www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Identität Funktionalgl. zeigen
Identität Funktionalgl. zeigen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Identität Funktionalgl. zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mi 03.06.2009
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Sei $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{2k}}{2k+1}$. [/mm] Bestimme den Konvergenzradius dieser Reihe und zeige, dass die Gleichung [mm] $f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) [/mm] = [mm] (1+z^{2})*f(z)$ [/mm] für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit |z| < 1 erfüllt ist.

Hallo!

Bei obiger Aufgabe bräuchte ich einen Ansatz, vielleicht einen Satz der mir helfen kann. Der Konvergenzradius ist 1, und mir ist aufgefallen dass

[mm] $f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) [/mm] = [mm] f\left(\ln(1+z^{2})'\right) [/mm] =  [mm] f\left(\bruch{(z+1)^{2}}{1+z^{2}}-1\right) [/mm] = [mm] (1+z^{2})*f(z)$ [/mm]

Aber das bringt mir glaub ich nicht so viel. Am naheliegendsten wäre es natürlich, das in die Reihe einzusetzen, aber damit habe ich nicht soviel Erfolg...:

[mm] $(1+z^{2})*f(z) [/mm] = [mm] (1+z^{2})*\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{2k}}{2k+1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{2k} + z^{2*(k+1)}}{2k+1} [/mm] = 1 + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2k+1} + \bruch{1}{2k-1}\right)*z^{2k}$ [/mm]

Ich weiß aber nicht inwiefern ich das jetzt zu

[mm] $f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right)= [/mm] 1 + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bruch{\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right)^{2k}}{2k+1}$ [/mm]

verarbeiten kann. Wie gesagt, ich bitte um einen Ansatz!

Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.

        
Bezug
Identität Funktionalgl. zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:26 Mo 08.06.2009
Autor: steppenhahn

Hallo, bin weiterhin an einer Antwort interessiert.
Grüße, Stefan.

Bezug
        
Bezug
Identität Funktionalgl. zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Mo 08.06.2009
Autor: fred97

Es ist für $|z|<1$:

      $ zf(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{2k+1}}{2k+1}$ [/mm]

Somit (geometrische Reihe , Partialbruchzerlegung)

       $(zf(z))' =  [mm] \summe_{k=0}^{\infty}z^{2k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z^2}= 1/2(\bruch{1}{1-z}-\bruch{1}{1+z})$ [/mm]

Daher

     (*)   $wf(w) = 1/2(Log(1-w)-Log(1+w))$ für |w|<1


Setze nun $ w= [mm] \bruch{2z}{1+z^{2}}$. [/mm] Dann folgt aus (*):

  [mm] $\bruch{2z}{1+z^{2}}f(\bruch{2z}{1+z^{2}})$ [/mm] = [mm] $1/2(Log(1-\bruch{2z}{1+z^{2}})-Log(1+\bruch{2z}{1+z^{2}}))$ [/mm]
    
= ....... nachrechnen $..........=2zf(z)$


$Log = $ hauptzweig des Log.

"nachrechnen": bin. Formel, Rechenregeln für Log !!!


FRED

Bezug
                
Bezug
Identität Funktionalgl. zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mo 08.06.2009
Autor: steppenhahn

Hallo Fred,

Deine Idee find' ich sehr gut, vielen Dank dafür!
Also insbesondere die Möglichkeit, doch die Reihe als "richtige" Funktion herauszubekommen!
Für den letzten Schritt erhalte ich

[mm] $\bruch{2z}{1+z^{2}}*f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\log\left(1-\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) -\log\left(1+\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) \right)$ [/mm]

$ = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\log\left(\bruch{(1-z)^{2}}{1+z^{2}}\right) -\log\left(\bruch{(1+z)^{2}}{1+z^{2}}\right) \right)$ [/mm]

$ = [mm] \bruch{1}{2}*\Big(2*\log\left(1-z\right) [/mm] - [mm] \log(1+z^{2}) -2*\log\left(1+z\right) [/mm] + [mm] \log\left(1+z^{2}\right)\Big)$ [/mm]

$ = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\log\left(1-z\right) - \log\left(1+z\right) \right)$ [/mm]

So okay :-) ?
Viele Grüße, Stefan.

Bezug
                        
Bezug
Identität Funktionalgl. zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Mo 08.06.2009
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> Deine Idee find' ich sehr gut, vielen Dank dafür!
>  Also insbesondere die Möglichkeit, doch die Reihe als
> "richtige" Funktion herauszubekommen!
>  Für den letzten Schritt erhalte ich
>  
> [mm]\bruch{2z}{1+z^{2}}*f\left(\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) = \bruch{1}{2}*\left(\log\left(1-\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) -\log\left(1+\bruch{2z}{1+z^{2}}\right) \right)[/mm]
>  
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left(\log\left(\bruch{(1-z)^{2}}{1+z^{2}}\right) -\log\left(\bruch{(1+z)^{2}}{1+z^{2}}\right) \right)[/mm]
>  
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left(2*\log\left(1-z\right) - \log(1+z^{2}) -2*\log\left(1+z\right) + \log(1+z^{2}\right) \right)[/mm]
>  
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left(\log\left(1-z\right) - \log\left(1+z\right) \right)[/mm]
>


Der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist zuviel !

FRED


> So okay :-) ?
>  Viele Grüße, Stefan.


Bezug
                                
Bezug
Identität Funktionalgl. zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:02 Mo 08.06.2009
Autor: steppenhahn

Hallo fred,

danke für deine Korrektur :-)
War ein "Tippfehler".

Grüße, Stefan.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]