrak{b}[/mm] und [mm]\mathfrak{a}[/mm] müssen ja irgendwie
> enthalten sein,... ich finde da irgendwie keinen ansatz :(
Du hast: $a + [mm] \mathfrak{a}, [/mm] b + [mm] \mathfrak{a} \in \mathfrak{b} [/mm] / [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] (mit $a, b [mm] \in \mathfrak{b}$).
[/mm]
Du musst nun zeigen, dass $(a + [mm] \mathfrak{a}) [/mm] - (b + [mm] \mathfrak{a})$ [/mm] in $ [mm] \mathfrak{b} [/mm] / [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] liegt. Dazu schreibe die Summe als $c + [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] (was ist $c$?) und zeige, dass $c [mm] \in \mathfrak{b}$ [/mm] ist.
> - a [mm]\in \mathfrak{a}[/mm] und x [mm]\in[/mm] R --> xa,ax [mm]\in \mathfrak{a}[/mm]
>
> also b in [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] und x [mm]\in[/mm] R :
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}*x[/mm]
Was tust du hier?
Du sollst dir ein Element aus [mm] $\mathfrak{b}/\mathfrak{a}$ [/mm] nehmen und dieses dann mit $x$ multiplizieren! Und: $x$ ist ein Element aus $R / [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] und nicht aus $R$!
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
wow, ich glaube es hat geklappt, bin mir bei b nicht ganz sicher, wäre lieb,wenn noch mal jemand schauen würde:
b)
für alle a,b [mm] \in \mathfrak{b} [/mm] gilt:
[mm] (a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \underbrace{(a-b)}_{=c}+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow c+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
es gilt a,b [mm] \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} \Rightarrow [/mm] a-b [mm] \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
oki so?? bin mir be der sache mit dem c nicht ganz sicher..
c) hierzu habe ich mal eine frage:
so müsste es ja sein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ichhabe den teil, dass ax auch in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] ist weil es die anderen drei Komponenten auch sind aus meinem skript, (ist so eine notiz am rand - von mir) aber warum ist das so??
zum zweiten teil von i)
ich habe ja die definitionen
[mm] R/\mathfrak{a}:={ x+\mathfrak{a} |x \in R }
[/mm]
[mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a}:={ b+\mathfrak{a} |b \in \mathfrak{b} }
[/mm]
ich muss ja jetzt zeigen, dass [mm] \mu [/mm] : [mm] (R/\mathfrak{a})/(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}) [/mm] --> [mm] R/\mathfrak{b} [/mm] ein ringisomorphismus ist
heißt das, dass:
[mm] \mu((x+\mathfrak{a})+(b+\mathfrak{a})
[/mm]
oder
[mm] \mu((x+\mathfrak{a})+(b/\mathfrak{a})
[/mm]
nummer 2 steht ja so in der aufgabe, aber kann ich es auch so wie das erste schreiben??
und noch ein letztes:
für isomorphismus muss ich ja bijektivität (da hab ich momentan nochkeine idee wie) und homomorphismus (3 kriterien) zeigen:
- [mm] \mu(g+h)= \mu(g)+\mu(h)
[/mm]
- [mm] \mu(g*h)= \mu(g)*\mu(h)
[/mm]
- [mm] \mu(1)=1
[/mm]
wäre jetz z.b. g = [mm] ((x+\mathfrak{a})+(b+\mathfrak{a})
[/mm]
und h = [mm] ((y+\mathfrak{a})+(c+\mathfrak{a})
[/mm]
mit x,y aus R und b,c aus [mm] \mathfrak{b}
[/mm]
??
Vielen dank für eure hilfe.
Viele liebe Grüße und gute nacht.
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> wow, ich glaube es hat geklappt, bin mir bei b nicht ganz
> sicher, wäre lieb,wenn noch mal jemand schauen würde:
Hallo,
mach Dir doch bitte die Mühe, geneua aufzuschreiben, was Du zeigen willst, also die Behauptung,
markiere, wo Dein Beweis beginnt.
das dauert geringfügig länger, schafft aber Klarheit im Hirn und auf dem Papier/Bildschirm.
> b)
> für alle a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm] gilt:
> [mm](a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
Dies möchtest Du zeigen.
Nachdem Du dies für Dich und den geneigten Leser festgestellt hast, kann Dein Beweis beginnen:
Beweis: es seien a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm].
Es ist
[mm] (a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) [/mm]
[mm] =\underbrace{(a-b)}_{=c}+\mathfrak{a} [/mm] (Warum?)
Nun bräuchtest Du einen Grund dafür, daß [mm] c+\mathfrak{a} [/mm] in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] liegt.
Überleg Dir dazu, was Du über c=a-b weißt.
> c) hierzu habe ich mal eine frage:
> so müsste es ja sein:
Zu zeigen: ...
Beweis: es
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Wieviel Minuten hast Du gespart dadurch, daß Du dies als Bild einstellst?
Den Antwortenden kostet es Zeit. ich kann's hier im Eingabefenster nicht sehen, nix kopieren...
Nervig.
Deine Multiplikation ist in meinen Augen abenteuerlich - auch wenn Du das richtige Ergebnis erzeugst.
Ihr hattet in der VL die Verknüpfungen im Faktorring definiert - und die sind hier zu verwenden.
Nicht wie ein Derwisch in der Gegend umhermultiplizieren!
> ichhabe den teil, dass ax auch in
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] ist weil es die anderen drei
> Komponenten auch sind aus meinem skript, (ist so eine notiz
> am rand - von mir) aber warum ist das so??
Daß ax [mm] \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] möchte ich doch bezweifeln.
Wenn [mm] a\in \mathfrak{b} [/mm] und [mm] x\in [/mm] R, dann ist ax auf jeden Fall in R, und aus Gründen, die Du Dir selbst überlegen kannst, in [mm] \mathfrak{b}.
[/mm]
>
> zum zweiten teil von i)
> ich habe ja die definitionen
> [mm]R/\mathfrak{a}:={ x+\mathfrak{a} |x \in R }[/mm]
>
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}:={ b+\mathfrak{a} |b \in \mathfrak{b} }[/mm]
>
> ich muss ja jetzt zeigen, dass [mm]\mu[/mm] :
> [mm](R/\mathfrak{a})/(\mathfrak{b}/\mathfrak{a})[/mm] -->
> [mm]R/\mathfrak{b}[/mm] ein ringisomorphismus ist
> heißt das, dass:
> [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+(b+\mathfrak{a})[/mm]
> oder
> [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+(b/\mathfrak{a})[/mm]
Weder - noch.
Richtig wäre:
[mm] \mu((x+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a})):=...
[/mm]
>
> nummer 2 steht ja so in der aufgabe, aber kann ich es auch
> so wie das erste schreiben??
Nein.
>
> und noch ein letztes:
> für isomorphismus muss ich ja
Wohldefiniertheit (ist immer ein Thema, wenn eine Abbildung auf äquivalenzklassen definiert wird)
> bijektivität (da hab ich
> momentan nochkeine idee wie) und homomorphismus (3
> kriterien) zeigen:
> - [mm]\mu(g+h)= \mu(g)+\mu(h)[/mm]
> - [mm]\mu(g*h)= \mu(g)*\mu(h)[/mm]
> -
> [mm]\mu(1)=1[/mm]
>
> wäre jetz z.b. g = [mm]((x+\mathfrak{a})+(b+\mathfrak{a})[/mm]
> und h =
> [mm]((y+\mathfrak{a})+(c+\mathfrak{a})[/mm]
> mit x,y aus R und b,c aus [mm]\mathfrak{b}[/mm]
> ??
Nein
[mm] g=(x+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a},
[/mm]
[mm] h=(y+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a},
[/mm]
mit x,y [mm] \in [/mm] R.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Moin,
>
> > b)
> > für alle a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm] gilt:
> > [mm](a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
>
> Dies möchtest Du zeigen.
>
> Nachdem Du dies für Dich und den geneigten Leser
> festgestellt hast, kann Dein Beweis beginnen:
>
> Beweis: es seien a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm].
>
> Es ist
>
> [mm](a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a})[/mm]
>
> [mm]=\underbrace{(a-b)}_{=c}+\mathfrak{a}[/mm] (Warum?)
genau das ist der punkt
> Nun bräuchtest Du einen Grund dafür, daß [mm]c+\mathfrak{a}[/mm]
> in [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] liegt.
>
> Überleg Dir dazu, was Du über c=a-b weißt.
Meine Begründung wäre, dass wenn a in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] und b in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] liegt, dann liegt auch c=a-b in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a}...denn [/mm] ich arbeite ja innerhalb von [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] und von daher wüsste ich nicht, warum a-b nicht auch in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] liegen sollte
> > c) hierzu habe ich mal eine frage:
> > so müsste es ja sein:
>
> Zu zeigen: ...
>
> Beweis: es
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wieviel Minuten hast Du gespart dadurch, daß Du dies als
> Bild einstellst?
ich wollte euch das so zeigen, wie wir das in der Vl gemacht haben mit den Klammern und Pfeilen...
>
> Deine Multiplikation ist in meinen Augen abenteuerlich -
> auch wenn Du das richtige Ergebnis erzeugst.
aber wir (der prof) hat das so gemacht, guck (das hat er angeschrieben):
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Ihr hattet in der VL die Verknüpfungen im Faktorring
> definiert - und die sind hier zu verwenden.
> Nicht wie ein Derwisch in der Gegend umhermultiplizieren!
so wäre die def.:
[mm] (a+\mathfrak{a})*(b+\mathfrak{a})=a*b+\mathfrak{a}
[/mm]
für meinen fall:
[mm] (a+\mathfrak{a})*(x+\mathfrak{a})=a*x+\mathfrak{a}
[/mm]
also im prinzip, das was ich geschrieben habe ohne den Mittelteil...
ich dachte das wäre normales ausmultiplizieren???in welcher hinsicht ist es denn wirr??vllt kann ich da noch was umstellen, wenns nicht so überschaubar ist...
> > ichhabe den teil, dass ax auch in
> > [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] ist weil es die anderen drei
> > Komponenten auch sind aus meinem skript, (ist so eine notiz
> > am rand - von mir) aber warum ist das so??
>
> Daß ax [mm]\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] möchte ich doch
> bezweifeln.
hat der prof so gesagt (der pfeil im bild von rr' zu I)..
> Wenn [mm]a\in \mathfrak{b}[/mm] und [mm]x\in[/mm] R, dann ist ax auf jeden
> Fall in R, und aus Gründen, die Du Dir selbst überlegen
> kannst, in [mm]\mathfrak{b}.[/mm]
eben das ist der punkt, ich dachte, dass der grund der wäre, dass die anderen komponenten auch in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] sind wäre der Grund, also so wie es der prof gemacht hat.. ein anderer grund fällt mir auch nicht ein...ist das eine definition??
> > zum zweiten teil von i)
> > ich habe ja die definitionen
> > [mm]R/\mathfrak{a}:={ x+\mathfrak{a} |x \in R }[/mm]
> >
> > [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}:={ b+\mathfrak{a} |b \in \mathfrak{b} }[/mm]
>
> >
> > ich muss ja jetzt zeigen, dass [mm]\mu[/mm] :
> > [mm](R/\mathfrak{a})/(\mathfrak{b}/\mathfrak{a})[/mm] -->
> > [mm]R/\mathfrak{b}[/mm] ein ringisomorphismus ist
> > heißt das, dass:
> > [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+(b+\mathfrak{a})[/mm]
> > oder
> > [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+(b/\mathfrak{a})[/mm]
>
> Weder - noch.
>
> Richtig wäre:
>
> [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a})):=...[/mm]
>
> >
> > nummer 2 steht ja so in der aufgabe, aber kann ich es auch
> > so wie das erste schreiben??
>
> Nein.
>
>
> >
> > und noch ein letztes:
> > für isomorphismus muss ich ja
> Wohldefiniertheit
hätte ich so gemacht:
zu zeigen ist, dass
[mm] y+\mathfrak{b}=x+\mathfrak{b}
[/mm]
es gilt:
[mm] (x+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a}=(y+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] \gdw (x+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a}-((y+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a})=0
[/mm]
[mm] \gdw (x+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a}-y-\mathfrak{a}- \mathfrak{b}/\mathfrak{a})=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x-y=0
[mm] \gdw [/mm] x=y
passt?? ich weiß nicht, ob ich das so weg kürzen kann oder ob ich das "geordneter" von ausßen nach innen kürzen muss.. also erst auf beiden seiten [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] "wegmachen"...
Liebe Grüße und vielen Dank für die Mühe
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Moin,
>
> >
> > > b)
Zu zeigen
> > > für alle a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm] gilt:
> > > [mm](a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
> > Beweis: es seien a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm].
> >
> > Es ist
> >
> > [mm](a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a})[/mm]
> >
> > [mm]=\underbrace{(a-b)}_{=c}+\mathfrak{a}[/mm] (Warum?)
> genau das ist der punkt
> > Nun bräuchtest Du einen Grund dafür, daß [mm]c+\mathfrak{a}[/mm]
> > in [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] liegt.
> >
> > Überleg Dir dazu, was Du über c=a-b weißt.
> Meine Begründung wäre, dass wenn a in
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] und b in
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] liegt,
Hallo,
a und b sind nicht in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a}.
[/mm]
> dann liegt auch c=a-b in
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}...denn[/mm] ich arbeite ja innerhalb
> von [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] und von daher wüsste ich
> nicht, warum a-b nicht auch in [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
> liegen sollte
Auch in diesem Fall solltest Du einen Grund angeben können dafür, daß das so ist.
Daß Dir kein Gegenargument einfällt, ist ja nicht so schlagkräftig...
>
> > > c)
> > Deine Multiplikation ist in meinen Augen abenteuerlich -
> > auch wenn Du das richtige Ergebnis erzeugst.
