Ideale, Primideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 03.11.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Seien A,B zwei Ringe. Man zeige, dass jedes Ideal von A x B von der Form I x J mit Idealen I von A und J von B ist. Welche dieser Ideale sind Primideale von A x B? |
Hallo.
Ich bin mir bei meinem Lösungsansatz nicht sicher:
Zum ersten Teil:
sei K [mm] \subseteq [/mm] AxB ein Ideal. zz. K hat die Form K=IxJ mit I Ideal in A, J Ideal in B. Da K ein Ideal in AxB ist, hat K die Form [mm] K=\{(a,b) \in AxB| a \in M, b \in N\} [/mm] mit M Teilmenge von A, N Teilmenge von B. Jetzt möchte ich zeigen, dass M und N Ideale sein müssen: (i) M,N additive Untergruppen von AxB, denn (a,b) [mm] \in [/mm] K, (a',b') [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] (a+a', b+b') [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] a+a' [mm] \in [/mm] M, b+b' [mm] \in [/mm] N, also M,N abgeschlossen bzgl. +. auch die 0 ist in M,N
(ii) (a,b) [mm] \in [/mm] K, (x,y) [mm] \in [/mm] AxB [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b)(x,y) [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] (ax, by) [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] ax [mm] \in [/mm] M, by [mm] \in [/mm] N
aus (i) und (ii) folgt, dass M und N Ideale sein müssen.
Stimmt das so?
Zum zweiten Teil:
K primideal genau dann, wenn K [mm] \neq [/mm] (1) und wenn gilt ab [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] K oder b [mm] \in [/mm] K
Das von 1 erzeugte Ideal wäre ganz AxB. Nehme also im folgenden an, dass K [mm] \neq [/mm] (1) ist.
Sei km [mm] \in [/mm] K mit [mm] k=(a_1,b_1), m=(a_2,b_2). [/mm] km [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow (a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2) \in [/mm] K (also [mm] a_1a_2 \in [/mm] I, [mm] b_1b_2 \in [/mm] J)
K ist dann ein Primideal, falls [mm] (a_1,b_1) [/mm] oder [mm] (a_2,b_2) \in [/mm] K ist. Das ist dann der Fall, wenn [mm] a_1 \in [/mm] I, [mm] b_1 \in [/mm] J oder [mm] a_2 \in [/mm] I, [mm] b_2 \in [/mm] J. Dann sind aber I und J Primideale. Also sind die Ideale K von AxB Primideale, wenn I,J Primideale sind.
Ist das Quatsch oder auf dem richtigen Weg?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar!
moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Mi 04.11.2009 | | Autor: | moerni |
Ich wollte nur nochmal auf meine Frage aufmerksam machen... wäre sehr dankbar über eine Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mi 04.11.2009 | | Autor: | statler |
> Seien A,B zwei Ringe. Man zeige, dass jedes Ideal von A x B
> von der Form I x J mit Idealen I von A und J von B ist.
> Welche dieser Ideale sind Primideale von A x B?
Mahlzeit!
> Ich bin mir bei meinem Lösungsansatz nicht sicher:
> Zum zweiten Teil:
> K primideal genau dann, wenn K [mm]\neq[/mm] (1) und wenn gilt ab
> [mm]\in[/mm] K [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] K oder b [mm]\in[/mm] K
> Das von 1 erzeugte Ideal wäre ganz AxB. Nehme also im
> folgenden an, dass K [mm]\neq[/mm] (1) ist.
> Sei km [mm]\in[/mm] K mit [mm]k=(a_1,b_1), m=(a_2,b_2).[/mm] km [mm]\in[/mm] K
> [mm]\Rightarrow (a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2) \in[/mm] K (also
> [mm]a_1a_2 \in[/mm] I, [mm]b_1b_2 \in[/mm] J)
> K ist dann ein Primideal, falls [mm](a_1,b_1)[/mm] oder [mm](a_2,b_2) \in[/mm]
> K ist. Das ist dann der Fall, wenn [mm]a_1 \in[/mm] I, [mm]b_1 \in[/mm] J
> oder [mm]a_2 \in[/mm] I, [mm]b_2 \in[/mm] J. Dann sind aber I und J
> Primideale. Also sind die Ideale K von AxB Primideale, wenn
> I,J Primideale sind.
