Ideale von Polynomringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Do 18.12.2008 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die maximalen Ideale von:
[mm] \IR [/mm] x [mm] \IR
[/mm]
[mm] \IR[X]/(X^{2})
[/mm]
[mm] \IR[X]/(X^{2}-3X+2)
[/mm]
[mm] \IR[X]/(X^{2}+X+1) [/mm] |
Hallo,
ich komme hiermit nicht so ganz zurecht. Ich weiß das die Polynomringe schonmal kommutative Ringe mit 1 sind. Die Ideale die angegeben sind, sind ja alles auch Hauptideale, was mir alles glaub ich ein bisschen vereinfacht. Bin mir nur nicht ganz sicher wie!
Außerdem weiß ich noch, das Maximale Ideale in einem kommutativen Ring mit 1 immer automatisch Primideale sind.
Aber wie soll ich jetzt die maximalen Ideale konkret bestimmen? Oder reicht es nicht auch die Primideale zu bestimmen weil diese hier dann auch maximal sein müssen?
Wie kann ich das was ich geschrieben habe auch ausnutzen? Oder besser gesagt, kann ich überhaupt ausnutzen was ich oben geschrieben habe?
Wie muss ich vorgehen?
Wäre nett wenn mir ausnahmsweise mal jemand helfen könnte. Bis jetzt kam auf solche Fragen nämlich nie eine Antwort.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Do 18.12.2008 | | Autor: | PeterB |
Ich würde sagen, dass dir am ehesten folgender Fakt weiterhilft:
Wenn $R$ ein kommutativer Ring ist und $I$ ein Ideal von $R$, dann ist $I$ maximal, genau dann wenn $R/I$ ein Körper ist.
Wie sieht das jetzt in deinem Fall aus? Dein Ring enthält immer [mm] $\mathbb [/mm] R$, also muss dein Körper auch [mm] $\IR$ [/mm] enthalten. Alle deine Ringe sind endlich dimensional über [mm] $\IR$, [/mm] also ist dein Körper eine endliche Erweiterung von [mm] $\IR$, [/mm] das heißt [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$. [/mm]
Der Homo- oder Isomorphisatz für Ringe, sagt dir jetzt, dass du die maximalen Ideale als kerne von Homomorphismen von dem jeweiligen Ring nach [mm] $\IC$ [/mm] schreiben kannst, wobei [mm] $\IR$ [/mm] in natürlicher weise in [mm] $\IC$ [/mm] eingebettet wird.
Wie beschreibt man nun die Homomorphismen? Nun jeder Homomorphismus in den Fällen 2-4 induziert einen Homomorphismus von [mm] $\IR[X]$ [/mm] nach [mm] $\IC$, [/mm] diese sind aber durch das bild von $X$ eindeutig bestimmt. Und das ein Polynom im Kern liegt, bedeutet, dass es null wird, wenn mal das bild von $X$ einsetzt.
Den ersten Fall kann man entweder sehr elementar lösen, oder man überlegt sich, dass es von [mm] $\IR\times\IR$ [/mm] keine surjektiven Homomorphismen nach [mm] $\IC$ [/mm] geben kann (Dimension!) und dann ist es leicht zu sehen, was die Homomorphismen sind, die den (diagonal eingebetteten) Teilkörper [mm] $\IR$ [/mm] kanonisch nach [mm] $\IC$ [/mm] einbetten.
Das sind soweit meine Herangehensweisen. Ver such sie mal anzuwenden wenn es nicht klappt melde dich noch mal.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Do 18.12.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
danke erstmal für die Antwort.
Ich verstehe zum Teil was du meinst aber ich habe absolut keine Ahnung wie ich das was du gesagt hast anwenden soll.
Ich weiß das die Ideale eines Ringes die Kerne von Homomorphismen dieses Ringes sein müssen. Nun muss ich also alle Homomorphismen [mm] \phi: \IR[X]/(X^{2}) \mapsto R^{'} [/mm] finden, wobei [mm] R^{'} [/mm] der Erweiterungsring meines Faktorrings ist und von diesen dann jeweils den Kern. Ist das soweit richtig?
Wenn mein Faktorring ein Körper ist, dann sind diese Kerne also die maximalen Ideale.
Könnte man als Homomorphismus nicht den Einsetzhomomorphismus nehmen und das für alle Elemente aus [mm] R^{'}?
[/mm]
Ich habe keine Ahnung, ob das so stimmt was ich hier schreibe.
Wäre super wenn du mir noch ein bisschen weiterhelfen könntest.
Danke und Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Fr 19.12.2008 | | Autor: | PeterB |
Genau, der Punkt ist: Normaler weise können viele verschiedene $R'$ als Bild auftreten. Selbst, wenn du nur maximale Ideale suchst, also weißt, dass das Bild ein Körper ist, sind noch sehr viele Körper möglich. Hier ist die Situation aber viel besser: dein Ring [mm] $\IR\times\IR$, $\IR[X]/(X^2)$ [/mm] usw. enthält immer den Unterkörper [mm] $\IR$. [/mm] Jetzt wissen wir aber, dass Ringhomomorphismen eingeschränkt auf Körper injektiv sind, d.h. Auch das Bild enthält [mm] $\IR$. [/mm] Da alle Ringe endlich dimensional über [mm] $\IR$ [/mm] sind, ist es auch das Bild und es gibt nur zwei Körper, die Endlich dimensional als [mm] $\IR$ [/mm] Vectorraum sind, nämlich [mm] $\IR$ [/mm] selbst und [mm] $\IC$.
[/mm]
Nun sind deine Ringe jeweils erzeugt von einen Element als Algebra über [mm] $\IR$. [/mm] (Im 1. Fall von $(1,0)$ in den anderen Fällen von $X$). Das heißt, wenn du noch weißt auf welches Element von [mm] $\IC$ [/mm] das Erzeugende abgebildet wird, dann ist der Homomorphismus eindeutig bestimmt. Mit anderen Worten die Menge der Morphismen, kann man in natürlicher Weise als Teilmenge von [mm] $\IC$ [/mm] auffassen. Es bleibt zu untersuchen, welche Teilmenge:
Nehmen wir als Beispiel mal den 2. Fall: Sei [mm] $\phi:\IR[X]/(X^2)\rightarrow \IC$ [/mm] ein Morphismus. Nun gilt in [mm] $\IR[X]/(X^2)$ [/mm] die Beziehung [mm] $X^2=0$. [/mm] daraus folgt [mm] $\phi(X)^2=\phi(X^2)=\phi(0)=0$. [/mm] Das Element [mm] $\phi(x)\in \IC$ [/mm] ist also ein Element, dessen Quadrat 0 ist. Es gibt aber nur ein soches Element, nämlich 0. Das heißt es gibt auch nur ein maximales Ideal nämlich den Kern von dem Morphismus, der ein Polynom in [mm] $\IR[X]$ [/mm] auf den wert bei 0 schickt. Dieser Kern wird erzeugt von $(X-1)=(X)$.
Die anderen Fälle löst man sehr ähnlich.
Gruß
Peter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:37 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Also ich habe die Aufgabe jetzt auch mal versucht:
Wir suchen ein Ideal so dass R ein Körper wird. Wenn R ein Körper sein soll, dann muss das Polynom ja irreduzibel sein oder? also suchen wir ein Ideal welches mit dem Polynom multipliziert ein irreduzibles Polynom ergibt?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 15.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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