> aber wir (der prof) hat das so gemacht, guck (das hat er
> angeschrieben):
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Nun, so ist das nicht sehr aussagekräftig, denn Du vertuschst, was r,r', i, i' sein sollen, und was überhaupt gezeigt werden sollte.
Mir sieht es so aus, als wären es Elemente aus R. (Wenn i,i' im Ideal I von R sind, sind sie natürlich auch Elemente von R).
Du multiplizierst hier also im Ring R, in welchem das Distributivgesetz gilt.
[mm] (a+\mathfrak{a})(x+\mathfrak{a}) [/mm] ist komplett anders gelagert: Dein a wäre ein Element von [mm] \mathfrak{b}, [/mm] also ein Element von R, [mm] \mathfrak{a} [/mm] hingegen ist eine Teilmenge von R - also völlig anders als in der VL.
> so wäre die def.:
> [mm](a+\mathfrak{a})*(b+\mathfrak{a})=a*b+\mathfrak{a}[/mm]
> für meinen fall:
> [mm](a+\mathfrak{a})*(x+\mathfrak{a})=a*x+\mathfrak{a}[/mm]
Ja.
> ich dachte das wäre normales ausmultiplizieren???in
> welcher hinsicht ist es denn wirr??
s.o.
> >
> > Daß ax [mm]\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] möchte ich doch
> > bezweifeln.
> hat der prof so gesagt (der pfeil im bild von rr' zu I)..
Ich werd' mich damit nicht weiter beschäftigen, da die Randdaten Deiner Mitschrift fehlen.
Möglicherweise wollte er visualisieren, daß (r+i)(r'+i') [mm] \in [/mm] rr'+I.
> > Wenn [mm]a\in \mathfrak{b}[/mm] und [mm]x\in[/mm] R, dann ist ax auf
> jeden
> > Fall in R, und aus Gründen, die Du Dir selbst überlegen
> > kannst, in [mm]\mathfrak{b}.[/mm]
> ein anderer grund fällt mir auch
> nicht ein...ist das eine definition??
[mm] \mathfrak{b} [/mm] ist ein Ideal.
> > > zum zweiten teil von i)
> > > ich habe ja die definitionen
> > > [mm]R/\mathfrak{a}:={ x+\mathfrak{a} |x \in R }[/mm]
> > >
> > > [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}:={ b+\mathfrak{a} |b \in \mathfrak{b} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > ich muss ja jetzt zeigen, dass [mm]\mu[/mm] : [mm](R/\mathfrak{a})/(\mathfrak{b}/\mathfrak{a})[/mm] --> [mm]R/\mathfrak{b}[/mm]
> > [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a})):=x+\mathfrk{b}[/mm]
> > Wohldefiniertheit
> hätte ich so gemacht:
> zu zeigen ist, dass
> [mm]y+\mathfrak{b}=x+\mathfrak{b}[/mm]
sofern [mm] (x+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a})=(y+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}).
[/mm]
> es gilt:
> [mm](x+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a}=(y+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
>
> [mm]\gdw (x+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a}-((y+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a})=0[/mm]
Was meinst Du mit der Null auf der rechten Seite?
(Das Thema hatten wir schonmal in epischer Breite, wenn mich mein Erinnerungsvermögen nicht sehr täuscht.)
Beantworte die Frage nach der 0 rechts nicht schnell. Die Sache ist etwas vertrackt, man bekommt es aber gut raus, wenn man sich klarmacht, daß auch rechts ein Element von [mm] (R/\mathfrak{a})/(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}) [/mm] stehen muß.
Es ist also die Null in [mm] (R/\mathfrak{a})/(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}), [/mm] die dort steht.
Was das ist, kannst Du u.a. herausbekommen, indem Du einfach mal für ein [mm] r\in [/mm] R berechnest
[mm] [(r+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a}] [/mm] - [mm] [(r+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a}] [/mm] = ...
Nicht irgendwas hinschreiben, was Deiner speziellen Logik nach stimmen könnte, sondern jeden Schritt durch die einschlägigen Definitionen absichern.
>
> [mm]\gdw (x+\mathfrak{a})+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a}-y-\mathfrak{a}- \mathfrak{b}/\mathfrak{a})=0[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x-y=0
> [mm]\gdw[/mm] x=y
> passt??
Nein. Es ist furchtbar.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
> Auch in diesem Fall solltest Du einen Grund angeben können
> dafür, daß das so ist.
> Daß Dir kein Gegenargument einfällt, ist ja nicht so
> schlagkräftig...
ok, hier ein neuer versuch:
a',b' [mm] \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} \to [/mm] a'-b' [mm] \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
Für alle a,b [mm] \in \mathfrak{b} [/mm] gilt:
a'-b' [mm] \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \underbrace{(a+\mathfrak{a})}_{=a'}-\underbrace{(b+\mathfrak{a})}_{=b'} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \underbrace{(a-b)}_{=c \in \mathfrak{b}}+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow c+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
weil a, b in [mm] \mathfrak{b} [/mm] sind, ist auch a-b in [mm] \mathfrak{b}, [/mm] somit also auch c un daher gilt (per definition von [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a}) c+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
???so???
zum anderen:
es ist a' [mm] \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] und x [mm] \in [/mm] R, es gilt:
((((( [mm] a'=(a+\mathfrak{a}) [/mm] und [mm] (x+\mathfrak{a}) \in R/\mathfrak{a} [/mm] )))))
[mm] (a+\mathfrak{a})*(x+\mathfrak{a})=a*x+\mathfrak{a}
[/mm]
somit wäre ax in b und a'x [mm] (=a*x+\mathfrak{a}) [/mm] in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
über die null werde ich nachdenken, danke für den hinweis.
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
Hallo,
achte bitte auf genügend Ausführlichkeit.
Kennzeichne die zu beweisende Aussage,
den Beginn des Beweises, und wenn Du Buchstaben verwendest, dann sag, was sie bedeuten sollen.
Das schafft Klarheit im Kopf und bei dem Leser.
> ok, hier ein neuer versuch:
Zu zeigen:
> a',b' [mm]\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} \to[/mm] a'-b' [mm]\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
>
Beweis:
Seien
a',b' [mm][mm] \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] .
Dann gibt es a,b [mm] \in \mathfrak{b} [/mm] mit
[mm] a'=a+\mathfrak{a} [/mm] und [mm] b'=b+\mathfrak{a}.
[/mm]
Es ist a'-b'=
> [mm] [mm] \underbrace{(a+\mathfrak{a})}_{=a'}-\underbrace{(b+\mathfrak{a})}_{=b'} [/mm]
=
> [mm] [mm] \underbrace{(a-b)}_{=c \in \mathfrak{b}}+\mathfrak{a}.
[/mm]
Um nun zu folgern, daß das in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] ist,
brauchst Du einen triftigen Grund dafür, daß c in [mm] \mathfrak{b} [/mm] ist.
Bislang ist das lediglich eine Behauptung.
Achso! Du hast das als Puzzle konzipiert. Unten steht's ja. Ich hol's hoch:
> weil a, b in [mm]\mathfrak{b}[/mm] sind, ist auch c:=a-b in [mm] \mathfrak{b},
[/mm]
denn ...
Also folgt
> [mm] c+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm].
Also ist [mm] a'-b'\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}.
[/mm]
> zum anderen:
Zu zeigen: ...
Beweis
> es ist sei a' [mm]\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] und [mm] x\red{'}[/mm] [mm]\in[/mm] [mm] R/\red{\mathfrak{a}}.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] a\in [/mm] ... und ein [mm] x\in [/mm] ...
mit
> ((((( [mm]a'=(a+\mathfrak{a})[/mm] und [mm] x\red{'=}(x+\mathfrak{a}) [/mm] )))))
Es ist a'x'=
> [mm](a+\mathfrak{a})*(x+\mathfrak{a})=a*x+\mathfrak{a}[/mm]
nach Def. der Multiplikation in [mm] R/\mathfrak{a}
[/mm]
> somit wäre Es ist ax in b [mm] \mathfrak{b},
[/mm]
denn...
> und [mm] a'x\red{'}[/mm] [mm](=a*x+\mathfrak{a})[/mm] in
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
> weil a, b in [mm] \mathfrak{b} [/mm] sind, ist auch c:=a-b in [mm] \mathfrak{b}, [/mm]
kan ich schreiben: weil [mm] \mathfrak{b} [/mm] abelsch ist und a, b in [mm] \mathfrak{b} [/mm] liegen ist auch deren verknüpfung in [mm] \mathfrak{b}
[/mm]
????
zum weiteren:
ich soll ja zeigen, dass [mm] \mu [/mm] ein ringisomorphismus ist, das bedeutet doch
bijektivität (inj. + surj.)+ homomorphismus [mm] (\mu [/mm] (a+b)=> [mm] \mu [/mm] (a) + [mm] \mu [/mm] (b); [mm] \mu [/mm] (a*b)=> [mm] \mu [/mm] (a) * [mm] \mu [/mm] (b); [mm] \mu [/mm] (1)=1)...
ich bin mir nicht sicher, aber wohldefiniertheit ... muss ich das auch zeigen oder nicht???
P.S. (ich weiß nicht, ob das hier her gehört, aber irgendwie ist die zitatfunktion komisch... woran liegt das??? hier mal ein auszug:
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Also ist [mm]a'-b'\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}.[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]> zum anderen:[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Zu zeigen: ...[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Beweis[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] > es [s]ist[/s] sei a' [mm]\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] und [mm]x\red{'}[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]R/\red{\mathfrak{a}}.[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Dann gibt es ein [mm]a\in[/mm] ... und ein [mm]x\in[/mm] ...[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]mit[/mm][/mm][/mm]
Viele liebe Grüße und vielen Dank
pythagora
|
|
|
| |
|
> > weil a, b in [mm]\mathfrak{b}[/mm] sind, ist auch c:=a-b in
> [mm]\mathfrak{b},[/mm]
> kan ich schreiben:
Hallo,
schreiben kannst Du da schon, aber es ist nicht richtig...
> weil [mm]\mathfrak{b}[/mm] abelsch ist und a, b
> in [mm]\mathfrak{b}[/mm] liegen ist auch deren verknüpfung in
> [mm]\mathfrak{b}[/mm]
> ????
Das ist doch Megablödsinn.
Was hat das Tun denn mit abelsch zu tun? Nix weiter...
Ich hatte doch schon gesagt, daß das gilt, weil [mm] \mathfrak{b} [/mm] ein Ideal ist.
>
> zum weiteren:
> ich soll ja zeigen, dass [mm]\mu[/mm] ein ringisomorphismus ist,
> das bedeutet doch
> bijektivität (inj. + surj.)+ homomorphismus [mm](\mu[/mm] (a+b)=>
> [mm]\mu[/mm] (a) + [mm]\mu[/mm] (b); [mm]\mu[/mm] (a*b)=> [mm]\mu[/mm] (a) * [mm]\mu[/mm] (b); [mm]\mu[/mm]
> (1)=1)...
> ich bin mir nicht sicher, aber wohldefiniertheit ... muss
> ich das auch zeigen oder nicht???
Ich fasse es nicht...
Wir hatten doch längst festgestellt, daß das zu zeigen ist - Du hattest es doch sogar versucht!
Warum das Zitieren nicht klappt, weiß ich auch nicht, ich denke, daß es mit den roten Markierungen oder den Streichungen zu tun hat.
Entferne einfach im Zität die überflüssigen [ mm ] und [ / mm ], dann paßt's.
Gruß v. Angela
>
>
> P.S. (ich weiß nicht, ob das hier her gehört, aber
> irgendwie ist die zitatfunktion komisch... woran liegt
> das??? hier mal ein auszug:
> >[mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm]
> > [mm][mm][mm]Also ist [mm]a'-b'\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}.[/mm][/mm][/mm][/mm]
> >[mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm]
> >[mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm]
> > [mm][mm][mm]> zum anderen:[/mm][/mm][/mm]
> >[mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm]
> > [mm][mm][mm]Zu zeigen: ...[/mm][/mm][/mm]
> >[mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm]
> > [mm][mm][mm]Beweis[/mm][/mm][/mm]
> > [mm][mm][mm]> es [s]ist[/s] sei a' [mm]\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] und [mm]x\red{'}[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]R/\red{\mathfrak{a}}.[/mm][/mm][/mm][/mm]
>
> >[mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm]
> > [mm][mm][mm]Dann gibt es ein [mm]a\in[/mm] ... und ein [mm]x\in[/mm] ...[/mm][/mm][/mm]
> >[mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm]
> > [mm][mm][mm]mit[/mm][/mm][/mm]
>
>
> Viele liebe Grüße und vielen Dank
> pythagora
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich fasse es nicht...
> Wir hatten doch längst festgestellt, daß das zu zeigen
> ist - Du hattest es doch sogar versucht!
jo, bei der aufgabe ist's schon klar, dass wir das festgestellt hatten, dass ich das noch zeigen muss... aber wie ist das allgemein?? denn weder bei homomorphismus noch bei bijektivität habe ich da im skript einen hinweis zu gefunden... Wohldefiniertheit, bedeutetet doch, dass es immer GENAU EIN objekt mir idrgendwiner eigenschaft gibt, also in diesem fall gibt es genau ein objhekt, dass vom definitionsbereich in die zielmenge geht... das ist murks formuliert, aber ich stelle mir 2 kringel vor und darin jeweils ein objekt und das eine wird auf das andere abjebildet... immer noch nicht rständlich glaube ich... so bijektionsmäßig..!?!?
Ich bin mir nicht sicher, ob das verständlich ist!?!?!
Wann muss ich jetzt also wohldef. zeigen??(so allgemein)
mein versuch für die wohldefiniertheit:
ich muss doch eigentlich zeigen, dass wenn 2 elemente aus dem definitionsbereich auf das selbe element in der zielmenge abgebildet werden, dass die elemente im def.bereich gleich sind oder??
(Wäre das nicht Injektivität??)
