Idempotente Element < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R ein Ring. Ein Element x [mm] \in \IR [/mm] heißt idempotent wenn $ [mm] x^2 [/mm] = x $ gilt.
a) Wieviele idempotente Elemente gibt es in $ [mm] \IZ [/mm] / [mm] m\IZ [/mm] $, wenn $ m [mm] =p_1^{\;n_1} [/mm] * ... * [mm] p_k^{\;n_k} [/mm] $ die Primfaktorzerlegung von m bezeichnet?
b) Welches sind die idempotenten Elemente in $ [mm] \IZ [/mm] / [mm] 210\IZ [/mm] $ |
Guten morgen..
zu a) weiß ich leider nichts.
zu b) habe ich $ 210=2*3*5*7 $ aber weiter weiß ich dort auch nicht.
Ich komme bei dieser Aufgabe leider auf keinen grünen Zweig. -.-
Hätte jmd. Lust zu helfen?
Gruß
Striker_03
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Wir haben stets 0 und 1 als Idempotente. Wir nehmen daher an, dass x von diesen verschieden ist.
Wenn $ x $ idempotent ist, dann ist $ x (x-1)=0$, also gilt $ [mm] m\mid [/mm] x (x-1) $. Nun sind aber $ x $ und $ x-1$ teilerfremd. Es gibt daher teilerfremde $ r, s $ mit $ m=rs $, $ [mm] r\mid [/mm] x $, $ [mm] s\mid [/mm] x-1$.
Falls n eine Primzahlpotenz ist, ist das überhaupt nicht möglich. Dort sind also 0 und 1 die einzigen Idempotenten.
Ich nehme an, dass man die übrigen Fälle durch Zerlegen des Ringes mithilfe des chin. Restsatzes hierauf zurückführen kann. Mache dir doch einmal Gedanken hierzu.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Danke, aber deine Antwort war jetzt auf a) oder?
und bei b) ?
LG
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210=2*3*5*7. [mm] $\IZ/210\cong\IZ/2\times\IZ/3\times\IZ/5\times\IZ/7$. [/mm] Die Idempotenten aus dem letzteren Ring kann man nun leicht bestimmen gemäß meiner obigen Antwort. Wenn du einen konkreten Isomorphismus findest, kann man genau deren Urbilder nehmen. In wiefern das praktisch möglich ist, eventuell mithilfe des euklidischen Algorithmus oder Ähnlichem, kann ich aber nicht sagen, ich lasse daher die Frage für einen weiteren Antwortgeber offen.
Ansonsten, wenn man naiv daran geht, kann man wenigstens verwenden, dass für jedes idempotente Element $x$ auch $1-x$ idempotent ist, und dass man nur [mm] $2^4$ [/mm] Elemente suchen muss. Ich hoffe, das hilft.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 24.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 210=2*3*5*7.
> [mm]\IZ/210\cong\IZ/2\times\IZ/3\times\IZ/5\times\IZ/7[/mm]. Die
> Idempotenten aus dem letzteren Ring kann man nun leicht
> bestimmen gemäß meiner obigen Antwort. Wenn du einen
> konkreten Isomorphismus findest, kann man genau deren
> Urbilder nehmen. In wiefern das praktisch möglich ist,
> eventuell mithilfe des euklidischen Algorithmus oder
> Ähnlichem, kann ich aber nicht sagen, ich lasse daher die
> Frage für einen weiteren Antwortgeber offen.
Mit Hilfe des euklidischen Algorithmus kann man einen effektiven Beweis vom chinesischen Restsatz angeben, der einem den Isomorphismus explizit liefert. Man berechnet dabei ein paar dieser nicht-trivialen idempotenten Elemente, und kann dann [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/5\IZ \times \IZ/7\IZ \to \IZ/210\IZ$ [/mm] als $(x + [mm] 2\IZ, [/mm] y + 3 [mm] \IZ, [/mm] z + [mm] 5\IZ, [/mm] w + [mm] 7\IZ) \mapsto [/mm] x A + y B + z C + w D + 210 [mm] \IZ$ [/mm] hinschreiben.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 23.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich denke, das Thema gehört in die Algebra.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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