Nimm mal für A und B den Ring Z. Ist dann (3) x (5) ein Primideal in Z x Z? Das Produkt (3, 2)*(2, 5) = (6, 10) liegt da drin, aber die Faktoren nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 04.11.2009 | | Autor: | moerni |
> > Seien A,B zwei Ringe. Man zeige, dass jedes Ideal von A x B
> > von der Form I x J mit Idealen I von A und J von B ist.
> > Welche dieser Ideale sind Primideale von A x B?
>
Hallo.
Danke erstmal für die Antwort!
Was hälst du von meinem ersten Teil der Aufgabe? Geht das so?
> Nimm mal für A und B den Ring Z. Ist dann (3) x (5) ein
> Primideal in Z x Z? Das Produkt (3, 2)*(2, 5) = (6, 10)
> liegt da drin, aber die Faktoren nicht.
>
Aha, das macht Sinn. oje. mmmhh. Hast du einen Tipp für mich, wie ich dann bei diesem Teil vorgehen könnte?
Ein Ideal IxJ von AxB ist genau dann prim, wenn IxJ [mm] \neq [/mm] (1,1) ist und wenn gilt (ab,cd) [mm] \in [/mm] IxJ [mm] \Rightarrow [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] IxJ oder (b,d) [mm] \in [/mm] IxJ. Was kann ich damit tun?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
grüße, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Do 05.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Seien A,B zwei Ringe. Man zeige, dass jedes Ideal von A x B
> > > von der Form I x J mit Idealen I von A und J von B ist.
> > > Welche dieser Ideale sind Primideale von A x B?
>
> Hallo.
> Danke erstmal für die Antwort!
>
> Was hälst du von meinem ersten Teil der Aufgabe? Geht das
> so?
Nein: du hast angenommen dass die Behauptung mehr oder minder gilt.
Wenn du irgendein Ideal in $A [mm] \times [/mm] B$ hast, musst du erstmal zeigen, dass es von der Form $M [mm] \times [/mm] N$ ist und nicht eine Teilmenge wie [mm] $\{ (x, x) \mid x \in A \}$ [/mm] in $A [mm] \times [/mm] A$ (falls $A = B$), die du nicht als Produkt schreiben kannst.
Definiere dir doch $M := [mm] \{ a \in A \mid \exists b \in B : (a, b) \in K \}$ [/mm] und $N$ ebenfalls passend, und zeige dann:
a) [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M : (a, 0) [mm] \in [/mm] K$, [mm] $\forall [/mm] b [mm] \in [/mm] N : (0, b) [mm] \in [/mm] K$;
b) $K = M [mm] \times [/mm] N$;
c) $M$, $N$ sind Ideale.
> > Nimm mal für A und B den Ring Z. Ist dann (3) x (5) ein
> > Primideal in Z x Z? Das Produkt (3, 2)*(2, 5) = (6, 10)
> > liegt da drin, aber die Faktoren nicht.
>
> Aha, das macht Sinn. oje. mmmhh. Hast du einen Tipp für
> mich, wie ich dann bei diesem Teil vorgehen könnte?
Wenn $I = A$ oder $B = J$ ist, und das andere ein Primideal, dann ist doch $I [mm] \times [/mm] J$ ein Primideal (warum?). Gibt es noch andere Moeglichkeiten?
(Tipp: du hast doch den Isomorphismus $(A [mm] \times [/mm] B) / (I [mm] \times [/mm] J) [mm] \cong [/mm] A/I [mm] \times [/mm] B/J$. Wann ist $A/I [mm] \times [/mm] B/J$ der Nullring, und wann ist es nullteilerfrei?)
> Ein Ideal IxJ von AxB ist genau dann prim, wenn IxJ [mm]\neq[/mm]
> (1,1)
Was soll $(1, 1)$ sein? Meinst du nicht eher $A [mm] \times [/mm] B$?