Ich glaube ich bin gerde verwirrt, aber ich kriege das (inhaltlich) nicht auseinander...
KAnn mir jemand helfen??
NACHTRAG:
verflixt, immer wenn ich was abgeschickt habe, kommt mir wieder eine idee, daher hefte ich das mal an)
wohldef beudeutet doch unabhängig von der wahl des repräsentanten, ne?
also geht ich z.b. von
[mm] \mu [/mm] (x+a)+(b/a) = x+b aus und
tausche das [mm] \mu [/mm] dann durch die hintereinanderausführung von [mm] f^{-1} \mu [/mm] und f aus..
a,b Ideale und x,y in R
[Dateianhang nicht öffentlich]
die abbildung zwischen den beiden kringeln ist beides mal ein [mm] \mu [/mm] und geht in beiden fällen von links nach rechts, da hab ich einfach geschmiert, sorry
als vllt so??
f: (x+a)+(b/a) --> (y+a)+(b/a)
[mm] \mu((x+a)+(b/a)) =f^{-1}(\mu(f( [/mm] (x+a)+(b/a))
und nun alles nacheinander anwenden????
[mm] =f^{-1}(\mu((y+a)+(b/a))
[/mm]
...
bin mir da bei der umsetung nicht sicher
Vielen Dank für die Hilfe
LG
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Wann muss ich jetzt also wohldef. zeigen??(so allgemein)
Hallo,
eigentlich immer - bloß bei den meisten Funktionen mit denen man zu tun hat, ist diese so offensichtlich, daß sie doch nicht weiter gezeigt werden muß.
Wohldefiniertheit:
Sicherzustellen ist, daß wirklich jedem Element des Definitionsbereiches ein Element des Wertebereiches zugewiesen wird.
Sicherzustellen ist, daß keinem Element des Definitionsbereiches mehr als ein Element des Wertebereiches zugewiesen wird.
Im Punkten und Pfeilen gesprochen: von jedem Punkt des Definitionsbereiches muß ein Pfeil ausgehen, von keinem Punkt des Definitionsbereiches dürfen zwei Pfeile ausgehen.
Das erste Problem hat man z.B., wenn man Brüche, Logarithmen, Wurzeln in der Funktionsvorschrift hat - man kennt das bereits aus der Schule.
Das zweite ist typisch, wenn man Funktionen hat, die auf Äquivalenzklassen angewendet werden. es kommt hier darauf an, sich von der Repräsentantenunabhängigkeit zu überzeugen.
>
> mein versuch für die wohldefiniertheit:
> ich muss doch eigentlich zeigen, dass wenn 2 elemente aus
> dem definitionsbereich auf das selbe element in der
> zielmenge abgebildet werden, dass die elemente im
> def.bereich gleich sind oder??
> (Wäre das nicht Injektivität??)
Das, was Du schreibst, hat mit Wohldefiniertheit nichts zu tun.
es ist die Injektivität.
> wohldef beudeutet doch unabhängig von der wahl des
> repräsentanten, ne?
Wohldefiniert "bedeutet" das nicht, aber das ist es, was die Wohldefiniertheit bei Funktionen, die auf Äquivalenzklassen angewendet werden, kaputtmachen könnte. Deshalb ist hier für die Wohldefiniertheit die Repräsentantenunabhängigkeit zu zeigen.
Du mußt dafür zeigen, daß für [mm] a,b\in (R/\mathfrak{a})/\mathfrak{b/a} [/mm] mit a=b auch [mm] \mu(a)=\mu(b) [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
danke für die erklärung zur "allgemeinen verwendung"^^
> Du mußt dafür zeigen, daß für [mm]a,b\in (R/\mathfrak{a})/\mathfrak{b/a}[/mm]
> mit a=b auch [mm]\mu(a)=\mu(b)[/mm] gilt.
ok, also:
[mm] a':=((x+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))
[/mm]
[mm] b':=((y+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))
[/mm]
zz: [mm] a'=b'-->\mu(a')=\mu(b')
[/mm]
Beweis:
[mm] \mu((x+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))=\mu((y+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))
[/mm]
[mm] \gdw x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}
[/mm]
sooo... weiter wage ich mich jetzt nicht... ist der anfang richtig, oder muss ich irgendwie anders starten?? wenn ich bei a'=b' anfange, weiß ich auch nicht wie's weitergeht, vondaher habe ich mit [mm] \mu(a')=\mu(b') [/mm] angefangen...
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hi,
> danke für die erklärung zur "allgemeinen verwendung"^^
> > Du mußt dafür zeigen, daß für [mm]a,b\in (R/\mathfrak{a})/\mathfrak{b/a}[/mm]
> > mit a=b auch [mm]\mu(a)=\mu(b)[/mm] gilt.
>
> ok, also:
> [mm]a':=((x+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))[/mm]
> [mm]b':=((y+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))[/mm]
>
> zz: [mm]a'=b'-->\mu(a')=\mu(b')[/mm]
> Beweis:
Es sei usw...
>
> [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))=\mu((y+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))[/mm]
> [mm]\gdw x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}[/mm]
> sooo... weiter wage
> ich mich jetzt nicht... ist der anfang richtig,
Nein, denn Du startest ja mit der beahuptung, die Du erst bewesien willst.
Es ist [mm] \mu(a')=x+\mathfrak{b}
[/mm]
und [mm] \mu(b')=y+\mathfrak{b}.
[/mm]
Du mußt nun die Frage klären, ob die beiden gleich sind.
> wenn ich bei a'=b' anfange,
wäre das gar nicht so übel.
a'=b' ==> [mm] (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] = [mm] (y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
==> [mm] (x+\mathfrak{a})-(y+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm]
==> (x-y) [mm] +\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm]
==> [mm] x-y\in [/mm] ...
==> ...
==> [mm] \mu(a')=\mu(b')
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
> a'=b' ==> [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] =
> [mm](y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
ich fürchte, ich habe hier eine blockade... [mm] x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] ist ja in R/a+b/a wieso ist [mm] x+\mathfrak{a} [/mm] dann in b/a, denn:
> ==> [mm](x+\mathfrak{a})-(y+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
>
>
> ==> (x-y) [mm]+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
>
> ==> [mm]x-y\in[/mm] ...
x-y ist doch auch in b oder???
> ==> ...
>
> ==> [mm]\mu(a')=\mu(b')[/mm]
>
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
> > a'=b' ==> [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] =
> > [mm](y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
> ich fürchte, ich habe hier eine blockade...
> [mm]x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] ist ja in R/a+b/a
> wieso ist [mm]x+\mathfrak{a}[/mm] dann in b/a,
Hallo,
ich sehe nirgends, daß behauptet wird, daß dies der Fall ist...
> denn:
> > ==> [mm](x+\mathfrak{a})-(y+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
Ich sage: die Differenz ist in [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] - und warum das so ist, hat Dir Felix in seinem ersten Post in diesem Thread gesagt.
(Stichwort: Gleichheit der Äquivalenzklassen)
> >
> >
> > ==> (x-y) [mm]+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
> >
> > ==> [mm]x-y\in[/mm] ...
> x-y ist doch auch in b oder???
Ja, wenn [mm] (x-y)+\mathfrak{a} [/mm] drin ist, dann muß das wohl so sein.
Gruß v. Angela
> > ==> ...
> >
> > ==> [mm]\mu(a')=\mu(b')[/mm]
> >
> LG
> pythagora
|
|
|
| |
|
Hi
> Ich sage: die Differenz ist in [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] -
> und warum das so ist, hat Dir Felix in seinem ersten Post
> in diesem Thread gesagt.
> (Stichwort: Gleichheit der Äquivalenzklassen)
Jaaa. stimmt, das lliegt ja ieder im Ideal, also in b/a
> > >
> > >
> > > ==> (x-y) [mm]+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
> > >
> > > ==> [mm]x-y\in[/mm] ...
> > x-y ist doch auch in b oder???
>
> Ja, wenn [mm](x-y)+\mathfrak{a}[/mm] drin ist, dann muß das wohl so
> sein.
also:
==>(x-y) [mm] \in \mathfrak{b}
[/mm]
wie bekomme ich diese lücke hier gefüllt, ich hab das gefühl, dass da noch was hin muss, weil ich zwar sagen, kann, dass [mm] x+\mathfrak{b} [/mm] us [mm] R/\mathfrak{b} [/mm] ist und da [mm] x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b} [/mm] ist, gilt (x-y) [mm] \in \mathfrak{b} [/mm] ; aber das ist ja nunmal die falsche richtung... gibt's da eine definition zu?? übersehe ich gerde irgendwas??
[mm] ==>x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}
[/mm]
==> [mm]\mu(a')=\mu(b')[/mm]
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
> also:
> ==>(x-y) [mm]\in \mathfrak{b}[/mm]
> wie bekomme ich diese lücke
> hier gefüllt, ich hab das gefühl, dass da noch was hin
> muss, weil ich zwar sagen, kann, dass [mm]x+\mathfrak{b}[/mm] us
> [mm]R/\mathfrak{b}[/mm] ist und da [mm]x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}[/mm]
> ist, gilt (x-y) [mm]\in \mathfrak{b}[/mm] ; aber das ist ja nunmal
> die falsche richtung... gibt's da eine definition zu??
> übersehe ich gerde irgendwas??
> [mm]==>x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}[/mm]
> ==> [mm]\mu(a')=\mu(b')[/mm]
Hallo,
die vermutete Lücke gibt es nicht.
Ich hab' keine Lust, das hier aufzurollen, immerhin gibt es ja gedruckte Lehrbücher: das ist die Sache mit der Äquivalenzrelation und den Äquibvalenzklassen. In Felix' Post steht's auch.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Do 29.04.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo ihr Lieben,
ich komme leider immer noch nicht weiter...
wenn a und b Ideale sind, wie ist dann die definition zu b/a?? Ich finde da nichts und suche schon ewig im skript, buch und im internet....
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank schon mal.
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hallo ihr Lieben,
> ich komme leider immer noch nicht weiter...
> wenn a und b Ideale sind, wie ist dann die definition zu
> b/a?? Ich finde da nichts und suche schon ewig im skript,
> buch und im internet....
>
> Kann mir jemand helfen?
Hallo,
was bezweckst Du hiermit?
Du hattest die Frage doch 35 Minuten zuvor schon gestellt,
und jeder Mensch, der 1. halbwegs intelligent ist und zusätzlich 2. gucken kann, sieht doch, daß sie beim Einstellen dieses Beitrages nicht beantwortet war.
Bitte beachte in Zukunft die Forenregeln (2. und 3.).
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank schon mal.
> Liebe Grüße
> pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:43 Do 29.04.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo nochmal,
ich weiß jetzt überhaupt nicht mehr, was ich machen soll; ich habe im skript (und teilweise auch buch (Bosch)) bezüglich der definition von b/a (beides Ideale) etwas von Relationen gelsenen, Quotientenräume, Restklassen... Aber ich habe immer noch keine Definition gefunden.. Ich kann somit momentan nicht mal mit einem beweis anfangen, solange mir diese definition noch fehlt...
Hat jemand eine Idee?? Ich würde mich sehr über hilfe freuen
Liebe Grüße und vielen Dank
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hallo nochmal,
> ich weiß jetzt überhaupt nicht mehr, was ich machen
> soll; ich habe im skript (und teilweise auch buch (Bosch))
> bezüglich der definition von b/a (beides Ideale) etwas von
> Relationen gelsenen, Quotientenräume, Restklassen... Aber
> ich habe immer noch keine Definition gefunden.. Ich kann
> somit momentan nicht mal mit einem beweis anfangen, solange
> mir diese definition noch fehlt...
Hallo,
auch hier gilt inhaltlich das, was ich zuvor sagte.
Dieses doppelte Stellen von Fragen macht doch bloß, daß die Threads so lang und unübersichtlich werden, daß einem schon beim Draufgucken die Lust vergeht.
Gruß v. Angela
>
> Hat jemand eine Idee?? Ich würde mich sehr über hilfe
> freuen
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
> pythagora
|
|
|
| |
|
Hallo.
Ich sitze auch an dieser Aufgabe und bin am verzweifeln, weil ich es einfach nicht versteh.
Bei (i) soll ich ja zeigen, dass [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] ein Ideal des Ringes R/ [mm] \mathfrak{a} [/mm] ist.
Dabei kommt es bei mir schon zu scheinbar unüberwindbaren Problemen, weil ich einfach nicht weiß wie.
Ich habe erstmal versucht zu zeigen, dass [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] nicht leer ist.
Um zu zeigen, dass [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] nicht leer ist, genügt es ja zu zeigen, dass die 0 enthalten ist. Laut Voraussetzung sei [mm] \mathfrak{b} [/mm] ein Ideal von R. Somit ist 0 [mm] \in \mathfrak{b}, [/mm] da die Null des Ringes auch immer im Ideal liegt. Da die Elemente aus [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] die Form: [mm] \mathfrak{b/a}={b+\mathfrak{a} mit b\in \mathfrak{b}} [/mm] haben. Wählen wir unser b=0 als aus Element aus [mm] \mathfrak{b}, [/mm] so gilt [mm] 0+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b/a}. [/mm] Damit wäre gezeigt, dass [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] nicht leer ist.
Nun muss ich aber zeigen: Für alle a,b [mm] \in \mathfrak{b}: (a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a}
[/mm]
Nun weiß ich gar nicht wie ich das zeigen soll. Ich habe so angefangen:
Sei a,b [mm] \in \mathfrak{b}
[/mm]
dann gilt: [mm] (a+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b/a} \wedge (b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a}
[/mm]
aber wie komme ich hier jetzt weiter?..kann mir jemand helfen?...ich wäre über jeden Hinweis dankbar.
