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moin,
für eine Hausaufgabe würde ich gerne eine schöne, kleine Aussage verwenden, die ich aber leider nicht sauber bewiesen kriege.
Dafür ist $R$ ein kommutativer Ring mit 1, $I,J$ sind zwei Ideale in $R$.
Dann ist $[J] := [mm] \{j+I \mid j \in J \}$ [/mm] ein Ideal in $R/I$ (sollte stimmen, oder?).
Identifizieren wir $J$ mit $[J]$, so ist $(R/I)/J$ ein wohldefinierter Ring.
Nun wäre es sehr praktisch, wenn $(R/I)/J [mm] \cong [/mm] R/(I+J)$ gelten würde (Isomorphie als Ringe).
Dafür habe ich mir als Abbildung $f : (R/I)/J [mm] \to [/mm] R/(I+J), (x + I)+J [mm] \mapsto [/mm] x + (I+J)$ geschnappt und hoffe, dass das wirklich ein Ringisomorhpismus ist; leider kann ich nur die Bijektivität halbwegs begründen, insbesondere die Wohldefiniertheit macht mir bei so vielen Restklassen Sorgen...
Stimmt die Aussage überhaupt? Und wenn ja, gibt es einen schönen Weg (Homomorphiesatz, etc.) sie zu beweisen?
Benutzen möchte ich sie für folgende Aufgabe:
| Aufgabe | | Zeige, dass das Ideal [mm] $\langle [/mm] 3 [mm] \rangle$ [/mm] in [mm] $\IZ[\sqrt{2}] [/mm] = [mm] \IZ[x]/\langle x^2-2 \rangle$ [/mm] maximal ist. |
Wenn die Aussage von oben gilt, dann kann man einen Schritt weiter gehen (da $I+J = J+I$) und erhält $(R/I)/J [mm] \cong [/mm] (R/J)/I$.
Auf die Aufgabe angewand ist also [mm] $\IZ[\sqrt{2}]/\langle3\rangle \cong \IZ_3[x]/\langle x^2-2\rangle \cong \IF_9$ [/mm] ein Körper, also [mm] $\langle 3\rangle$ [/mm] ein maximales Ideal in [mm] $\IZ[\sqrt{2}]$.
[/mm]
Wenn die Vertauschbarkeit der Ideale also stimmen würde, wäre das sehr praktisch; und wenn es dafür einen schönen Beweis gibt, den ich nur gerade nicht sehe, wäre das natürlich um so besser.
Danke schonmal für Hilfe.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Do 11.04.2013 | | Autor: | hippias |
> moin,
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> für eine Hausaufgabe würde ich gerne eine schöne, kleine
> Aussage verwenden, die ich aber leider nicht sauber
> bewiesen kriege.
> Dafür ist [mm]R[/mm] ein kommutativer Ring mit 1, [mm]I,J[/mm] sind zwei
> Ideale in [mm]R[/mm].
> Dann ist [mm][J] := \{j+I \mid j \in J \}[/mm] ein Ideal in [mm]R/I[/mm]
> (sollte stimmen, oder?).
> Identifizieren wir [mm]J[/mm] mit [mm][J][/mm],
Das wuerde ich besser nicht machen; schreibe vielleicht besser $[J]= J+I/I$.
> so ist [mm](R/I)/J[/mm] ein
> wohldefinierter Ring.
> Nun wäre es sehr praktisch, wenn [mm](R/I)/J \cong R/(I+J)[/mm]
> gelten würde (Isomorphie als Ringe).
Das gilt auch, das ist einer der Homomorphiesaetze: Hat man Ideale [mm] $L\leq [/mm] M$ von $R$, so gilt die Isomorphie [mm] $R/M\cong [/mm] (R/L)/(M/L)$.
> Dafür habe ich mir als Abbildung [mm]f : (R/I)/J \to R/(I+J), (x + I)+J \mapsto x + (I+J)[/mm]
> geschnappt und hoffe, dass das wirklich ein
> Ringisomorhpismus ist; leider kann ich nur die
> Bijektivität halbwegs begründen, insbesondere die
> Wohldefiniertheit macht mir bei so vielen Restklassen
> Sorgen...
> Stimmt die Aussage überhaupt? Und wenn ja, gibt es einen
> schönen Weg (Homomorphiesatz, etc.) sie zu beweisen?
>
> Benutzen möchte ich sie für folgende Aufgabe:
> Zeige, dass das Ideal [mm]\langle 3 \rangle[/mm] in [mm]\IZ[\sqrt{2}] = \IZ[x]/\langle x^2-2 \rangle[/mm]
> maximal ist.
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> Wenn die Aussage von oben gilt, dann kann man einen Schritt
> weiter gehen (da [mm]I+J = J+I[/mm]) und erhält [mm](R/I)/J \cong (R/J)/I[/mm].
>
> Auf die Aufgabe angewand ist also
> [mm]\IZ[\sqrt{2}]/\langle3\rangle \cong \IZ_3[x]/\langle x^2-2\rangle \cong \IF_9[/mm]
> ein Körper, also [mm]\langle 3\rangle[/mm] ein maximales Ideal in
> [mm]\IZ[\sqrt{2}][/mm].
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> Wenn die Vertauschbarkeit der Ideale also stimmen würde,
> wäre das sehr praktisch; und wenn es dafür einen schönen
> Beweis gibt, den ich nur gerade nicht sehe, wäre das
> natürlich um so besser.
>
> Danke schonmal für Hilfe.
>
>
> lg
>
> Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Do 11.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> > Nun wäre es sehr praktisch, wenn [mm](R/I)/J \cong R/(I+J)[/mm]
> > gelten würde (Isomorphie als Ringe).
> Das gilt auch, das ist einer der Homomorphiesaetze: Hat
> man Ideale [mm]L\leq M[/mm] von [mm]R[/mm], so gilt die Isomorphie [mm]R/M\cong (R/L)/(M/L)[/mm].
Ja, die gewünschte Aussage ergibt sich durch diesen Isomorphiesatz angewandt auf $L:=I$ und $M:=I+J$. Dabei ist noch zu überlegen, dass tatsächlich $M/L=(I+J)/I$ (was eine abkürzende Schreibweise für [mm] $\{x+I\;|\;x\in I+J\}$ [/mm] ist) tatsächlich mit [mm] $[J]=\{j+I\;|\;j\in J\}$ [/mm] übereinstimmt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Do 11.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Falls du ohne Isomorphiesatz arbeiten möchtest, wendest du am besten zweimal den Homomorphiesatz an (was im Grunde genommen nur den Beweis des Isomorphiesatzes nachahmt):
Die kanonische Projektion [mm] $\pi\colon R\to [/mm] R/(I+J)$ ist surjektiv und erfüllt [mm] $\operatorname{ker}\pi=I+J\supseteq [/mm] I$.
Also induziert sie einen wohldefinierten surjektiven Homomorphismus [mm] $g\colon R/I\to R/(I+J),\quad x+I\mapsto [/mm] x+(I+J)$.
Man kann sich überlegen, dass [mm] $\operatorname{ker}g=[J]$ [/mm] gilt.
Somit induziert $g$ einen wohldefinierten Isomorphismus [mm] $f\colon (R/I)/[J]\to [/mm] R/(I+J)$.
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