Identität von Permutationen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | [mm] \pi=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3}
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] \pi^{100} [/mm] |
Hallo!
Erstmal meine Vorüberlegungen zur Aufgabe.
Ich meine gehört zu haben, dass die Identität von Permutationen [mm] \pi^{4} [/mm] ist. Demnach hätte ich gesagt [mm] \pi^{100}=id, [/mm] da ich 25 mal die Identität anwenden. Aber wenn ich z.B. die Permutation
[mm] \pi=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3} [/mm] betrachte stimmt das nicht:
[mm] \pi^{4}=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 2 & 4 & 3}
[/mm]
Dann habe ich gelesen (Wikipedia), dass die Identität [mm] \pi^{k}=id [/mm] ist, wobei k immer das kleinste gemeinsame Vielfache der Länge der Zyklen von
Demnach müsste bei meiner Permutation [mm] \pi=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3}: \pi=(1,4)\circ(2,5,3) \Rightarrow [/mm] Zyklen der Länge 2 und 3 [mm] \Rightarrow [/mm] das kleinste gemeinsame Vielfache ja 6 sein, also [mm] \pi^{6}=id
[/mm]
(Frage dazu: Sind die Zyklen/Länge der Zyklen richtig gebildet?)
[mm] \Rightarrow \pi\circ\pi\circ\pi\circ\pi\circ\pi\circ\pi=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5}\not=id
[/mm]
Hoffe jemand kann mir die Identität von Permutationen erklären!
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Hallo
> [mm]\Rightarrow \pi\circ\pi\circ\pi\circ\pi\circ\pi\circ\pi=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5}\not=id[/mm]
Hä? Wieso [mm] \not= [/mm] id???
Ich habs zwar nicht nachgerechnet, aber das sieht für mich ziemlich nach der Identität aus ^^ Ich meine, die 1 wird auf die 1 abgebildet, die 2 auf die 2....
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Lyrn |
Die Identität von [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3} [/mm] müsste doch wieder [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3} [/mm] sein oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Do 14.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Zu jeder Menge $M$ gibt es die natürliche Bijektion [mm] $\operatorname{id}_M:M\ni x\mapsto x\in [/mm] M$, und die heißt "Identität" auf $M$. Sei nun [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine feste natürliche Zahl. Dann kann man die Menge [mm] $\IN_n:=\{1,2,...,n\}$ [/mm] betrachten und die Menge [mm] $S_n$ [/mm] der Bijektionen von [mm] $\IN_n$ [/mm] in sich. Dann ist [mm] $(S_n,\circ)$ [/mm] eine Gruppe, wobei [mm] $\circ$ [/mm] die Vekettung von Abbildungen ist und das neutrale Element ist eben genau die Abbildung [mm] $\operatorname{id}_{\IN_n}$.
[/mm]
Nun gibt es für die Elemente [mm] $\pi\in S_n$ [/mm] halt die Darstellung die du auch schon benutzt hast, sozusagen als "Wertetabelle", d.h. man schreibt [mm] $$\pi=\pmat{1&2&...&n\\\pi(1)&\pi(2)&...&\pi(n)}.$$ [/mm] Dann gilt aber offensichtlich [mm] $$\operatorname{id}_{\IN_n}=\pmat{1&2&...&n\\1&2&...&n}$$ [/mm] In deinem konkreten Beispiel gilt also offensichtlich [mm] $\pi^6=\operatorname{id}:=\operatorname{id}_{\IN_5}. [/mm] Kurz gesagt: [mm] $\pi^6$ [/mm] ist die Identität!
Gruß, Robert
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Hallo, sitze gerade an der selben Aufgabe und habe mich gefragt, wenn [mm]$\pi^6$[/mm] schon die Identität ist, dann führt ja jede weitere Verknüpfung mit der obigen Permutation wieder zur Identität, oder?
Dann würde ja für [mm]$\pi^{100}$[/mm] wieder die Identität rauskommen.
Liege ich da richtig?
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Hallo!
> Hallo, sitze gerade an der selben Aufgabe und habe mich
> gefragt, wenn [mm]$\pi^6$[/mm] schon die Identität ist, dann führt
> ja jede weitere Verknüpfung mit der obigen Permutation
> wieder zur Identität, oder?
> Dann würde ja für [mm]$\pi^{100}$[/mm] wieder die Identität
> rauskommen.
> Liege ich da richtig?
>
Leider nein :)
Wenn [mm] \pi^{6} [/mm] = id, so ist [mm] \pi \circ [/mm] id = [mm] \pi...
[/mm]
Somit hast du beispielsweise [mm] \pi^{7} [/mm] = [mm] \pi^{6} \circ \pi [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
Also ist jedes Potenz als Vielfaches von 6 wieder die Identität.. aber 100 ist kein Vielfaches von 6...
Was ist die Zahl in der nähe von 100 abwärts, die ein Vielfaches von 6 ist? Dann hast du die Aufgabe gelöst.. :)
Grüsse, Amaro
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Also ein Vielfaches von 6, dass in der Nähe von 100 liegt, wäre 96 (also 16*6). und dann müsste ich nochmal [mm]$\pi^4$[/mm] dazu nehmen damit ich auf 100 komme.
Ist dass dann richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 So 17.01.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo!
> Also ein Vielfaches von 6, dass in der Nähe von 100 liegt,
> wäre 96 (also 16*6). und dann müsste ich nochmal [mm]$\pi^4$[/mm]
> dazu nehmen damit ich auf 100 komme.
> Ist dass dann richtig?
>
>
Das ist sehr richtig :) Also ist [mm] \pi^{100} [/mm] = [mm] \pi^{4}, [/mm] und das ist schnell berechnet :)
Grüsse, Amaro
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Ja das wurde ja schon am Anfang berechnet.
Also [mm]\pi^{4}=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 2 & 4 & 3}[/mm]
richtig?
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