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
>
> Nun muss ich aber zeigen: Für alle a,b [mm]\in \mathfrak{b}: (a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a}[/mm]
>
> Nun weiß ich gar nicht wie ich das zeigen soll. Ich habe
> so angefangen:
>
> Sei a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm]
> dann gilt: [mm](a+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b/a} \wedge (b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a}[/mm]
Hallo,
nun berechnest Du nach Vorschrift
[mm] (a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a})
[/mm]
= (a-b) + mathfrak{a} (s. Def. der Verknüpfungen im Faktorring)
Wenn Du jetzt einen Grund dafür findest, daß a-b [mm] \in \mathfrak{b}, [/mm] dann hast Du die Aussage gezeigt.
Hinweis: [mm] \mathfrak{b} [/mm] ist ein Ideal.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
>
> >
> > Nun muss ich aber zeigen: Für alle a,b [mm]\in \mathfrak{b}: (a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a}[/mm]
>
> >
> > Nun weiß ich gar nicht wie ich das zeigen soll. Ich habe
> > so angefangen:
> >
> > Sei a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm]
> > dann gilt: [mm](a+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b/a} \wedge (b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a}[/mm]
>
> Hallo,
>
> nun berechnest Du nach Vorschrift
>
> [mm](a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a})[/mm]
>
> = (a-b) + mathfrak{a} (s. Def. der Verknüpfungen im
> Faktorring)
>
> Wenn Du jetzt einen Grund dafür findest, daß a-b [mm]\in \mathfrak{b},[/mm]
> dann hast Du die Aussage gezeigt.
> Hinweis: [mm]\mathfrak{b}[/mm] ist ein Ideal.
>
Naja laut Definition für ein Ideal liegt ja für zwei Elemente a und b auch a-b im Ideal und wir wissen ja Laut Aufgabe das [mm] \mathfrak{b} [/mm] ein Ideal ist
aber hätte man das auch mit der Form der Elemente von [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] begründen können? denn die sind doch [mm] \mathfrak{b/a}=(b+ \mathfrak{a} [/mm] | b [mm] \in \mathfrak{b}) [/mm] und daran würde man doch auch erkenne, dass (a-b)+ [mm] \mathfrak{a} [/mm] in [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] liegt oder? ist das die richtige Begründung?
Nun muss ich ja noch zeigen, dass [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \mathfrak{b/a} \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] R: [mm] cx\in \mathfrak{b/a} [/mm] ist oder?...
Also müsste es doch sein:
Sei c [mm] \in \mathfrak{b} [/mm] und x [mm] \in [/mm] R
Dann gilt: (c+ [mm] \mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a} \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] R (oder muss es [mm] R/\mathfrak{a} [/mm] sein?)
aber wie zeig ich das denn jetzt?...
ich kann doch nicht einfach sagen (c+ [mm] \mathfrak{a}) [/mm] *x =(c*x+ [mm] \mathfrak{a}) [/mm]
oder ist das auch einfach so vorrechnen?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> >
> > >
> > > Nun muss ich aber zeigen: Für alle a,b [mm]\in \mathfrak{b}: (a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun weiß ich gar nicht wie ich das zeigen soll. Ich habe
> > > so angefangen:
> > >
> > > Sei a,b [mm]\in \mathfrak{b}[/mm]
> > > dann gilt:
> [mm](a+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b/a} \wedge (b+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b/a}[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > nun berechnest Du nach Vorschrift
> >
> > [mm](a+\mathfrak{a})-(b+\mathfrak{a})[/mm]
> >
> > = (a-b) + mathfrak{a} (s. Def. der Verknüpfungen im
> > Faktorring)
> >
> > Wenn Du jetzt einen Grund dafür findest, daß a-b [mm]\in \mathfrak{b},[/mm]
> > dann hast Du die Aussage gezeigt.
> > Hinweis: [mm]\mathfrak{b}[/mm] ist ein Ideal.
> >
>
> Naja laut Definition für ein Ideal liegt ja für zwei
> Elemente a und b auch a-b im Ideal
genau. das ist der Witz.
> und wir wissen ja Laut
> Aufgabe das [mm]\mathfrak{b}[/mm] ein Ideal ist
Ja.
> aber hätte man das auch mit der Form der Elemente von
> [mm]\mathfrak{b/a}[/mm] begründen können? denn die sind doch
> [mm]\mathfrak{b/a}=(b+ \mathfrak{a}[/mm] | b [mm]\in \mathfrak{b})[/mm] und
> daran würde man doch auch erkenne, dass (a-b)+
> [mm]\mathfrak{a}[/mm] in [mm]\mathfrak{b/a}[/mm] liegt oder?
Nein.
Allein aus [mm] ...=(a-b)+\mathfrak{a} [/mm] weißt Du nur, daß [mm] a-b\in [/mm] R, daß das Element also in R/mathfrak{a} ist.
[mm] (a-b)+\mathfrak{a}\in \mathfrak{b}{a} [/mm] ist eine schärfere Aussage.
> Nun muss ich ja noch zeigen, dass [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \mathfrak{b/a} \wedge[/mm]
> x [mm]\in[/mm] R: [mm]cx\in \mathfrak{b/a}[/mm] ist oder?...
Du darfst nicht mit Buchstaben hantieren, die Du nicht erklärst.
Was soll nun c darstellen?
Wichtig:
Du willst ja zeigen, daß [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] ein Ideal des Ringes [mm] R/\mathfrac{a} [/mm] ist.
Das potentielle Ideal ist also [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] und der nun zugrundeliegende Ring ist [mm] R/\mathfrac{a} [/mm] und nicht etwa R. (Du hattest ja selbst auch etwas Zweifel.)
Zu zeigen ist nun, daß für alle [mm] a'\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] und für alle [mm] x'\in R/\mathfrac{a} [/mm] gilt:
[mm] a'x'\in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}.
[/mm]
Wie das geht, kannst Du Dir in der Antwort anschauen, die ich deiner Kommilitonin gegeben habe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Okay soweit ist jetzt alles klar.
Nun gilt es ja zu zeigen, dass es sich um einen Ringisomorphismus handelt, sprich um einen bijektiven Ringhomomorphismus.
und was muss ich jetzt alles dafür zeigen?
also bestimmt die Eigenschaften eines Homomorphismus also:
[mm] \phi (a+b)=\phi(a)+ \phi(b)
[/mm]
[mm] \phi(1)=1
[/mm]
[mm] \phi(a*b)= \phi(a)*\phi(b)
[/mm]
und was muss ich für bijektivität zeigen?...muss auch noch wohldefiniertheit gezeigt werden?...
wäre dass enn für [mm] \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)
[/mm]
Sei x,y [mm] \in [/mm] R dann gilt:
[mm] \phi(a) [/mm] + [mm] \phi(b)= \phi((x+ \mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] + [mm] \phi((y+\mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a})=(x+ \mathfrak{b}) [/mm] + (y [mm] +\mathfrak{b}) [/mm] = [mm] (x+y+\mathfrak{b}) [/mm] = [mm] \phi [/mm] ((x+y+ [mm] \mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a}) [/mm] = [mm] \phi(a+b)
[/mm]
ich bin mir beid en vorlertzen schritt nicht sicher geht das in die richtige Richtung?
Lg Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> Nun gilt es ja zu zeigen, dass es sich um einen
> Ringisomorphismus handelt, sprich um einen bijektiven
> Ringhomomorphismus.
>
> und was muss ich jetzt alles dafür zeigen?
>
> also bestimmt die Eigenschaften eines Homomorphismus
Hallo,
ja, natürlich.
Gewöhne Dir an, solche Defs komplett aufzuschreiben, Du machst sonst bei ihrer Verwendung unnötige Fehler.
Je weniger man durchblickt, desto penibler muß man arbeiten.
Sei also [mm] \varphi: R_1\to R_2.
[/mm]
Dann heißt [mm] \varphi [/mm] Ringhomomorphismus, wenn für alle [mm] a,b\in \IR_1 [/mm] gilt:
> also:
> [mm]\phi (a+b)=\phi(a)+ \phi(b)[/mm]
> [mm]\phi(1)=1[/mm]
> [mm]\phi(a*b)= \phi(a)*\phi(b)[/mm]
>
> und was muss ich für bijektivität zeigen?...
Dies ist eine Frage, die Du Dir erstmal selbst zu beantworten versuchen sollst.
Wenn Du herausgefunden hast, was bijektiv bedeutet, weißt Du auch, was Du zeigen mußt.
> muss auch
> noch wohldefiniertheit gezeigt werden?...
Ja.
Wohldefiniertheit ist immer dann ein großes Thema, wenn man es mit Funktionen auf Mengen von Äquivalenzklassen zu tun hat.
(Immer, wenn es um Abbildungen auf Quotienten/Faktorräumen, Faktorringen zu tun hat.
Bei den Quotientenräumen hatten wir das mal ausführlich besprochen.)
Es wäre übrigens gut, wenn Du fragen und Antworten der Kommilitonin durchlesen würdest.
So müßte man nicht so viel doppelt sagen.
>
> wäre dass enn für [mm]\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)[/mm]
>
> Sei x,y [mm]\in[/mm] R
Nee, erstmal müssen wir wissen, was a und b sind.
Seien also [mm] a,b\in [/mm] ...
Dann gibt es [mm] x,y\in [/mm] R mit
a=...
b=...,
und
> dann gilt:
> [mm]\phi(a)[/mm] + [mm]\phi(b)= \phi((x+ \mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> + [mm]\phi((y+\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})=(x+ \mathfrak{b})[/mm]
> + (y [mm]+\mathfrak{b})[/mm] = [mm](x+y+\mathfrak{b})[/mm] = [mm]\phi[/mm] ((x+y+
> [mm]\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})[/mm] = [mm]\phi(a+b)[/mm]
>
> ich bin mir beid en vorlertzen schritt nicht sicher
Der ist richtig.
ich würde wohl beim letzten Schritt noch einen dazwischenschieben,
aber es ist alles richtig.
Gruß v. Angela
> geht
> das in die richtige Richtung?
>
> Lg Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> > und was muss ich für bijektivität zeigen?...
>
> Dies ist eine Frage, die Du Dir erstmal selbst zu
> beantworten versuchen sollst.
> Wenn Du herausgefunden hast, was bijektiv bedeutet, weißt
> Du auch, was Du zeigen mußt.
>
naja bijektiv bedeutet ja, dass eine Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist, d.h. ich muss zeigen, dass [mm] \phi [/mm] injektiv und surjektiv ist.
> > muss auch
> > noch wohldefiniertheit gezeigt werden?...
>
> Ja.
> Wohldefiniertheit ist immer dann ein großes Thema, wenn
> man es mit Funktionen auf Mengen von Äquivalenzklassen zu
> tun hat.
> (Immer, wenn es um Abbildungen auf
> Quotienten/Faktorräumen, Faktorringen zu tun hat.
> Bei den Quotientenräumen hatten wir das mal ausführlich
> besprochen.)
>
> Es wäre übrigens gut, wenn Du fragen und Antworten der
> Kommilitonin durchlesen würdest.
> So müßte man nicht so viel doppelt sagen.
>
> >
> > wäre dass denn für [mm]\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)[/mm]
> >
> > Sei x,y [mm]\in[/mm] R
>
> Nee, erstmal müssen wir wissen, was a und b sind.
>
Seien also [mm]a,b\in[/mm] [mm] \mathfrak{b/a}
[/mm]
Dann gibt es [mm]x,y\in[/mm] R mit
a= (x+ [mm] \mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a}
[/mm]
b= [mm] (y+\mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a}
[/mm]
>
> und
> > dann gilt:
> > [mm]\phi(a)[/mm] + [mm]\phi(b)= \phi((x+ \mathfrak{a})[/mm] +
> [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> > + [mm]\phi((y+\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})=(x+ \mathfrak{b})[/mm]
> > + (y [mm]+\mathfrak{b})[/mm] = [mm](x+y+\mathfrak{b})[/mm] = [mm]\phi[/mm] ((x+y+
> > [mm]\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})[/mm] = [mm]\phi(a+b)[/mm]
> >
> > ich bin mir beid en vorlertzen schritt nicht sicher
>
> Der ist richtig.
> ich würde wohl beim letzten Schritt noch einen
> dazwischenschieben,
> aber es ist alles richtig.
>
was würdest du denn dazwischen schieben?..mir fällt einfach nichts ein was dazwischen könnte.
Seien also [mm]a,b\in[/mm] [mm] \mathfrak{b/a}
[/mm]
Dann gibt es [mm]x,y\in[/mm] R mit
a= (x+ [mm] \mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a})
[/mm]
b= [mm] (y+\mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a}
[/mm]
dann gilt:
[mm] \phi(a) [/mm] * [mm] \phi(b)=
[/mm]
[mm] \phi((x+ \mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a}) [/mm] * [mm] \phi((y+\mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a})
[/mm]
=(x+ [mm] \mathfrak{b})* [/mm] (y [mm] +\mathfrak{b}) [/mm]
= [mm] (x*y+\mathfrak{b}) [/mm] =
[mm] \phi [/mm] ((x*y+ [mm] \mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a})
[/mm]
= [mm] \phi(a*b)
[/mm]
ist das so auch korrekt?
aber das [mm] \phi(1)=1 [/mm] ist macht mir probleme,d ass wäre ja
[mm] \phi(1)= \phi((1+ \mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=(1 [/mm] + [mm] \mathfrak{b})
[/mm]
aber wie komm ich hier weiter?
und wie zeig ich das [mm] \phi [/mm] surjektiv ist? das bedeutet ja nur, dass alle Elemente in der Zielmenge getroffen werden, sprich alle [mm] R/\mathfrak{b}??
[/mm]
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Sa 01.05.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo,
ich habe surjektivität so gezeigt:
Surjektiv bedeutet, ja dass jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild haben muss. Also habe ich für das element [mm] x+\mathfrak{b} [/mm] (aus der zielmenge [mm] (R/\mathfrak{b}) [/mm] ein z aus [mm] (R/\mathfrak{a})/(\mathfrak{b/a}) [/mm] gesucht:
für z [mm] \in [/mm] R gilt:
[mm] \mu ((z+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b/a}))=x+\mathfrak{b}
[/mm]
[mm] \gdw \mu ((z+\mathfrak{a})+(\mathfrak{b/a}))=x+\mathfrak{b}
[/mm]
[mm] \gdw z+\mathfrak{b}=x+\mathfrak{b} |+(-\mathfrak{b})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] z=x
und da es also ein z gibt ist [mm] \mu [/mm] surj.
