Idealer Fluss < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ein fluss fliesst in idealer Weise um einen Stein mit dem Radius 1, mit dem Fluss durchs xy plane und in postive x-Richtung. Das einfache Model beginnt mit derm Potentialfunktion: [mm]\phi[/mm] [mm] =x+\bruch{x}{x^2+y^2}
[/mm]
a) Finde das Geschwindigkeitsvektorfeld v=grad [mm]\phi[/mm]
b)Verwende Maple um das Vektorfeld ausserhalb des Kreises zu zeichnen
c) Zeige, dass der Fluss tangential zu dem Kreis [mm] x^2+y^2=1 [/mm] ist. Was soviel heisst, dass kein Wasser den Kreis ueberquert.
Zeige dass div v=0 und erklaere die Bedeutung. |
Hallo,
zu a) dass ist ja einfach der Gradient von der Funktion einmal mit respekt zu x und des andere mal zu y und dann habe ich folgendes rausbekommen:
grad [mm] \phi= (\bruch{-(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2)}+1)i +(\bruch{-2xy}{(x^2+y^2)^2)})j
[/mm]
zu b) Leider kenne ich mich mit Maple rein gar nicht aus
c) Ich dachte dass wenn man die Tangente zu dem Kreis findet welche y=t ist. Dass man dann irgendwie wieter kommt, aber leider weiss ich nicht wie.
Vielen Vielen Dank fuer eure Hilfe
Julia
|
|
| |
|
Hallom
> Ein fluss fliesst in idealer Weise um einen Stein mit dem
> Radius 1, mit dem Fluss durchs xy plane und in postive
> x-Richtung. Das einfache Model beginnt mit derm
> Potentialfunktion: [mm]\phi[/mm] [mm]=x+\bruch{x}{x^2+y^2}[/mm]
> a) Finde das Geschwindigkeitsvektorfeld v=grad [mm]\phi[/mm]
> b)Verwende Maple um das Vektorfeld ausserhalb des Kreises
> zu zeichnen
> c) Zeige, dass der Fluss tangential zu dem Kreis [mm]x^2+y^2=1[/mm]
> ist. Was soviel heisst, dass kein Wasser den Kreis
> ueberquert.
> Zeige dass div v=0 und erklaere die Bedeutung.
> Hallo,
> zu a) dass ist ja einfach der Gradient von der Funktion
> einmal mit respekt zu x und des andere mal zu y und dann
> habe ich folgendes rausbekommen:
> grad [mm]\phi= (\bruch{-(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2)}+1)i +(\bruch{-2xy}{(x^2+y^2)^2)})j[/mm]
>
ich vertraue mal, dass du da richtig gerechnet hast. 
> zu b) Leider kenne ich mich mit Maple rein gar nicht aus
ich auch nicht, sorry.
> c) Ich dachte dass wenn man die Tangente zu dem Kreis
> findet welche y=t ist. Dass man dann irgendwie wieter
> kommt, aber leider weiss ich nicht wie.
ich wuerde den einheitskreis durch eine kurve [mm] $\gamma(t)$ [/mm] parametrisieren. Dann [mm] $\nabla \phi (\gamma(t)$, [/mm] also den gradienten der funktion (der ja den fluss beschreiben soll) auf dem kreis berechnen. das bekommst du, indem du die komponenten von [mm] \gamma [/mm] einfach in die gradienten-gleichung einsetzt. Dann berechnest du das normalenfeld $n(t)$ zu [mm] $\gamma$ [/mm] und zeigst [mm] $\langle \nabla \phi (\gamma(t), n(t)\rangle [/mm] =0$ (skalarprodukt). was ja bedeutet, dass der fluss tangential zum kreis ist. eigentlich ganz einfach!  im ernst, versuche mal, das schritt fuer schritt zu umzusetzen und melde dich nochmal, wenn es probleme gibt.
gruss
Matthias
|
|
|
| |
|
Hallo, ich habe jetzt den Kreis in cos (t), sin(t) umgewandelt und der gradient waere dann -sin(t)i+cos(t) und was dann?
Vielen Dank
Julia
|
|
|
| |
|
> Hallo, ich habe jetzt den Kreis in cos (t), sin(t)
> umgewandelt und der gradient waere dann -sin(t)i+cos(t)
> und was dann?
> Vielen Dank
> Julia
dann bist du fast fertig! hast du dir den gradienten mal als vektor am kreis aufgezeichnet?
|
|
|
|
