Ident. vert. Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien X,Y Zufallsvariablen mit X,Y stochastisch unabhängig und identisch verteilt mit den Werten [mm] \IN_{0} [/mm] = [mm] \{0,\}. [/mm] (D.h. zum Beispiel wenn X,Y poissonverteilt wären, dann auch mit dem gleichen [mm] \lambda [/mm] ).
Es gelte [mm] \IP(X [/mm] = [mm] k)\not= [/mm] 0 für alle [mm] k\in\IN_{0} [/mm] und weiterhin
[mm] $\IP(X=k|X+Y=n) [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}$,
[/mm]
wobei $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$.
Man bestimme die Verteilung von X. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe komme ich nicht weiter. Bis jetzt habe ich die linke Seite folgendermaßen umgeformt:
[mm] $\IP(X=k|X+Y=n) [/mm] = [mm] \frac{\IP(X=k,Y = n-k)}{\IP(X+Y = n)} \overset{unabhaengig}{=} \frac{\IP(X=k)*\IP(Y = n-k)}{\IP(X+Y = n)} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}$
[/mm]
Nun könnte ich schreiben:
[mm] $\IP(X=k)*\IP(Y [/mm] = n-k) = [mm] \frac{1}{n+1}*\IP(X+Y [/mm] = n) = [mm] \frac{1}{n+1}*\sum_{j=0}^{n}\left(\IP(X = j)*\IP(Y = n-j)\right)$,
[/mm]
aber irgendwie bringt mich das auch nicht auf eine Idee, wie genau X jetzt aussehen könnte...
Wie muss ich an diese Aufgabe rangehen?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 04.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Stefan,
sei [mm] $p_k=P(X=k)=P(Y=k)$, $k=0,1,2,\dots$ [/mm] Du hast ja selber schon das Kriterium
[mm] $\frac{1}{n+1}=\frac{p_kp_{n-k}}{\sum_{i=0}^np_ip_{n-i}}$, $k=0,1,2,\dots$ [/mm]
herausgearbeitet. Stelle dir die Produkte [mm] $p_ip_j$ [/mm] vor in einer unendlichen Tabelle, deren Spalten/Zeilen mit [mm] $p_0,p_1,p_2,\dots$ [/mm] benannt sind. Die erste Diagonale ist [mm] $p_0^2$. [/mm] Die zweite besteht aus den Elementen [mm] $p_1p_0$ [/mm] und [mm] $p_0p_1$. [/mm] Interessant wird's ab der dritten Diagonalen mit den Elementen [mm] $p_2p_0$, $p_1^2$ [/mm] und [mm] $p_0p_2$. [/mm] Nach obigem Kriterium gilt [mm] $3p_1^2=2p_0p_1+p_1^2$, [/mm] also [mm] $p_2=p_1^2/p_0$. [/mm] Scahu dir nun die vierte Diagonale an. Hier geht [mm] $p_3$ [/mm] ein ...
vg Luis
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Hallo Luis,
danke für deine Antwort, damit bin ich schon weitergekommen 
Ich habe nun erstmal die Gleichung für n = 3 betrachtet. Dann komme ich auf:
[mm] $2p_{0}p_{3} [/mm] + [mm] 2p_{1}p_{2} [/mm] = [mm] 4*p_{1}p_{2}$
[/mm]
bzw.
[mm] $2p_{0}p_{3} [/mm] + [mm] 2p_{1}p_{2} [/mm] = [mm] 4*p_{0}p_{3}$.
[/mm]
Die beiden Gleichungen sagen aber dasselbe aus, nämlich:
[mm] $p_{1}p_{2} [/mm] = [mm] p_{0}p_{3} \gdw p_{3} [/mm] = [mm] \frac{p_{1}p_{2}}{p_{0}} [/mm] = [mm] \frac{p_{1}^{3}}{p_{0}^{2}}$.
[/mm]
Dann erhalte ich folgende Tabelle bis zu n = 3:
[mm] \begin{vmatrix}
\times & | & p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3} & ...\\
-& - & - & - & - & - & -\\
p_{0} & | & p_{0}^{2} & p_{0}p_{1} & p_{1}^{2} & \frac{p_{1}^{3}}{p_{0}} & ...\\
p_{1} & | & p_{0}p_{1} & p_{1}^{2} & \frac{p_{1}^{3}}{p_{0}} & ... & ...\\
p_{2} & | & p_{1}^{2} & \frac{p_{1}^{3}}{p_{0}} & ... & ... & ...\\
p_{3} & | & \frac{p_{1}^{3}}{p_{0}} & ... & ... & ... & ...\\
\end{vmatrix}
[/mm]
Daraus schließe ich jetzt Folgendes:
[mm] $p_{k}*p_{n-k} [/mm] = [mm] \frac{p_{0}^{2}}{p_{0}^{n}}*p_{1}^{n}$,
[/mm]
also zum Beispiel auch
[mm] $p_{0}*p_{n} [/mm] = [mm] \frac{p_{0}^{2}}{p_{0}^{n}}*p_{1}^{n}$
[/mm]
[mm] $\gdw p_{n} [/mm] = [mm] \frac{p_{0}}{p_{0}^{n}}*p_{1}^{n} [/mm] = [mm] \frac{p_{1}^{n}}{p_{0}^{n-1}}$
[/mm]
D.h. [mm] p_{n} [/mm] hängt nur von [mm] p_{0} [/mm] und [mm] p_{1} [/mm] ab... Aber wie komme ich jetzt auf eine explizite Formel für [mm] p_{n} [/mm] ? Ich habe mittlerweile durch Probieren schon herausgefunden, dass es sich um eine der geometrischen Verteilung ähnliche Verteilung handeln muss.