(so hatte das mal eine tutorin in einer übung vorgerechnet...erinnere ich mich dunkel) Ich weiß aber auch nicht, wie richtig das ist... aber vielleicht hilft es ja ein wenig..
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
> [mm]\gdw z+\mathfrak{b}=x+\mathfrak{b} |+(-\mathfrak{b})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> z=x
Hallo,
ich hab' es Dir schon gefühlte hundertmal gesagt:
so kannst Du nicht mit Äquivalenzklassen rechnen, das ist falsch!
Das ist keine äquivalente Umformung.
Du rechnest gerade im Ring [mm] R/\mathfrak{b}, [/mm] und wenn Du da irgendwas subtrahierst, kommt wieder ein Element des [mm] R/\mathfrak{b} [/mm] raus - und nicht ein Element aus R wie bei Dir.
Wenn Du [mm] \mathfrak{b} [/mm] subtrahierst, passiert gar nüscht, denn [mm] \mathfrak{b} [/mm] ist die Null in [mm] R/\mathfrak{b}.
[/mm]
Wir hatten das mal recht ausführlich bei den Faktor/Quotientenringen besprochen.
Die Surjektivität ist leicht zu zeigen:
Sei x + [mm] \mathfrak{b}\in R/\mathfrak{b}.
[/mm]
Rechne vor, daß [mm] (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{a/b} [/mm] darauf abgebildet wird.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
ok, ich merk's mir^^
> Sei x + [mm]\mathfrak{b}\in R/\mathfrak{b}.[/mm]
>
> Rechne vor, daß [mm](}[/mm] darauf
> abgebildet wird.
aber was soll ich da noch rechnen?? denn aus der aufgabenstellung geht ja schon hervor, dass
[mm] \mu (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=x+\mathfrak{b}
[/mm]
mit x [mm] \in [/mm] R und [mm] \mathfrak{b} [/mm] wird das somit auf [mm] R/\mathfrak{b} [/mm] abgebildet...
Das verstehe ich nicht...
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> ok, ich merk's mir^^
> > Sei x + [mm]\mathfrak{b}\in R/\mathfrak{b}.[/mm]
> >
> > Rechne vor, daß [mm](}[/mm] darauf
> > abgebildet wird.
> aber was soll ich da noch rechnen?? denn aus der
> aufgabenstellung geht ja schon hervor, dass
> [mm]\mu (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=x+\mathfrak{b}[/mm]
> mit x
> [mm]\in[/mm] R und [mm]\mathfrak{b}[/mm] wird das somit auf [mm]R/\mathfrak{b}[/mm]
> abgebildet...
> Das verstehe ich nicht...
Hallo,
es behauptet doch gar iemand, daß die Surjektivität hier sehr schwer zu zeigen ist.
Das ordentliche Aufschreiben der pippieinfachen Argumentation ist allerdings offensichtlich sehr schwer.
Beh: [mm] \mu: ...\to [/mm] ... ist surjektiv.
Bew: Sei [mm] b\in R\mathfrak{b}.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] R mit [mm] b=x+\mathfrak{b}.
[/mm]
Es ist [mm] (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} \in [/mm] ...,
nach Def. der Abbildung ist [mm] \mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} )=x+\mathfrak{b},
[/mm]
und damit ist [mm] \mu [/mm] surjektiv.
Beobachte, wie ich es gemacht habe: ich habe ein beliebiges Element der Zielmenge hergenommen, dann eines aus dem definitionsbereich vorgezeigt, welches darauf abgebildet wird.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
> Das ordentliche Aufschreiben der pippieinfachen
> Argumentation ist allerdings offensichtlich sehr schwer.
...
> Beh: [mm]\mu: ...\to[/mm] ... ist surjektiv.
>
> Bew: Sei [mm]b\in R\mathfrak{b}.[/mm]
>
> Dann gibt es ein [mm]x\in[/mm] R mit [mm]b=x+\mathfrak{b}.[/mm]
>
> Es ist [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} \in[/mm] ...,
>
> nach Def. der Abbildung ist
> [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} )=x+\mathfrak{b},[/mm]
>
> und damit ist [mm]\mu[/mm] surjektiv.
>
>
> Beobachte, wie ich es gemacht habe: ich habe ein beliebiges
> Element der Zielmenge hergenommen, dann eines aus dem
> definitionsbereich vorgezeigt, welches darauf abgebildet
> wird.
ja genau, so hatte ich das ja auch versucht, mir ist nur die sache mit dem ideal in die quere gekommen... danke.
Injektivität:
bnedeutet ja, dass keine zwei verschiedenen Elemente aus dem Definitionsbereich auf das selbe Element der Zielmenge abgebildet werden.
beh.: [mm] \mu [/mm] (R/a)+(b/a)--> R/b ist injektiv
bew.:
per def. gilt:
[mm] \mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=x+\mathfrak{b}
[/mm]
wird nun auch [mm] \mu((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}) [/mm] auf das selbe element in R/b abbebildet wie auch [mm] ((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}), [/mm] so ist [mm] x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}
[/mm]
ich weiß, was ich will, aber nicht, wie ich das aufschareiben soll...
fange ich mit den zwei elementen an und zeige, dass
[mm] \mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=\mu((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})
[/mm]
beudeutet, dass auch [mm] x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}; [/mm] eigentlich muss ich doch zeigen, dass wenn es sich bei dem element der zielmenge um das gleiche handelt [mm] x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}, [/mm] dass auch [mm] \mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=\mu((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}), [/mm] aber das ist dann doch wieder wie bei surjektiv, so definitionsgemäßes hinschreiben... kann ich das so machen??
NACHTRAG:
hat [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] noch irgendwie eine spezielle Bezeichnung?? oder heißt das einfach "Ideal"??
Vielen Dank
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> > Das ordentliche Aufschreiben der pippieinfachen
> > Argumentation ist allerdings offensichtlich sehr schwer.
> ...
> > Beh: [mm]\mu: ...\to[/mm] ... ist surjektiv.
> >
> > Bew: Sei [mm]b\in R\mathfrak{b}.[/mm]
> >
> > Dann gibt es ein [mm]x\in[/mm] R mit [mm]b=x+\mathfrak{b}.[/mm]
> >
> > Es ist [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} \in[/mm] ...,
> >
> > nach Def. der Abbildung ist
> > [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} )=x+\mathfrak{b},[/mm]
> >
> > und damit ist [mm]\mu[/mm] surjektiv.
> >
> >
> > Beobachte, wie ich es gemacht habe: ich habe ein beliebiges
> > Element der Zielmenge hergenommen, dann eines aus dem
> > definitionsbereich vorgezeigt, welches darauf abgebildet
> > wird.
> ja genau, so hatte ich das ja auch versucht, mir ist nur
> die sache mit dem ideal in die quere gekommen... danke.
>
> Injektivität:
> bnedeutet ja, dass keine zwei verschiedenen Elemente aus
> dem Definitionsbereich auf das selbe Element der Zielmenge
> abgebildet werden.
Hallo,
genau.
> beh.: [mm]\mu[/mm] (R/a)+(b/a)--> R/b ist injektiv
Komische Schreibweise fü die erste Menge...
> bew.:
> per def. gilt:
> [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=x+\mathfrak{b}[/mm]
> wird nun auch [mm]\mu((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})[/mm] auf das
> selbe element in R/b abbebildet wie auch
> [mm]((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}),[/mm] so ist
> [mm]x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}[/mm]
> ich weiß, was ich will, aber nicht, wie ich das
> aufschareiben soll...
> fange ich mit den zwei elementen an und zeige, dass
>
> [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=\mu((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})[/mm]
> beudeutet, dass auch [mm]x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b};[/mm]
> eigentlich muss ich doch zeigen, dass wenn es sich bei dem
> element der zielmenge um das gleiche handelt
> [mm]x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b},[/mm] dass auch
> [mm]\mu((x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=\mu((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}),[/mm]
> aber das ist dann doch wieder wie bei surjektiv, so
> definitionsgemäßes hinschreiben... kann ich das so
> machen??
"Definitionsgemäß hinschreiben" ist nie verkehrt.
Irgendwie ist Dir aber überhaupt nicht klar, was Du zeigen mußt:
Du mußt zeigen, daß, wenn [mm] (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} [/mm] und [mm] (y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} [/mm] auf dasselbe Element abgebildet werden, die beiden gleich sind,
daß also aus
[mm] \mu [/mm] ( [mm] (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} [/mm] ) = [mm] \mu ((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}) [/mm] folgt, daß [mm] (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} [/mm] = [mm] (y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}.
[/mm]
Sei
[mm] \mu [/mm] ( [mm] (x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a} [/mm] ) = [mm] \mu ((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}) [/mm]
==> [mm] x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}
[/mm]
==> ... und nun eine schöne Argumentionskette aufbauen.
>
> NACHTRAG:
> hat [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] noch irgendwie eine
> spezielle Bezeichnung?? oder heißt das einfach "Ideal"??
"Ideal von [mm] R/\mathfrak{a}" [/mm] - oder auf welchen Aspekt bist Du aus?
[mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a} [/mm] ist auch ein Unterring von [mm] R/\mathfrak{a},
[/mm]
ein Ring, eine Gruppe bzgl. der Addition, der Faktorring von [mm] \mathkal{b} [/mm] modulo [mm] \mathkal{a} [/mm] - und vielleicht noch anderes.
>
> Vielen Dank
>
> LG
> pythagora
|
|
|
| |
|
Guten Abend,
> Du mußt zeigen, daß, wenn [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm]
> und [mm](y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm] auf dasselbe Element
> abgebildet werden, die beiden gleich sind,
> daß also aus
> [mm]\mu[/mm] ( [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm] ) = [mm]\mu ((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})[/mm]
> folgt, daß [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm] =
> [mm](y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}.[/mm]
>
> Sei
> [mm]\mu[/mm] ( [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm] ) = [mm]\mu ((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})[/mm]
> ==> [mm]x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}[/mm]
> ==> ... und nun eine schöne Argumentionskette aufbauen.
ok, also:
[mm] ==>x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}
[/mm]
==>x-y [mm] \in \mathfrak{b}
[/mm]
[mm] ==>(x-y)+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] ==>(x+\mathfrak{a})-(y+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] ==>((x+\mathfrak{a})-(y+\mathfrak{a}))+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a} \in [/mm] (R/a)+(b/a)
[mm] ==>((x+\mathfrak{a})+ (\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))-((y+\mathfrak{a})+ (\mathfrak{b}/\mathfrak{a})) \in [/mm] (R/a)+(b/a)
[mm] ==>(x+\mathfrak{a})+ (\mathfrak{b}/\mathfrak{a})=(y+\mathfrak{a})+ (\mathfrak{b}/\mathfrak{a})
[/mm]
so hübsch??
> >
> > NACHTRAG:
> > hat [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] noch irgendwie eine
> > spezielle Bezeichnung?? oder heißt das einfach "Ideal"??
>
> "Ideal von [mm]R/\mathfrak{a}"[/mm] - oder auf welchen Aspekt bist
> Du aus?
Ging/geht nur um eine Formulierungsfrage:
"nun ist noch zu prüfen, ob auch ... - wie auch [mm] \mathfrak{b}/\mathfrak{a}- [/mm] ein Ideal ist "
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] ist auch ein Unterring von
> [mm]R/\mathfrak{a},[/mm]
> ein Ring, eine Gruppe bzgl. der Addition, der Faktorring
> von [mm]\mathkal{b}[/mm] modulo [mm]\mathkal{a}[/mm] - und vielleicht noch
> anderes.
Vielen dank
pythagora
|
|
|
| |
|
> Guten Abend,
>
> > Du mußt zeigen, daß, wenn [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm]
> > und [mm](y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm] auf dasselbe Element
> > abgebildet werden, die beiden gleich sind,
> > daß also aus
> > [mm]\mu[/mm] ( [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm] ) = [mm]\mu ((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})[/mm]
> > folgt, daß [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm] =
> > [mm](y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}.[/mm]
> >
> > Sei
> > [mm]\mu[/mm] ( [mm](x+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a}[/mm] ) = [mm]\mu ((y+\mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})[/mm]
> > ==> [mm]x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}[/mm]
> > ==> ... und nun eine schöne Argumentionskette
> aufbauen.
> ok, also:
> [mm]==>x+\mathfrak{b}=y+\mathfrak{b}[/mm]
> ==>x-y [mm]\in \mathfrak{b}[/mm]
> [mm]==>(x-y)+\mathfrak{a} \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
>
> [mm]==>(x+\mathfrak{a})-(y+\mathfrak{a}) \in \mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm]
>
> [mm]==>((x+\mathfrak{a})-(y+\mathfrak{a}))+ \mathfrak{b}/\mathfrak{a} \in[/mm]
> (R/a)+(b/a)
> [mm]==>((x+\mathfrak{a})+ (\mathfrak{b}/\mathfrak{a}))-((y+\mathfrak{a})+ (\mathfrak{b}/\mathfrak{a})) \in[/mm]
> (R/a)+(b/a)
> [mm]==>(x+\mathfrak{a})+ (\mathfrak{b}/\mathfrak{a})=(y+\mathfrak{a})+ (\mathfrak{b}/\mathfrak{a})[/mm]
>
> so hübsch??
Hallo,
streiche die vorletze und vorvorletzte Zeile, dann paßt's.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Aha, ok, sind die nicht richtig oder einfach nur überflüssig??
Vielen vielen Dank
pythagora
|
|
|
| |
|
> Aha, ok, sind die nicht richtig oder einfach nur
> überflüssig??
