Idee < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Mi 13.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Seien X1,...,Xn unabhängige normalverteilte zufallsvariablen mit Varianzen [mm] \sigma_{k}^{2} [/mm] = V(Xk) [mm] \in [0,\infty).
[/mm]
Außerdem seien a1,...,an,b1,...,bn Zahlen mit der Eigenschaft :
[mm] \summe_{k=1}^{n} \sigma_{k}^{2} a_{k}b_{k} [/mm] = 0
Zeigen sie, dass die ZV [mm] X:=\summe_{i=1}^{n} X_{k}a_{k} [/mm] und [mm] Y:=\summe_{i=1}^{n} X_{k}b_{k} [/mm] und unabhängig sind. |
Hi, ich habe hier gerade keine Idee leider.
Wie gehe ich am besten vor? Stupide die Unabhängigkeitsgleichung zeigen?
Wird glaube ich so ein bisschen eklig?
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mi 13.06.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Seien X1,...,Xn unabhängige normalverteilte
> zufallsvariablen mit Varianzen [mm]\sigma_{k}^{2}[/mm] = V(Xk) [mm]\in [0,\infty).[/mm]
>
> Außerdem seien a1,...,an,b1,...,bn Zahlen mit der
> Eigenschaft :
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \sigma_{k}^{2} a_{k}b_{k}[/mm] = 0
>
> Zeigen sie, dass die ZV [mm]X:=\summe_{i=1}^{n} X_{k}a_{k}[/mm] und
> [mm]Y:=\summe_{i=1}^{n} X_{k}b_{k}[/mm] und unabhängig sind.
> Hi, ich habe hier gerade keine Idee leider.
>
> Wie gehe ich am besten vor? Stupide die
> Unabhängigkeitsgleichung zeigen?
Es bleibt dir wahrscheinlich nicht viel anderes übrig.
>
> Wird glaube ich so ein bisschen eklig?
Durch die Bedingung [mm] $\summe_{k=1}^{n} \sigma_{k}^{2} a_{k}b_{k}=0$
[/mm]
geht das ganze aber. Da fallen eine Menge Terme aus der Summe heraus, wenn ich das auf die Schnelle richtig sehe.
>
> lg
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 13.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ok aber wie?
Sehe da gerade garnicht,wo ich diese Summe mit der Varianz einbringe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mi 13.06.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin, weisst du, dass der Vektor $(X,Y)_$ bivariat normalverteilt ist? Weisst du, dass dann aus der Unkorrliertheit die Unabhaengigkeit von $X_$ und $Y_$ folgt?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Mi 13.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Den Satz kenne ich,aber komme damit gerade nicht weiter?
Wo ergibt sich hier ein (X,Y) Vektor? Wie fange ich dann an?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mi 13.06.2012 | | Autor: | luis52 |
> Den Satz kenne ich,aber komme damit gerade nicht weiter?
>
> Wo ergibt sich hier ein (X,Y) Vektor?
Wieso? $X_$ und $Y_$ sind doch gegeben, also auch der Vektor $(X,Y)_$.
> Wie fange ich dann an?
Indem du [mm] $\operatorname{Cov}[X,Y]$ [/mm] berechnest.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 13.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ich steh aufm Schlauch..
Also Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) = [mm] E(\summe_{k=1}^{n}a_{k}X_{k} \summe_{k=1}^{n}b_{k}X_{k}) -E(\summe_{k=1}^{n}a_{k}X_{k})*E(\summe_{k=1}^{n}b_{k}X_{k})
[/mm]
..?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mi 13.06.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich steh aufm Schlauch..
>
> Also Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) =
> [mm]E(\summe_{k=1}^{n}a_{k}X_{k} \summe_{k=1}^{n}b_{k}X_{k}) -E(\summe_{k=1}^{n}a_{k}X_{k})*E(\summe_{k=1}^{n}b_{k}X_{k})[/mm]
>
> ..?
Weitermachen:
[mm] $\operatorname{E}(\summe_{k=1}^{n}a_{k}X_{k} \summe_{k=1}^{n}b_{k}X_{k}) =\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}a_{i}b_j\operatorname{E}[X_{i}X_{j})]=\ldots$
[/mm]
Kann es sein, dass du dich im Vorfeld nicht allzu ausfuehrlich mit der Materie beschaeftigt hast?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mi 13.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Naja ich versuche mit dem Material von den Tutorien und Übungen aus der vorigen Woche zu arbeiten aber das hilft mir persönlich nicht wirklich weiter... va in der Übung haben wir völlig andere SAchen gemacht.
Zb beim Schritt mit der Doppelsumm und dem Erwartungswert reinziehen habe ich mir aber an den Kopf hauen müssen, bin wohl noch schläfrig...
Also ...Cov(X,Y) = [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{i=j}^{n}a_{i}b_{j}E(X_{i}Y_{j}) [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}a_{i}b_{j}\mu_{i}\mu_{j}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mi 13.06.2012 | | Autor: | luis52 |
> bin wohl noch schläfrig...
In der Tat.
>
> Also [mm] $\operatorname{Cov}(X,Y) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{i=j}^{n}a_{i}b_{j}E(X_{i}Y_{j}-\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}a_{i}b_{j}\mu_{i}\mu_{j}$
[/mm]
In der Aufgabenstellung sehe ich weit und breit kein [mm] $Y_j$ [/mm] ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 13.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Hab mich verschrieben, war natürlich [mm] X_{j} [/mm] gemeint.
Die Aufgabe hängt jtztnurnoch davon ab,dass [mm] E(X_{i}X_{j}) [/mm] = [mm] m_{i}m_{j} [/mm] gilt.
Damit ja gilt Cov(X,Y) = 0
lg
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Die Aufgabe hängt jtztnurnoch davon ab,dass [mm]E(X_{i}X_{j})[/mm]
> = [mm]m_{i}m_{j}[/mm] gilt.
Was weißt du denn über die [mm] $X_i$ [/mm] für [mm] $i\not=j$? [/mm] Für i=j steht da was?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:13 Mi 13.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Naja für Ungleichheit von i und j gilt
Unabhängigkeit, dh wir ziehen
Die E auseinander zum
Produkt.
Und für [mm] E(X^{2}) [/mm] gilt... Hmm. Kann man hier die Varianz Gleichung umstellen?
V= [mm] E(X^{2}) [/mm] - [mm] E(X)^{2} [/mm] <=> [mm] E(X^{2})= [/mm] V+ [mm] E(X)^{2} [/mm] = [mm] \sigma^{2} [/mm] + [mm] \mu^{2}
[/mm]
Das geht dann aber nicht auf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 13:22 Mi 13.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ach die m's addieren sich zu 0 mit der hinteren Summe und die Summe mit dem Sigma quadrat ist ja eh 0? Geht das mit der Doppelsumme auf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 15.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 15.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