> ist und wenn gilt (ab,cd) [mm]\in[/mm] IxJ [mm]\Rightarrow[/mm] (a,c)
> [mm]\in[/mm] IxJ oder (b,d) [mm]\in[/mm] IxJ. Was kann ich damit tun?
Es bedeutet ja: $(A [mm] \times [/mm] B) / (I [mm] \times [/mm] J)$ ist nicht der Nullring und ist nullteilerfrei. Hattet ihr diese Charakterisierung von Primidealen? Ansonsten ueberleg sie dir.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Do 05.11.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo. Vielen Dank erstmal für die Antwort!
> > ersten Teil der Aufgabe
> >
>
> Definiere dir doch [mm]M := \{ a \in A \mid \exists b \in B : (a, b) \in K \}[/mm]
> und [mm]N[/mm] ebenfalls passend, und zeige dann:
>
> a) [mm]\forall a \in M : (a, 0) \in K[/mm], [mm]\forall b \in N : (0, b) \in K[/mm];
>
> b) [mm]K = M \times N[/mm];
> c) [mm]M[/mm], [mm]N[/mm] sind Ideale.
>
zu a) Dann wäre [mm] N:=\{b \in B | \exists a \in A: (a,b) \in K\}
[/mm]
Was ich nicht verstehe: warum muss (a,0) überhaupt in K liegen?
zu b) Das verstehe ich leider auch nicht. Also. Angenommen ich nehme ein a [mm] \in [/mm] M und ein b [mm] \in [/mm] N. Dann müsste ja (a,b) in K liegen. Jetzt schaue ich mir die Mengen M,N an: Für mein ausgewähltes a gibt es (mind.) ein bestimmtes b [mm] \in [/mm] N, so dass (a,b) in K liegt. Wieso ist mein am Anfang gewähltes b genau so ein b, so dass (a,b) in K liegt?
zu c) M,N sind Ideale. ok, ich glaub, das habe ich nachweisen können.
zum zweiten Teil:
>
> Wenn [mm]I = A[/mm] oder [mm]B = J[/mm] ist, und das andere ein Primideal,
> dann ist doch [mm]I \times J[/mm] ein Primideal (warum?). Gibt es
> noch andere Moeglichkeiten?
Das Beispiel ist mir leider auch noch nicht klar. Dann wäre ja I oder J - A oder B, dh. eines der Ideale I,J wäre dann ein Ring? Aber im ersten Teil haben wir ja gezeigt, dass falls IxJ ein Ideal in AxB ist, dann I und J Ideale sind.
> (Tipp: du hast doch den Isomorphismus [mm](A \times B) / (I \times J) \cong A/I \times B/J[/mm].
aha. Das habe ich verstanden: Definiere Abb [mm] \varphi: [/mm] AxB [mm] \tp [/mm] A/I x B/J. Dann ist [mm] ker\varphi=IxJ. [/mm] Also gibt es nach dem Homomorphiesatz einen Isomorphismus (AxB)/(IxJ) [mm] \to [/mm] A/I x B/J
also IxJ Primideal, wenn (AxB)/(IxJ) integer ist (ja, wir hatten diese Definition).
Leider kann ich damit nicht viel anfangen. Wie kann ich denn nachprüfen, ob ein Ring bzw. Ideal integer ist?
Ein Ring A heißt nullteilerfrei, wenn gilt: aus ab=0 mit a,b [mm] \in [/mm] A folgt a=0 oder b=0. - Gibt es dazu ein handfestes Mittel, dies zu überprüfen?
> Wann ist [mm]A/I \times B/J[/mm] der Nullring, und wann ist es
> nullteilerfrei?)
>
oje.... weiß ich nicht....
Über eine Antwort wäre ich seehr dankbar,
liebe grüße, moerni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Fr 06.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> > Definiere dir doch [mm]M := \{ a \in A \mid \exists b \in B : (a, b) \in K \}[/mm]
> > und [mm]N[/mm] ebenfalls passend, und zeige dann:
> >
> > a) [mm]\forall a \in M : (a, 0) \in K[/mm], [mm]\forall b \in N : (0, b) \in K[/mm];
> > b) [mm]K = M \times N[/mm];
> > c) [mm]M[/mm], [mm]N[/mm] sind Ideale.