Hallo,
der letzte Schluß ist falsch.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 So 02.05.2010 | | Autor: | pythagora |
Aha, ok vielen lieben dank!!
Ich wünsche dir eine schönen Tag und allen die mitgeholfen haben..
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:48 So 02.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] ist auch ein Unterring von
> [mm]R/\mathfrak{a},[/mm]
> ein Ring, eine Gruppe bzgl. der Addition, der Faktorring
> von [mm]\mathkal{b}[/mm] modulo [mm]\mathkal{a}[/mm] - und vielleicht noch
> anderes.
Ein Unterring von [mm] $R/\mathfrak{a}$ [/mm] ist [mm] $\mathfrak{b}/\mathfrak{a}$ [/mm] im Allgemeinen nicht, da nicht [mm] $1+\mathfrak{a}\in\mathfrak{b}/\mathfrak{a}$ [/mm] gelten muss.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:40 So 02.05.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
> Ein Unterring von [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] ist
> [mm]\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] im Allgemeinen nicht, da nicht
> [mm]1+\mathfrak{a}\in\mathfrak{b}/\mathfrak{a}[/mm] gelten muss.
Hallo,
das kommt auf die Ringdefinition an:
wenn bei Dir Ringe generell eine Eins enthalten, dann hast Du recht.
(Das Ideal, welches auch die Eins enthält, ist der Ring selber.)
Verwendet man aber eine Ringdefinition, die nicht zwingend die Eins fordert, ist jedes Ideal ein Unterring des zugrundeliegenden Ringes.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> naja bijektiv bedeutet ja, dass eine Abbildung sowohl
> injektiv als auch surjektiv ist, d.h. ich muss zeigen, dass
> [mm]\phi[/mm] injektiv und surjektiv ist.
Hallo,
ja.
> > > wäre dass denn für [mm]\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)[/mm]
> > >
> > > Sei x,y [mm]\in[/mm] R
> >
> > Nee, erstmal müssen wir wissen, was a und b sind.
> >
> Seien also [mm]a,b\in[/mm] [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> Dann gibt es [mm]x,y\in[/mm] R mit
> a= (x+ [mm]\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> b= [mm](y+\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> >
> > und
> > > dann gilt:
> > > [mm]\phi(a)[/mm] + [mm]\phi(b)= \phi((x+ \mathfrak{a})[/mm] +
> > [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> > > + [mm]\phi((y+\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})=(x+ \mathfrak{b})[/mm]
> > > + (y [mm]+\mathfrak{b})[/mm] = [mm](x+y+\mathfrak{b})[/mm] = [mm]\phi[/mm] ((x+y+
> > > [mm]\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})[/mm] = [mm]\phi(a+b)[/mm]
> was würdest du denn dazwischen schieben?
Nix besonderes: ich würde einfach ((x+y+ [mm]\mathfrak{a})[/mm] + [mm][mm] \mathfrak{b/a}) [/mm] noch so "auseinandernehmen", daß man deutlich sieht, daß es sich um a+b handelt.
((x+y+ [mm]\mathfrak{a})[/mm] + [mm][mm] \mathfrak{b/a})=[((x+[/mm] [mm]\mathfrak{a})[/mm] [mm] +(y+\mathfrak{a})+[/mm] [mm][mm] \mathfrak{b/a})= [/mm] ...
Ob's wirklich notwendig ist, sei dahingestellt.
>
> Seien also [mm]a,b\in[/mm] [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> Dann gibt es [mm]x,y\in[/mm] R mit
> a= (x+ [mm]\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})[/mm]
> b= [mm](y+\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> dann gilt:
> [mm]\phi(a)[/mm] * [mm]\phi(b)=[/mm]
> [mm]\phi((x+ \mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})[/mm] *
> [mm]\phi((y+\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})[/mm]
> =(x+ [mm]\mathfrak{b})*[/mm] (y [mm]+\mathfrak{b})[/mm]
> = [mm](x*y+\mathfrak{b})[/mm] =
> [mm]\phi[/mm] ((x*y+ [mm]\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})[/mm]
> = [mm]\phi(a*b)[/mm]
>
> ist das so auch korrekt?
ja, wobei ich selbst hier auch den letzten schritt ein wenig mehr "ausschmücken" würde - nicht zuletzt um Klarheit für mich selbst zu haben.
Man muß ja jeden Schritt mit einer Nr. aus dem Skript begründen können.
>
> aber das [mm]\phi(1)=1[/mm] ist macht mir probleme,d ass wäre ja
> [mm]\phi(1)= \phi((1+ \mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=(1[/mm] +
> [mm]\mathfrak{b})[/mm]
> aber wie komm ich hier weiter?
Du mußt Dich und Deine Leser nun irgendwie davon überzeugen, daß [mm] 1+\mathfrak{b} [/mm] die Eins in EDIT: R/mathfrak{b} ist.
>
> und wie zeig ich das [mm]\phi[/mm] surjektiv ist? das bedeutet ja
> nur, dass alle Elemente in der Zielmenge getroffen werden,
> sprich alle
Elemente aus
> [mm]R/\mathfrak{b}??[/mm][mm] \mathfrak{b/a}
[/mm]
Ja. Aber "nur" ist unpassend. Es ist wirklich nicht selbstverständlich, daß jedes Element getroffen wird.
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> aber das [mm]\phi(1)=1[/mm] ist macht mir probleme,d ass wäre ja
>> [mm]\phi(1)= \phi((1+ \mathfrak{a})+\mathfrak{b/a})=(1[/mm] + [mm] \mathfrak{b})
[/mm]
> > aber wie komm ich hier weiter?
>
> Du mußt Dich und Deine Leser nun irgendwie davon überzeugen, daß [mm]1+\mathfrak{b}[/mm] die Eins in [mm]\mathfrak{b/a}[/mm] ist.
ich weiß das ich das machen muss aber bei besten willen komm ich leider nicht darauf wie das geht... man sieht ja das [mm] a+\mathfrak{b} [/mm] der Äquivalenzklasse der 1 entsprechen würde aber wie kann ich das denn nur zeigen?..kannst du mir bitte einen Tipp geben?..ich überleg schon den ganzen Tag...
das ist wahrscheinlich wirklich offensichtlich aber ich komm nicht drauf.
oder reicht es einfahc zu sagen das die elemente aus [mm] \mathfrak{b/a} [/mm] die Form [mm] x+\mathfrak{b} [/mm] haben mit x [mm] \in \mathfrak{b} [/mm] und das is in diesem fall ja die 1..aber das erscheint mir leicht schwammig oder nicht?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> > Du mußt Dich und Deine Leser nun irgendwie davon
> überzeugen, daß [mm]1+\mathfrak{b}[/mm] die Eins in [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> ist.
>
>
> ich weiß das ich das machen muss aber bei besten willen
> komm ich leider nicht darauf wie das geht...
Hallo,
Dir ist klar, daß die Eins das neutrale Element der Multiplikation ist?
Diese Eigenschaft kannst Du nachrechnen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
>
> > > Du mußt Dich und Deine Leser nun irgendwie davon
> > überzeugen, daß [mm]1+\mathfrak{b}[/mm] die Eins in [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> > ist.
> >
> >
> > ich weiß das ich das machen muss aber bei besten willen
> > komm ich leider nicht darauf wie das geht...
>
> Hallo,
>
> Dir ist klar, daß die Eins das neutrale Element der
> Multiplikation ist?
> Diese Eigenschaft kannst Du nachrechnen.
ja das ist mir klar..ich weiß nur nicht wie ich damit weiter rechnen soll?..ich kann doch da jetzt nichts mehr multiplizieren. hab ja jetzt nur [mm] ...1+\mathfrak{b} [/mm] aber ich weiß nicht wie ich jetzt zu 1 komm..übersteigt eindeutig meinen Horizont sorry..
ich kann ja jetzt nicht einfach anfangen hin und her zu rechnen sprich: [mm] (1+\mathfgrak{b}=1*(1+\mathfrak{b})...da [/mm] wäre ich ja immer noch nicht weiter..der teil verwirrt mich echt sorry
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> >
> > > > Du mußt Dich und Deine Leser nun irgendwie davon
> > > überzeugen, daß [mm]1+\mathfrak{b}[/mm] die Eins in [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> > > ist.
> > Dir ist klar, daß die Eins das neutrale Element der
> > Multiplikation ist?
> ja das ist mir klar
Hallo,
demnach, was Du schreibst, ist das überhaupt nicht klar.
Mit "Eins" ist nicht die Zahl Eins gemeint, sondern das neutrale Element der Multiplikation in dem jeweiligen Ring.
Du mußt vorrechnen, daß [mm] 1+\mathfrak{b} [/mm] das neutrale Element der Multiplikation in EDIT: [mm] R/\mathfrak{b} [/mm] ist.
Multiplizier es halt mit [mm] x+\mathfrak{b}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> > >
> > > > > Du mußt Dich und Deine Leser nun irgendwie davon
> > > > überzeugen, daß [mm]1+\mathfrak{b}[/mm] die Eins in [mm]\mathfrak{b/a}[/mm]
> > > > ist.
>
> > > Dir ist klar, daß die Eins das neutrale Element der
> > > Multiplikation ist?
>
> > ja das ist mir klar
>
> Hallo,
>
> demnach, was Du schreibst, ist das überhaupt nicht klar.
>
> Mit "Eins" ist nicht die Zahl Eins gemeint, sondern das
> neutrale Element der Multiplikation in dem jeweiligen
> Ring.
> Du mußt vorrechnen, daß [mm]1+\mathfrak{b}[/mm] das neutrale
> Element der Multiplikation in [mm]\mathfrak{b/a}[/mm] ist.
>
> Multiplizier es halt mit [mm]x+\mathfrak{b}.[/mm]
okay du hast recht war doch gar nicht so klar:
also [mm] (1+\mathfrak{b}) [/mm] * [mm] (x+\mathfrak{b})= [/mm] (1*x [mm] +\mathfrak{b})=(x+\mathfrak{b})
[/mm]
kann ich also schreiben:
[mm] \phi(1)= \phi((1 +\mathfrak{a}) [/mm] + [mm] \mathfrak{b/a})=(1+\mathfrak{b})=1
[/mm]
und den letzten schritt kann ich dann ja begründen, weil [mm] (1+\mathfrak{b}) [/mm] das neutrale elemnt ist...so müsst es jetzt doch klappen oder?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> also [mm](1+\mathfrak{b})[/mm] * [mm](x+\mathfrak{b})=[/mm] (1*x
> [mm]+\mathfrak{b})=(x+\mathfrak{b})[/mm]
>
> kann ich also schreiben:
> [mm]\phi(1)= \phi((1 +\mathfrak{a})[/mm] + [mm]\mathfrak{b/a})=(1+\mathfrak{b})=1[/mm]
> und den letzten schritt kann ich dann ja begründen, weil
> [mm](1+\mathfrak{b})[/mm] das neutrale elemnt ist...so müsst es
> jetzt doch klappen oder?
Hallo,
ja.
Schreib' doch der Deutlichkeit (für Dich und den Leser) halber an jede 1 als Index dran, die 1 eines welchen Ringes gemeint ist.
Und merke Dir, daß ein Ringhomomorphismus die Eins des einen Ringes auf die Eins des anderen Ringes abbilden muß.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (ii) Zeigen Sie, dass für alle p,q [mm] \in \IZ [/mm] der Ring [mm] (\IZ/pq\IZ)/(p\IZ/pq\IZ) [/mm] isomorph zu [mm] \IZ/p\IZ [/mm] ist. |
So ich sitze jetzt am 2. Teil der Aufgabe und bin erstmal am überlegen, was hier alles gezeigt werden soll. Ich soll ja zeigen, dass ein Ringisomorphismus vorliegt.
Ein Ringisomorphismus ist ja nichts anderes als ein bijektiver Homomorphismus.
Also muss ich zeigen, dass die Abbildung bijektiv und injektiv ist.
Und die drei Homomorphieeigenschaften. Da ich hier aber keine richtige Abbildung definiert habe. Erweist sich das für mich etwas schwierig, gibt es denn noch eine andere Möglichkeit?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:28 So 02.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Schmetterfee,
> (ii) Zeigen Sie, dass für alle p,q [mm]\in \IZ[/mm] der Ring
> [mm](\IZ/pq\IZ)/(p\IZ/pq\IZ)[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/p\IZ[/mm] ist.
>
> So ich sitze jetzt am 2. Teil der Aufgabe und bin erstmal
> am überlegen, was hier alles gezeigt werden soll. Ich soll
> ja zeigen, dass ein Ringisomorphismus vorliegt.
nun, du sollst zeigen, dass es einen gibt. Du hast, wie du richtig bemerkst, keinen gegeben:
> Ein Ringisomorphismus ist ja nichts anderes als ein
> bijektiver Homomorphismus.
> Also muss ich zeigen, dass die Abbildung bijektiv und
> injektiv ist.
> Und die drei Homomorphieeigenschaften. Da ich hier aber
> keine richtige Abbildung definiert habe. Erweist sich das
> für mich etwas schwierig, gibt es denn noch eine andere
> Möglichkeit?
Verwende Aufgabenteil (i).
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Hallo Schmetterfee,
>
> > (ii) Zeigen Sie, dass für alle p,q [mm]\in \IZ[/mm] der Ring
> > [mm](\IZ/pq\IZ)/(p\IZ/pq\IZ)[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/p\IZ[/mm] ist.
> >
>
> Verwende Aufgabenteil (i).
>
wie kann ich das denn verwenden?...wenn man drauf guckt sieht man ja das es sich um einen Ringisomorphismus handelt, weil es vond er Art er um genau das gleiche geht wie bei(i) aber trotz des wissens weiß ich immer noch nicht was ich zeigen muss...ich muss ja die Existens eines Ringisomorphismus zeigen aber was habe ich denn da alles zu zeigen?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> > Hallo Schmetterfee,
> >
> > > (ii) Zeigen Sie, dass für alle p,q [mm]\in \IZ[/mm] der Ring
> > > [mm](\IZ/pq\IZ)/(p\IZ/pq\IZ)[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/p\IZ[/mm] ist.
