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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hi,
muss ich, um die aufgabe zu lösen, dass integral lösen? mein ansatz für das integral wäre folgender:
[mm] f(z)=\bruch{1}{(z-a)(z-b)} [/mm] und [mm] z(t)=r*e^{it} [/mm] mit [mm] 0\le t\le\pi [/mm] und r>0 mein parametrisierter halbkreis. [mm] z'(t)=ire^{it} [/mm] => [mm] f(z(t))=\bruch{1}{(re^{it}-a)(re^{it}-b)} [/mm] => [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{(re^{it}-a)(re^{it}-b)}*ire^{it}} [/mm] zu lösen? dann entsprechend a,b, r wählen und schauen, was passiert?
oder muss ich das integral mit der cauchy'schen integralformel lösen?
bin dankbar für jede hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Fall 1: r<a. Setze $f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-a)(z-b)}$
[/mm]
Berechne nun das Integral mit dem Cauchyschen Integralsatz
Fall 2: a<r<b. Setze $f(z) = [mm] \bruch{1}{z-b}$
[/mm]
Berechne mal f(a) mit der Cauchyschen integralformel
Fall 3: den bekommst Du jetzt wohl selber hin
FRED
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hi,
danke für deine schnelle antwort.
also fall 2: die CIF kann ich aber nur anwenden, wenn [mm] z_{0} [/mm] ein innerer punkt von K ist. und das sagt mir a<r<b? begrenzen a und b also den bereich K? aber r ist ja nich [mm] z_{0}. [/mm] oder wie kann ich a<r<b entsprechend interpretieren? und warum kann ich nich [mm] f(z)=\bruch{1}{z-a} [/mm] nehmen? dass dann nich [mm] 2\pi*i*\bruch{1}{a-b} [/mm] rauskommt hab ich gesehen. aber warum muss man eben f(z) entsprechend setzen?
fall 1 und 3 muss man dann wohl mit dem integralsatz zeigen. dann muss man aber zeigen, dass f analytisch ist und K eine geschlossene Kurve in der einfach zusammenhängenden offenen Menge G ist. weiter würde dann r<a bzw. r>b heißen, dass es eben keinen innneren punkt [mm] z_{0} [/mm] gibt?
wenn man nun alle vorraussetzungen gezeigt hat, wendet man einfach den CIS an und setzt das integral = 0?
wär schön, wenn du mir hier nochma weiterhelfen könntest. oda sonst jemand, der es weiß ; ) sg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Do 04.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zur Berechnung gehe wir folgt vor:
-> Partialbruchzerlegung
Du erhaelst (wegen [mm] $a\neq [/mm] b$) etwas in der Form
[mm] $\frac{1}{(z-a)(z-b)}=\frac{A}{(z-a)}+\frac{B}{(z-b)}$
[/mm]
Nun gilt
[mm] $\int_{\partial B_r(0)}\frac{1}{(z-a)(z-b)}dz=\int_{\partial B_r(0)}\frac{A}{(z-a)}dz+\int_{\partial B_r(0)}\frac{B}{(z-b)}dz$
[/mm]
und Du musst die zwei Integrale auf der rechten Seite berechnen. Dazu benoetigst Du die Cauchysche Integralformel und den Cauchyschen Integralsatz. Dies sollte Dir dabei helfen:
1. Falls $a$ (bzw. $b$) innerhalb von [mm] $B_r(0)$ [/mm] liegt, so musst Du die Cauchysche Integralformel auf das erste (bzw. zweite) Integral anwenden.
2. Falls $a$ (bzw. $b$) ausserhalb von [mm] $B_r(0)$ [/mm] liegt, so musst Du den Cauchyschen Integralsatz auf das erste (bzw. zweite) Integral anwenden.
3. Falls $a$ (bzw. $b$) auf dem Rand von [mm] $B_r(0)$ [/mm] liegt, so ist das Kurvenintegral nicht wohldefiniert und existiert nicht.
Ich hoffe, dass Dir das weiterhilft.
Gruss Denny
P.S.: Du kannst ueberings (wenn Du die Aufgabe geloest hast) damit den Satz von Liouville beweisen.
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hi,
vielen dank. hat mir weiter geholfen. aber ich hab jetzt nochma ne frage zum integralsatz. also wie man sieht is a wegen a>r kein innerer punkt und wegen b>a is b auch keiner. deshalb integralsatz. also hab ich pbz gemacht und erhalte dann 2 integrale, die addiert 0 ergeben. muss ich die denn jetzt ausrechnen um zu beweisen, dass die wirklich 0 ergeben? oda kann ich mit dem integralsatz argumentieren, dass meine vorraussetzungen erfüllt sind und die beiden integrale addiert - bzw mein gegebenes eines integral, was ja das gleiche is - 0 ergeben (ergibt)?
und zu fall 3: beides innere punkte, integralformel:
1. integral mit [mm] \bruch{A}{z-a}: [/mm] f(z)=A
2. integral mit [mm] \bruch{B}{z-a}: [/mm] f(z)=B
hier haben wir bei f(z) garkeine z-abh. trotzdem richtig? die beiden int. addiert ergeben bei mir dann auch 0.
sg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> hi,
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> vielen dank. hat mir weiter geholfen. aber ich hab jetzt
> nochma ne frage zum integralsatz. also wie man sieht is a
> wegen a>r kein innerer punkt und wegen b>a is b auch
> keiner. deshalb integralsatz. also hab ich pbz gemacht und
> erhalte dann 2 integrale, die addiert 0 ergeben. muss ich
> die denn jetzt ausrechnen um zu beweisen, dass die wirklich
> 0 ergeben? oda kann ich mit dem integralsatz argumentieren,
Natürlich, dafür sind Sätze da !!
> dass meine vorraussetzungen erfüllt sind und die beiden
> integrale addiert - bzw mein gegebenes eines integral, was
> ja das gleiche is - 0 ergeben (ergibt)?
>
> und zu fall 3: beides innere punkte, integralformel:
>
> 1. integral mit [mm]\bruch{A}{z-a}:[/mm] f(z)=A
> 2. integral mit [mm]\bruch{B}{z-a}:[/mm] f(z)=B
>
> hier haben wir bei f(z) garkeine z-abh. trotzdem richtig?
> die beiden int. addiert ergeben bei mir dann auch 0.
Tipp:
[mm] $\int_{\partial B_r(0)}\frac{1}{(z-a)}dz [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i$
Das dürfte Dir bekannt sein
FRED
>
> sg
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jetzt isses mir bekannt :) also irgendwie werd ich schon ne 0 rausbekommen. vielen dank für deine hilfe.
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