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| Aufgabe | Sei [mm] R=\IZ[i]={a+bi/ a,b \in \IZ}. [/mm] Zeige:
a.) Sei [mm] 0\not=I=aR\subseteqR [/mm] ein Ideal. Dann ist R/I ein endlicher Ring.
b.) Sie a [mm] \in [/mm] R irreduzibel, I=aR. Dann ist R/I ein Körper.
c.) Bestimme die Kardinalität von
i.) R/3R
ii.) R/(1+i)R.
Welche dieser Ringe sind Körper? |
Hallo ihr lieben,
ich brauch euch mal wieder...
Aso die c.) hab ich koplett, nur bei den anderen beiden hakt es gewaltig.
Zur b.) hab ich mir überlegt, dass wenn R kommutativ ist und I maximal, dann folgt es sofort aus irgendeinem Satz dass das dann ein Körper ist. Nur mein R ist doch nicht kommutativ (oder doch?)... wie gehe ich dann hier vor?
und bei der a.) habe ich leider überhaupt keine ahnung...
Ich wäre wirklich froh, wenn mir jemand aus dieser misere helfen könnte 
danke jetz schonmal, liebe grüße
stoffel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 11.11.2008 | | Autor: | statler |
> Sei [mm]R=\IZ[i]={a+bi/ a,b \in \IZ}.[/mm] Zeige:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]a.) Sei [mm]0\not=I=aR\subseteqR[/mm] ein Ideal. Dann ist R/I ein [/i][/mm]
> [mm][i]endlicher Ring.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]b.) Sie a [mm]\in[/mm] R irreduzibel, I=aR. Dann ist R/I ein Körper. [/i][/mm]
> [mm][i][/i][/mm]
> [mm][i]c.) Bestimme die Kardinalität von [/i][/mm]
> [mm][i]i.) R/3R[/i][/mm]
> [mm][i] ii.) R/(1+i)R.[/i][/mm]
> [mm][i] Welche dieser Ringe sind Körper?[/i][/mm]
Mahlzeit Stefanie!
> [mm][i]Also die c.) hab ich komplett, nur bei den anderen beiden [/i][/mm]
> [mm][i]hakt es gewaltig. [/i][/mm]
> [mm][i]Zur b.) hab ich mir überlegt, dass wenn R kommutativ ist [/i][/mm]
> [mm][i]und I maximal, dann folgt es sofort aus irgendeinem Satz [/i][/mm]
> [mm][i]dass das dann ein Körper ist. Nur mein R ist doch nicht [/i][/mm]
> [mm][i]kommutativ (oder doch?)... wie gehe ich dann hier vor? [/i][/mm]
Dein R ist hochgradig kommutativ, das kannst du sofort nachrechnen. Außerdem ist es ein Unterring von [mm] \IC, [/mm] und das ist natürlich kommutativ.
> [mm][i]und bei der a.) habe ich leider überhaupt keine ahnung...[/i][/mm]
Weißt du, was die Norm eines Elementes in R ist? In jeder Restklasse gibt es einen Vertreter, dessen Norm kleiner als die von a ist. Den kannst du z. B. mit einem euklidischen Algorithmus finden.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Di 11.11.2008 | | Autor: | stofffffel |
Hallo Dieter,
danke schonmal für deine Hilfe...
Heisst das also, dass mein Ansatz bei der b.) der richtige ist? denn meiner Meinung ist mein I auch maximal, da es ja die Vielfachen beschreibt, und dann hab ich den Beweis dazu ja schon in der Vorlesung.
Und zur a.) : nein, ich weiss nicht was eine norm ist, zumindest nicht in diesem sinne. euklidischer algorithmus sagt mir aber etwas...
danke schonmal, lg
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