> > >
> >
> > Verwende Aufgabenteil (i).
> >
> wie kann ich das denn verwenden?...wenn man drauf guckt
> sieht man ja das es sich um einen Ringisomorphismus
> handelt, weil es vond er Art er um genau das gleiche geht
> wie bei(i) aber trotz des wissens weiß ich immer noch
> nicht was ich zeigen muss...ich muss ja die Existens eines
> Ringisomorphismus zeigen aber was habe ich denn da alles zu
> zeigen?
Hallo,
wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß genau die Ausgangssituation von Teilaufgabe i) vorliegt, dann gilt natürlich auch die dortige Behauptung.
Das ist ja generell der Witz, wenn man irgendwelche Sätze verwendet...
Du mußt also prüfen oder wissen:
[mm] \IZ [/mm] ist ein Ring
[mm] pq\IZ [/mm] ist ein Ideal
[mm] p\IZ [/mm] ist ein Ideal
[mm] pq\IZ \subset p\IZ.
[/mm]
Der Rest ergibt sich aus i), es ist dann nichts mehr zu tun als zu schreiben: "Nach i) ist somit..."
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> > > Hallo Schmetterfee,
> > >
> > > > (ii) Zeigen Sie, dass für alle p,q [mm]\in \IZ[/mm] der Ring
> > > > [mm](\IZ/pq\IZ)/(p\IZ/pq\IZ)[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/p\IZ[/mm] ist.
> > > >
>
> Hallo,
>
> wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß genau die
> Ausgangssituation von Teilaufgabe i) vorliegt, dann gilt
> natürlich auch die dortige Behauptung.
> Das ist ja generell der Witz, wenn man irgendwelche Sätze
> verwendet...
>
> Du mußt also prüfen oder wissen:
>
> [mm]\IZ[/mm] ist ein Ring
das kann ich wohl als wissen woraus setzen, dass steht in unserem Begleitbuch Bosch als beispiel für ein kommutativen Ring
> [mm]pq\IZ[/mm] ist ein Ideal
> [mm]p\IZ[/mm] ist ein Ideal
aber wie zeig ich die beiden Punkte denn?...denn ich hab ja nicht wie in (i) ein vorgegebenes ideal, dass ich daraus einfach herleiten kann...
> [mm]pq\IZ \subset p\IZ.[/mm]
>
das könnte ich dann doch aus den vorigen beweisen schließen...wegen der definition von multiplikation von idealen oder?
ich tue mich mit der aufgabe echt schwer, weil ich noch nicht ma irgendwas defineirt habe, damit ich es nachrechnen kann...
Lg Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> > [mm]pq\IZ[/mm] ist ein Ideal
> > [mm]p\IZ[/mm] ist ein Ideal
> aber wie zeig ich die beiden Punkte denn?
Mannomann...
Überleg' Dir, welche Elemente in den beiden Mengen enthalten sind, und rechne dann nach, ob die Eigenschaften eines Ideals erfüllt sind.
> ...denn ich hab
> ja nicht wie in (i) ein vorgegebenes ideal, dass ich daraus
> einfach herleiten kann...
Ich verstehe nicht, was Du damit meinst.
> > [mm]pq\IZ \subset p\IZ.[/mm]
> >
> das könnte ich dann doch aus den vorigen beweisen
> schließen...wegen der definition von multiplikation von
> idealen oder?
Verstehe ich nicht...
Guck Dir halt die Elemente an, die in den beiden Mengen sind.
>
> ich tue mich mit der aufgabe echt schwer,
Du kannst Dir die Aufgabe, bevor Du sie allegemein für Primzahlen p und q löst, ja mal vereinfachen, indem Du sie für Dich erstmal für p=3 und q=5 bearbeitest. Wenn ich die Dinge derart konkretisiere, fallen sie mir jedenfalls immer etwas leichter.
> weil ich noch
> nicht ma irgendwas defineirt habe, damit ich es nachrechnen
> kann...
Naja, Du willst ja jetzt wohl nicht erzählen, daß Dir die ganz abstrakten Aufgaben leichter fallen als solche wie diese, bei der man ja im Grunde Zahlen zum Rechnen in den Händen hält...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
>
> > > [mm]pq\IZ[/mm] ist ein Ideal
> > > [mm]p\IZ[/mm] ist ein Ideal
> > aber wie zeig ich die beiden Punkte denn?
>
> Mannomann...
> Überleg' Dir, welche Elemente in den beiden Mengen
> enthalten sind, und rechne dann nach, ob die Eigenschaften
> eines Ideals erfüllt sind.
>
ich glaube ich denke voll falsch hab das so versucht:
Zu zeigen: (a+ [mm] p\IZ)-(b+\IZ) \in \IZ
[/mm]
Seien a,b [mm] \in \IZ
[/mm]
Dann gilt: [mm] (a+p\IZ) \in p\IZ \wedge (b+p\IZ) \in p\IZ
[/mm]
=> [mm] (a+p\IZ)-(b+p\IZ) \in p\IZ
[/mm]
=> (a-b) [mm] +p\IZ \in p\IZ
[/mm]
aber mache ich es mir so nicht zu einfach?...
> > ...denn ich hab
> > > [mm]pq\IZ \subset p\IZ.[/mm]
> > >
> > das könnte ich dann doch aus den vorigen beweisen
> > schließen...wegen der definition von multiplikation von
> > idealen oder?
>
> Verstehe ich nicht...
> Guck Dir halt die Elemente an, die in den beiden Mengen
> sind.
>
nach [mm] pq\IZ [/mm] entahlt ja nur vielfache von [mm] p\IZ [/mm] da aber Ideale für die Multiplikation mit Ringelementen abgeschlossen ist...müsste [mm] pq\IZ [/mm] ja [mm] \subset [/mm] sein, wenn q [mm] \in \IZ [/mm] ist oder denke ich jetzt falsch?
> >
> Naja, Du willst ja jetzt wohl nicht erzählen, daß Dir die
> ganz abstrakten Aufgaben leichter fallen als solche wie
> diese, bei der man ja im Grunde Zahlen zum Rechnen in den
> Händen hält...
>
vom prinzip her hast du ja recht..aber irgendwie ist es für mich logischer wenn ich wie bei (i) irgendwas definiert habe und "nicht nur" zahlen.
Lg Schmetterfee
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich muss hierzu auch nochmal was fragen, da ich bei diesem aufgabenteil auch noch nicht wirklich weit bin..
ich muss ja zeigen, dass [mm] pq\IZ [/mm] und [mm] pq\IZ [/mm] ideale sind, kann ich denn auh zeigen, dass [mm] p\IZ/pq\IZ [/mm] ein ideal (wie [mm] \mathfrak{b/a}) [/mm] ist.. oder muss ich beide einzeln zeigen????
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
> ich muss ja zeigen, dass [mm]pq\IZ[/mm] und [mm]pq\IZ[/mm] ideale sind, kann
> ich denn auh zeigen, dass [mm]p\IZ/pq\IZ[/mm] ein ideal (wie
> [mm]\mathfrak{b/a})[/mm] ist.. oder muss ich beide einzeln
> zeigen????
Hallo,
beide einzeln zu zeigen ist ja nicht so scwer, und wenn Dir's zu mühsam ist, dann zeig halt, daß [mm] m\IZ [/mm] für [mm] m\in \IN [/mm] ein Ideal ist; damit hast Du dann beide Fälle erschlagen.
Daß dann [mm] p\IZ/pq\IZ [/mm] ein Ideal ist, hast du ja schon in i) gezeigt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ich hatte mir das so gedacht:
Zu zeigen ist a',b' [mm] \in p\IZ/pq\IZ [/mm] ==> a'-b' [mm] \in p\IZ/pq\IZ [/mm]
für alle a,b \ in [mm] p\IZ [/mm] gilt:
a'-b' [mm] \in p\IZ/pq\IZ [/mm]
==> [mm] (a+pq\IZ )-(b+pq\IZ [/mm] ) [mm] \in p\IZ/pq\IZ [/mm]
[mm] a'=(a+pq\IZ [/mm] )
[mm] b'=(b+pq\IZ [/mm] )
==> [mm] (a-b)+pq\IZ \in p\IZ/pq\IZ [/mm]
==> [mm] (a-b)+pq\IZ \in p\IZ/pq\IZ [/mm]
aber da brauche ich ja die bedingung, dass [mm] p\IZ [/mm] und [mm] pq\IZ [/mm] Ideale sind, also muss ich im prinzip doch das nachweisen... also. vllt so:
[mm] m\IZ [/mm] ist ein Ideal des Ringes [mm] \IZ. [/mm] Es gilt:
die 1 aus [mm] \IZ [/mm] ist auch Im ideal, es gilt:
[mm] 1+m\IZ \in \IZ/m\IZ, [/mm] somit ist [mm] \IZ/m\IZ [/mm] nicht leer.
Zu zeigen ist a',b' [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] ==> a'-b' [mm] \in \IZ/m\IZ
[/mm]
für alle a,b \ in [mm] \IZ/m\IZ [/mm] gilt:
a'-b' [mm] \in p\IZ/pq\IZ [/mm]
==> [mm] (a+p\IZ )-(b+p\IZ [/mm] ) [mm] \in \IZ/m\IZ
[/mm]
[mm] a'=(a+p\IZ [/mm] )
[mm] b'=(b+p\IZ [/mm] )
==> [mm] (a-b)+p\IZ \in p\IZ/pq\IZ [/mm]
==> [mm] (a-b)+p\IZ \in p\IZ/pq\IZ [/mm]
a-b=c und c alleine ist im ring
und das letzte kritierum für ideale:
zz wenn a' [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] und x' [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] dann ist auch a'x', x'a' in [mm] \IZ/m\IZ
[/mm]
(a,)x aus R
[mm] (a+p\IZ)*(x+p\IZ)=ax+p\IZ \in \IZ/m\IZ
[/mm]
hier bin ich mir unsicher,...
?????
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
> Ich hatte mir das so gedacht:
Leute, Ihr bringt mich in die Nähe des Wahnsinns...
>
> Zu zeigen ist [...]
Überhaupt nichts, wenn man endlich das tut, was ich die ganze Zeit sage und zeigt,
>
> dass [mm]p\IZ[/mm] und [mm]pq\IZ[/mm]
> Ideale sind,
Alles andere ergibt sich dann aus i).
> nachweisen... also. vllt so:
> [mm]m\IZ[/mm] ist ein Ideal des Ringes [mm]\IZ.[/mm]
Ja, es wäre eine gute Idee, dies zu zeigen.
> Es gilt:
> die 1 aus [mm]\IZ[/mm] ist auch Im ideal, es gilt:
> [mm]1+m\IZ \in \IZ/m\IZ,[/mm] somit ist [mm]\IZ/m\IZ[/mm] nicht leer.
Mein lieber Scholli...
Dir ist klar, daß [mm] m\IZ [/mm] und [mm] \IZ/\m\IZ [/mm] was verschiedenes ist? Rein die Optik deutet daraufhin...
Die 1 ist ganz gewiß i.a. nicht in [mm] m\IZ.
[/mm]
Ich wiederhole den heute in diesem Thread bereits zweimal gegebenen Rat, die Menge [mm] m\IZ [/mm] mal aufzuschreiben.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Leute, Ihr bringt mich in die Nähe des Wahnsinns...
ja, ich werde auch bald wahnsinnig, wenn die bei uns an der uni nicht endlich mal verstehen, dass wir nicht NUR mathe haben sondern auch andere fächer zu bedienen haben und dementsprechend endlich mal die aufgaben anpassen... die letzten zwei wochen war das super, da konnte ich alle aufgaben innerhalb von 2 tagen machen und sogar ohne hilfe... aber hierbei komme ich leider nicht weiter...
> Ich wiederhole den heute in diesem Thread bereits zweimal
> gegebenen Rat, die Menge [mm]m\IZ[/mm] mal aufzuschreiben.
ok, ich hab das aber nur so als beipiel und nicht allgemein:
[mm] 2\IZ [/mm] sind z.b. alle geraden zahlen, also {...-2,0,2,...}
[mm] 3\IZ [/mm] sind z.b. alle zahlen der menge {...-3,0,3,...}
der rest ist jeweils 0..
also wäre das allgemein: alle vielfachen der zahl m (sowohl ins positive als auch ins negative)
???
Danke für deine Mühe
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > Leute, Ihr bringt mich in die Nähe des Wahnsinns...
> j... aber hierbei komme ich leider nicht weiter...
Hallo,
Du verstehst das falsch:
ich stoße mich nicht an Eurer Hilfsbedürftigkeit, sondern daran, daß nicht das getan wird, was ich mindestens zweimal gesagt habe.
> ok, ich hab das aber nur so als beipiel und nicht
> allgemein:
> [mm]2\IZ[/mm] sind z.b. alle geraden zahlen, also {...-2,0,2,...}
> [mm]3\IZ[/mm] sind z.b. alle zahlen der menge {...-3,0,3,...}
Dieser aufzählenden Form kann man absolut nichts entnehmen, denn sie ist einfach zu knapp gehalten - aber ich verstehe schon, was Du sagen wolltest.
(Deine Korrektoren würden nicht so verständnisvoll sein...)
> der rest ist jeweils 0..
> also wäre das allgemein: alle vielfachen der zahl m
Genau. Alle ganzzahligen Vielfachen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > ok, ich hab das aber nur so als beipiel und nicht
> > allgemein:
> > [mm]2\IZ[/mm] sind z.b. alle geraden zahlen, also
> {...-2,0,2,...}
> > [mm]3\IZ[/mm] sind z.b. alle zahlen der menge {...-3,0,3,...}
>
> Dieser aufzählenden Form kann man absolut nichts
> entnehmen, denn sie ist einfach zu knapp gehalten - aber
> ich verstehe schon, was Du sagen wolltest.