Danke für Eure Hilfe und Grüße,
Stefan
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Hallo Luis,
danke für deine erneute Hilfe!
Ich habe jetzt
[mm] $p_{k} [/mm] = [mm] \frac{p_{1}^{k}}{p_{0}^{k-1}}$
[/mm]
in die notwendige Bedingung für [mm] p_{k} [/mm] Zähldichte eingesetzt:
$1 = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}p_{k} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{p_{1}}{p_{0}}\right)^{k}*p_{0} [/mm] = [mm] p_{0}*\frac{1}{1-\frac{p_{1}}{p_{0}}} [/mm] = [mm] \frac{p_{0}^{2}}{p_{0}-p_{1}}$.
[/mm]
Dabei habe ich angenommen, das [mm] $\frac{p_{1}}{p_{0}} [/mm] < 1$, d.h. [mm] $p_{0} [/mm] > [mm] p_{1}$ [/mm] ist, weil sonst die Summe unendlich würde und somit nicht 1 sein könnte.
Diese Gleichung umgeformt, erhalte ich:
[mm] $p_{1} [/mm] = [mm] p_{0}*(1-p_{0})$,
[/mm]
und das jetzt in die Zähldichte von oben eingesetzt:
[mm] $p_{k} [/mm] = [mm] \frac{\left(p_{0}*(1-p_{0})\right)^{k}}{p_{0}^{k-1}} [/mm] = [mm] p_{0}*(1-p_{0})^{k}$.
[/mm]
Das sieht ja nun schon verdächtig nach geometrische Reihe aus
Wie kann ich jetzt begründen, dass ich statt [mm] p_{0} [/mm] auch p schreiben kann? Kann ich einfach sagen, [mm] p_{0} [/mm] ist eine feste Zahl, somit [mm] $p:=p_{0}$ [/mm] ?
Danke für eure Hilfe!!!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Fr 06.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wie kann ich jetzt begründen, dass ich statt [mm]p_{0}[/mm] auch p
> schreiben kann? Kann ich einfach sagen, [mm]p_{0}[/mm] ist eine
> feste Zahl, somit [mm]p:=p_{0}[/mm] ?
Genauso.
Leider muss ich etwas maekeln. Ich meine, du musst noch
[mm] $p_n= \frac{p_{1}^{n}}{p_{0}^{n-1}} [/mm] $
nachweisen ...
vg Luis
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Hallo Luis,
danke für deine Bestätigung!
Bezüglich des Nachweises: Das geht dann wahrscheinlich über eine Induktion über n?
Also setze ich voraus, dass [mm] $p_{n} [/mm] = [mm] \frac{p_{1}^{n}}{p_{0}^{n-1}}$ [/mm] ist und muss dann nachweisen, dass [mm] $p_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{p_{1}^{n+1}}{p_{0}^{n}}$ [/mm] ist?
Mmh... Ich habe ja noch gegeben, dass
[mm] $\sum_{j=0}^{n+1}p_{j}*p_{n+1-j} [/mm] = [mm] (n+2)*p_{k}*p_{n+1-k}$
[/mm]
und insbesondere
[mm] $\sum_{j=0}^{n+1}p_{j}*p_{n+1-j} [/mm] = [mm] (n+2)*p_{0}*p_{n+1}$
[/mm]
ist.
Wenn ich nun den Fall 0 und den Fall n+1 aus der Summe herausziehe, darf ich ja meine Induktionsvoraussetzung [mm] $p_{n} [/mm] = [mm] \frac{p_{1}^{n}}{p_{0}^{n-1}}$ [/mm] benutzen und erhalte:
[mm] $(n+2)*p_{0}*p_{n+1}$
[/mm]
$ = [mm] \sum_{j=0}^{n+1}p_{j}*p_{n+1-j}$
[/mm]
$ = [mm] 2*p_{0}*p_{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^{n}p_{j}*p_{n+1-j}$
[/mm]
[mm] $\overset{IV}{=} 2*p_{0}*p_{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^{n} \frac{p_{1}^{j}}{p_{0}^{j-1}}* \frac{p_{1}^{n+1-j}}{p_{0}^{n-j}}$
[/mm]
$ = [mm] 2*p_{0}*p_{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^{n} \frac{p_{1}^{n+1}}{p_{0}^{n-1}}$
[/mm]
$ = [mm] 2*p_{0}*p_{n+1} [/mm] + [mm] n*\frac{p_{1}^{n+1}}{p_{0}^{n-1}}$,
[/mm]
was ich nun äquivalent umformen kann zu:
[mm] $\gdw n*p_{0}*p_{n+1} [/mm] = [mm] n*\frac{p_{1}^{n+1}}{p_{0}^{n-1}}$
[/mm]
[mm] $\gdw p_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{p_{1}^{n+1}}{p_{0}^{n}}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Fr 06.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Hallo Stefan,
prima, ich glaube jetzt ham wir's.
Alles Gute.
vg Luis
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Danke luis,
für die nette und kompetente Hilfe
Grüße,
Stefan
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Nicht "aehnlich", sondern "die".