> >
>
> zu a) Dann wäre [mm]N:=\{b \in B | \exists a \in A: (a,b) \in K\}[/mm]
>
> Was ich nicht verstehe: warum muss (a,0) überhaupt in K
> liegen?
Nun, $(1, 0)$ liegt doch in $A [mm] \times [/mm] B$.
> zu b) Das verstehe ich leider auch nicht. Also. Angenommen
> ich nehme ein a [mm]\in[/mm] M und ein b [mm]\in[/mm] N. Dann müsste ja
> (a,b) in K liegen. Jetzt schaue ich mir die Mengen M,N an:
> Für mein ausgewähltes a gibt es (mind.) ein bestimmtes b
> [mm]\in[/mm] N, so dass (a,b) in K liegt. Wieso ist mein am Anfang
> gewähltes b genau so ein b, so dass (a,b) in K liegt?
Zeige erstmal, dass $(a, 0)$ und $(0, b)$ in $K$ liegen (siehe a). Dann folgt daraus, dass $(a, b)$ in $K$ liegt (warum?). (Bedenke: $K$ ist eine Untergruppe von $(A [mm] \times [/mm] B, +)$.)
> zum zweiten Teil:
> >
> > Wenn [mm]I = A[/mm] oder [mm]B = J[/mm] ist, und das andere ein Primideal,
> > dann ist doch [mm]I \times J[/mm] ein Primideal (warum?). Gibt es
> > noch andere Moeglichkeiten?
>
> Das Beispiel ist mir leider auch noch nicht klar. Dann
> wäre ja I oder J - A oder B, dh. eines der Ideale I,J
> wäre dann ein Ring?
Ja, aber auch nur eins von beiden.
> Aber im ersten Teil haben wir ja
> gezeigt, dass falls IxJ ein Ideal in AxB ist, dann I und J
> Ideale sind.
Ja. Der ganze Ring ist aber auch ein Ideal.
> > (Tipp: du hast doch den Isomorphismus [mm](A \times B) / (I \times J) \cong A/I \times B/J[/mm].
>
> aha. Das habe ich verstanden: Definiere Abb [mm]\varphi:[/mm] AxB
> [mm]\tp[/mm] A/I x B/J. Dann ist [mm]ker\varphi=IxJ.[/mm] Also gibt es nach
> dem Homomorphiesatz einen Isomorphismus (AxB)/(IxJ) [mm]\to[/mm] A/I
> x B/J
Genau.
> also IxJ Primideal, wenn (AxB)/(IxJ) integer ist (ja, wir
> hatten diese Definition).
Gut, damit ist es am einfachsten.
> Leider kann ich damit nicht viel anfangen. Wie kann ich
> denn nachprüfen, ob ein Ring bzw. Ideal integer ist?
Ideale sind nicht integer.
> Ein Ring A heißt nullteilerfrei, wenn gilt: aus ab=0 mit
> a,b [mm]\in[/mm] A folgt a=0 oder b=0. - Gibt es dazu ein handfestes
> Mittel, dies zu überprüfen?
In manchen Ringen kannst du explizit Nullteiler angeben. (Schau dir mal die Elemente $(1, 0)$ und $(0, 1)$ an.)
> > Wann ist [mm]A/I \times B/J[/mm] der Nullring, und wann ist es
> > nullteilerfrei?)
> >
> oje.... weiß ich nicht....
Der Nullring ist der einzige Ring mit genau einem Element. Wieviele Elemente hat $A/I [mm] \times [/mm] B/J$?
Und: ist $A/I [mm] \neq [/mm] 0$ und $B/J [mm] \neq [/mm] 0$, dann kannst du Nullteiler in $A/I [mm] \times [/mm] B/J$ finden. Ist z.B. $A/I = 0$, so gilt $A/I [mm] \times [/mm] B/J [mm] \cong [/mm] B/J$, also ist $A/I [mm] \times [/mm] B/J$ in diesem Fall genau dann nullteilerfrei, wenn $B/J$ nullteilerfrei ist.
LG Felix
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