> (Deine Korrektoren würden nicht so verständnisvoll
> sein...)
>
> > der rest ist jeweils 0..
> > also wäre das allgemein: alle vielfachen der zahl m
>
> Genau. Alle ganzzahligen Vielfachen.
ok, also ist der gedanke ja schonmal ok, mache ich das irgendwie mit einer art "summenzeichen", oder wie bekommen ich alle elemente {...-2*m,-1*m,0,1*m,2*m,...} für [mm] m\IZ [/mm] in EINER formel aufgezählt??
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
> > Genau. Alle ganzzahligen Vielfachen.
> ok, also ist der gedanke ja schonmal ok, mache ich das
> irgendwie mit einer art "summenzeichen", oder wie bekommen
> ich alle elemente {...-2*m,-1*m,0,1*m,2*m,...} für [mm]m\IZ[/mm] in
> EINER formel aufgezählt??
Hallo,
naja, wenn Du wirklich alle aufzählst, wirst Du bis ans Lebensende nicht fertig - davon solltest Du also Abstand nehmen...
wenn Du noch [mm] \pm [/mm] 3m in Deiner Aufzählung spendierst, dürfte der Letzte bemerkt haben, was Du ausdrücken möchtest.
Daneben solltest Du allerdings in der Lage sein, [mm] m\IZ [/mm] in beschreibender Form anzugeben:
Für [mm] m\in \IN [/mm] ist [mm] m\IZ:=\{ mz | z\in \IZ\}.
[/mm]
Irgendwie habt ihr es doch auch in der VL notiert, oder?
Schlag' mal nach und vergleiche.
Dann kannst Du auch gleich gucken, ob vielleicht sogar schon gezeigt wurde, daß das ein Ideal ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
> wenn Du noch [mm]\pm[/mm] 3m in Deiner Aufzählung spendierst,
> dürfte der Letzte bemerkt haben, was Du ausdrücken
> möchtest.
>
> Daneben solltest Du allerdings in der Lage sein, [mm]m\IZ[/mm] in
> beschreibender Form anzugeben:
>
> Für [mm]m\in \IN[/mm] ist [mm]m\IZ:=\{ mz | z\in \IZ\}.[/mm]
ok, super...dann ist mein gedanke ja richtig
> Irgendwie habt ihr es doch auch in der VL notiert, oder?
:( nicht unterder thematik ideale...
> Schlag' mal nach und vergleiche.
> Dann kannst Du auch gleich gucken, ob vielleicht sogar
> schon gezeigt wurde, daß das ein Ideal ist.
Ich habe nur das:
Ist R ein Rin und a ein Element von R, das mit allen Elementen von R multiplikativ vertauschbar ist, dann ist (a):={ ra |r [mm] \in [/mm] R } =aR ein Ideal von R. Ideale dieser Form heißen Hauptideale.
Das ist eine Definition und ich finde, dass die passt, denn Z ist ein Ring und m [mm] \in [/mm] Z, und von daher wäre m [mm] \IZ [/mm] ja sogar per def ein ideal, hm??
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
> > Für [mm]m\in \IN[/mm] ist [mm]m\IZ:=\{ mz | z\in \IZ\}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > Dann kannst Du auch gleich gucken, ob vielleicht sogar
> > schon gezeigt wurde, daß das ein Ideal ist.
> Ich habe nur das:
> Ist R ein Ring und a ein Element von R, das mit allen
> Elementen von R multiplikativ vertauschbar ist, dann ist
> (a):={ ra |r [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R } =aR ein Ideal von R.
> Ideale dieser
> Form heißen Hauptideale.
>
> Das ist eine Definition und ich finde, dass die passt, denn
> Z ist ein Ring und m [mm]\in[/mm] Z, und von daher wäre m [mm]\IZ[/mm] ja
> sogar per def ein ideal, hm??
Ja, das paßt wie die Faust aufs Auge.
Du kannst schreiben:
> Z ist ein Ring und m [mm]\in[/mm] Z,
also ist nach Satz xyz [mm] m\IZ [/mm] ein Ideal.
Da p, pq [mm] \in \IZ [/mm] sind damit natürlich auch [mm] p\IZ [/mm] und [mm] pq\IZ [/mm] Ideale.
Damit hast Du nun abgesichert, daß die Voraussetzungen aus i) gelten, und Du kannst einfach die Aussage aus i) anwenden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 So 02.05.2010 | | Autor: | pythagora |
Wow, super, das war ja echt einfach^^
Dann brauche ich ja gar nichts mehr zeigen!!
VIELEN DANK FÜR DEINE HILFE und auch ein dickes DANKE an Felix und Amaro.
Ich wünsche euch allen einen schönen Sonntag!!
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
> > Z ist ein Ring und m [mm]\in[/mm] Z,
> also ist nach Satz xyz [mm]m\IZ[/mm] ein Ideal.
>
> Da p, pq [mm]\in \IZ[/mm] sind damit natürlich auch [mm]p\IZ[/mm] und [mm]pq\IZ[/mm]
> Ideale.
>
> Damit hast Du nun abgesichert, daß die Voraussetzungen aus
> i) gelten, und Du kannst einfach die Aussage aus i)
> anwenden.
>
Hallo ich habe noch eine kleine Frage zu der Aufgabe...und zwar muss ich da jetzt noch irgendwas zeigen, oder kann ich einfach sagen da alle Vorrausetzungen aus (i) gegeben sind. ist somit [mm] (\IZ/pq\IZ)/(p\IZ/pq\IZ) [/mm] isomorph zu [mm] \IZ/p\IZ?
[/mm]
oder muss ich noch zeigen, dass [mm] pq\IZ \subset p\IZ [/mm] ist?...und wenn ja wie kann ich das zeigen?...oder habe ich das damit abgehandelt wenn ich das andere alles erwähnt habe?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> oder muss ich noch zeigen, dass [mm]pq\IZ \subset p\IZ[/mm]
> ist?..
Oh ja, stimmt! Das muß noch gezeigt werden, hatte ich inzwischen aus den Augen verloren.
> und wenn ja wie kann ich das zeigen?
Das überlegst Du Dir jetzt, nachdem festgestellt ist, wie die Menge [mm] m\IZ [/mm] aussieht, erstmal selbst.
Du kannst es Dir vielleicht etwas besser klarmachen, wenn Du Dir es erstmal mit p=5 und q=3 oder so überlegst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
da miche ich mich auch noch mal mit ein^^ hab das auch total verpennt..
> Du kannst es Dir vielleicht etwas besser klarmachen, wenn
> Du Dir es erstmal mit p=5 und q=3 oder so überlegst.
also für 3Z ist es ja {3z|z [mm] \in \IZ [/mm] } und für 5 :5Z also {5z|z [mm] \in \IZ [/mm] } , aber wie sieht das für
[mm] 35\IZ [/mm] aus?? sind es alle in fünfer- und dreier- abständen von der null???
also
{3z [mm] \wedge [/mm] 5z|z [mm] \in \IZ [/mm] } und dann ist 3Z natürlich darin enthalten, wenn {3z [mm] \wedge [/mm] 5z|z [mm] \in \IZ [/mm] } = {3z|z [mm] \in \IZ [/mm] } [mm] \cup [/mm] {5z|z [mm] \in \IZ [/mm] }
???
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hallo,
Hallo,
3*5=15.
[mm] 15\IZ [/mm] enthält natürlich die Vielfachen von 15.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
> > Hallo,
>
> Hallo,
>
> 3*5=15.
>
> [mm]15\IZ[/mm] enthält natürlich die Vielfachen von 15.
aha, so herum also.
aber dann ist doch kalr, dass die vielfachen von 15 auch in den vielfachen von 3 auftauchen, weil 15 ein vielfaches von 3 ist... aber wie soll ich das begründen/beweisen??
und vor allem für pq???... weil pq ein q-faches von p ist, ist pq in p enthalten (ohne das ganze Z-Zeugs geschrieben)...
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
> Hi,
> > > Hallo,
> >
> > Hallo,
> >
> > 3*5=15.
> >
> > [mm]15\IZ[/mm] enthält natürlich die Vielfachen von 15.
> aha, so herum also.
> aber dann ist doch kalr, dass die vielfachen von 15 auch
> in den vielfachen von 3 auftauchen, weil 15 ein vielfaches
> von 3 ist... aber wie soll ich das begründen/beweisen??
Hallo,
es kann eigentlich nicht sein, daß Du jetzt ein halbes Jahr Mathematik studiert hast, und Dich nicht in der Lage siehst, das Obige als Minibeweisleinchen zu formulieren...
Sei [mm] x\in 15\IZ.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] z\in \IZ [/mm] mit ... = ...*3.
es ist [mm] ...\in \IZ, [/mm] also ist [mm] x\in 3\IZ.
[/mm]
>
> und vor allem für pq???... weil pq ein q-faches von p ist,
> ist pq in p enthalten (ohne das ganze Z-Zeugs
> geschrieben)...
Ja.
Und nun mit dem Zeugs aufschreiben - für Dich.
Ich muß das nicht sehen, das ist doch Schulniveau.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
ok, also ist der gedanke von mit richtig, aber ich habe absolut keine ahnung, was ich da jetzt schreiben soll...
> es kann eigentlich nicht sein, daß Du jetzt ein halbes
> Jahr Mathematik studiert hast, und Dich nicht in der Lage
> siehst, das Obige als Minibeweisleinchen zu formulieren...
das ist eben das problem, dass wir so "einfache" dinge scheinbar nicht gemacht haben. zumindest nicht wir selber... unsere aufgaben am anfang des semesters waren sehr heftig und auch der umstieg von schule auf uni war nicht leicht.. Ich bin dabei alles nachzuholen, aber dafür brauche ich zum einen zeit und zum anderen an einigen stellen hilfe... und ich würde mich freuen, wenn ich hier weiterhin hilfe bekommen würde...
> Sei [mm]x\in 15\IZ.[/mm]
also nehme ich ein element aus der "untermenge"
> Dann gibt es ein [mm]z\in \IZ[/mm] mit ... =
> ...*3.
das verstehe ich nicht.. dann gibt es ein [mm] z\in \IZ [/mm] mit 15z=5z*3 ????
> es ist [mm]...\in \IZ,[/mm] also ist [mm]x\in 3\IZ.[/mm]
hier weiß ich auch nicht weiter ...
ich brauche da wirklich hilfe.. ich denke schon lange nach, aber komme nicht drauf...
Liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
> > Sei [mm]x\in 15\IZ.[/mm]
> also nehme ich ein element aus der
> "untermenge"
> > Dann gibt es ein [mm]z\in \IZ[/mm] mit ... =
> > ...*3.
> das verstehe ich nicht.. dann gibt es ein [mm]z\in \IZ[/mm] mit
x=
> 15z=5z*3 ????
> > es ist
5z
[mm]...\in \IZ,[/mm] also ist [mm]x\in 3\IZ.[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 So 02.05.2010 | | Autor: | pythagora |
Hi,
danke, jetzt hab ich's auch mit pq geschafft.
Gute Nacht.
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:36 So 02.05.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
> > Hi,
Es tut mir leid aber das macht mir doch schwierigekeiten diesen beweis zu führen ich versuch es mal:
Sei [mm]x\in pq\IZ.[/mm]
Dann gibt es ein [mm]z\in \IZ[/mm] mit z =
x*p.
es ist [mm]x \in \IZ,[/mm] also ist [mm]x\in p\IZ.[/mm]
geht das so ich bin mir an der stelle z=x*p etwas unsicher gehört da was anderes hin?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
Hallo,
mach's wie in dem eben vorgemachten Zahlenbeispiel.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
danke jetzt habe auch ich es vertstanden...schönen abend noch...
Lg schmetterfee
|
|
|
| |
|
> >
> > > > [mm]pq\IZ[/mm] ist ein Ideal
> > > > [mm]p\IZ[/mm] ist ein Ideal
> > > aber wie zeig ich die beiden Punkte denn?
> > Überleg' Dir, welche Elemente in den beiden Mengen
> > enthalten sind
Erweiterung dieses Auftrages: schreib es auf.
So: [mm] p\IZ=\{ ... | ...\}, [/mm] oder meinestwegen auch erstmal in aufzählender Form, wenn's leichter ist.
Alternative:
schreib [mm] 3\IZ [/mm] in aufzählender Form auf,
und gleich [mm] 5*3\IZ [/mm] hinterher.
Überlege Dir, warum [mm] 3\IZ [/mm] ein Ideal ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
>
> [mm]\mu[/mm] ist ein Isomorphismus (A, B Ringe), wenn gilt:
> - [mm]\mu[/mm] ist bijektiv
> - [mm]\mu[/mm] ist ein homomorphismus
> - [mm]\mu (a+b)=\mu (a)+\mu[/mm] (b)
> - [mm]\mu (a*b)=\mu (a)*\mu[/mm] (b)
> - [mm]\mu[/mm] (1)=1
Hallo,
letztere Bedingung spielt natürlich nur eine Rolle, wenn es sich um einen Homomorphismus von Ringen mit Eins handelt.
Da Du das hier so selbstverständlich dazugeschrieben hast, bin ich mal davon ausgegangen, daß Ihr z.Zt. nur Ringe mit Eins betrachtet oder gar die Eins Bestandteil Eurer Ringaxiome ist.
Ich nahm also stillschweigend an, daß R ein Ring mit 1 ist.
Man müßte allerdings zeigen - falls nicht in der VL geschehen -, daß die Faktorringe dann ebenfalls eine Eins haben.
Falls Ringe bei Euch nicht generell eine Eins enthalten, braucht man sich über [mm] \mu{1_A}=1_B [/mm] keinen Kopf zu machen, die Bedingung fällt dann einfach weg.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
